2026年山东省济南市槐荫区二模数学试题

九年级数学试题参考答案与评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 J 6 7 8 9 10 答案 A C B D D B A C B A 二、填空题 11.3 12.2 13.4r14.-815.V79-1 三、解答题 16.解：原式=5-1+1+3-V5-2=3-2=1.7分 17.解：解不等式①得：2x+10>4-x 3x>-6 x>-2 2分 解不等式②得：3(5x-1)≤2(x+5) 15x-3≤2x+10 13x≤13 x≤14分 ∴解集为：-2<x≤1 6分 ,它的所有整数解为：-1、0、1.7分 18.证明：，四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC,2分 ∠FAD=∠ECB,3分 AE FC, .AE+EF=FC+EF, 4分 ∴CE=AF, 5分 .△FAD≌△ECB, 6分 ∴∠AFD=∠CEB. 7分 19.解：(1)如图1，延长DC交AB于M,1分 M B D 图1 :上臂AB与水平面平行，底座与水平地面垂直， ∴.DM⊥AB, ∴.∠BMC=90°， :∠ABC=60°，BC=8dm, .'sin B= CM BC, :sin60°=CMV5 8 2, .:.CM=43, 2分 .DM=CM+CD=(43+4)dm, 3分 过点A作AW⊥ND ∴.∠AND=90°， ∴.∠AND=∠NDM=∠AMD=90° ∴四边形AWDM是矩形， .:AN=DM =(43+4)dm, 4分 答：点A到地面的距离为(4√5+4)dm, (2)如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G,分别过点A,C作BG的垂线，垂足分别为E、F, .∠AEB=∠AEG=90°，∠BFC=∠CFG=90°5分 B A 合C 6-------E G D 图2 ∴.∠CFG=∠FGD=∠D=90°， ∴四边形FGDC是矩形， ∴.∠FCD=90° .∠BCD=135° ∴.∠BCF=135°-90°=45° ∴.∠CBF=45o .∠ABC=105°， :.∠ABF=∠ABC-∠CBF=105°-45°=60°， sin∠CBF=C C,cos∠CBF=BF BC, sin45°=CF、2 C0s450= BF2 82, 82， .CF=BF=42. 6分 在Rt△ABE中，∠AEB=90° ∴.coS∠ABE= BE AB, .c0s60°= BE 1 162， .BE =8 dm, 7分 四边形CFGD是矩形， .FG=CD=4 dm, .EG=BF+FG-BE=4V2+4-8=4V2-4≈4×1.41-4=1.64≈1.6dm, 过点A作AH⊥GD, ∴.∠AHG=90°， .∠AHG=∠HGE=∠AEG=90°、 “四边形AHGE是矩形， ∴.AH=EG=1.6dm, 8分 ∴.此时点A到地面的距离约为1.6dm. 20.解：(1)证明：连接D0,1分 .OA=OD, .∠A=∠ODA, ∠A=∠BDC, .∠ODA=∠BDC, 2分 :AB是⊙0的直径， .∠ADB=90°， 即∠ODA+∠BDO=90° ∠BDC+∠BDO=90°，3分 即∠ODC=90° .OD⊥CD, .OD为⊙0的半径， ∴CD是⊙O的切线： 4分 (2)解：∠A=∠BDC, ∴.tanA=tan∠BDC=s 5分 CG⊥AD, .∠G=90°， tan A= CG 1 .在Rt△ACG中， AG 2. ∴.AG=2CG=8, 6分 ,∠ADB=90° ∴.BD⊥AG, .CG⊥AG, .BD∥CG, ∴.∠DCG=∠BDC, .∠DCG=∠A, ∠G=∠G, .△GCD∽△GAC, 7分 GC GD GA GC, 4 GD 即84， 解得GD=2, .AD=AG-DG=8-2=6. 8分 G 入D C B 0 A 21.(1)140,20,6,6;4分 元=4×6+5×8+6x12+7x4+8×10=6.1 (2) 6+8+12+4+10 ， 7分 答：统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数是61天： (3)500×25%=125人. 9分 答：估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的学生人数约为125人. 22.解：(1)设B型AI机器人每小时搬运材料xkg,则A型AI机器人每小时搬运材料(x+30)kg, 1分 900600 依题意列分式方程得：x+30x, 3分 整理得：300x=18000, 解得：x=60, 4分 经检验，x=60是原方程的解且符合题意， 此时x+30=90,5分 答：A型每小时搬运材料90kg,B型每小时搬运材料60kg; (2)设购买A型机器人a台，购买B型机器人b台， 由题意得：90a+60b=720. 6分 ∴.3a+2b=24, 6=24-30=12-3 2 , :a、b取正整数 a=2「a=4 a=6 b=9或b=6或b=3, 9分 .有3种方案： 方案1：购买2台A型机器人，9台B型机器人： 方案2：购买4台A型机器人，6台B型机器人： 方案3：购买6台A型机器人，3台B型机器人. 10分 23.解：(1)将B(-3,-2)代入反比例函数表达式x得： 2 -3 k=-2×(-3)=6, 6 y= .反比例函数表达式为x:1分 6 y= 把x=2代入x得：y=3, .A(2,3): 2分 (2)设直线AB的函数表达式是y=+b, 把A(2,3)、B(-3,-2)代入y=ax+b得： 2k+b=3 -3k+b=-2 ∴.5k=5, .k=1, .b=1, “直线AB的函数表达式是y=x+1,3分 当y=0时，x+1=0, .x=-1, ∴.C(-1,0) .C0=1, 1 S.r=0Cxy4=)×1×3=3 2 2 4分 ∴.SEMAB=2S△A0c=3 设直线AB与y轴交于点D, ∴.D(0,1) ∴Sw=)MDx4G+5 MDx BH 2 2 =1MDX(AG+BH) ≥.MD×(2+3) =5MD =3, ·MD=6 5分 D0=1, ∴M0=D0+MD=+1=凸 5 5, M05) 。11 6分 (3)设点Pm,0), A2,3).B(-3,-2) AB2=(2+3)2+(3+2)2=50, BP2=(m+3)2+22=(m+3)2+4 AP2=(m-2)2+32=(m-2)2+9, ①当四边形ABPO为矩形时，如图1，∠ABP=90° .AB2+BP2=AP2, ∴.50+(m+3)2+4=(m-2)2+9 .m=-5, .P(-5,0) 8分 V p P 图1 ②当四边形ABQP为矩形时，如图2，∠BAP=90° .AB2+AP2=BP2, .50+(m-2)2+9=(m+3)2+4, m=5, .P(5,0) 10分 综上所述，点P的坐标为（-5,0)或(5,0). 图2 24.(1)BE=3AD,AD⊥BE(或垂直)： 2分 (2)线段AD与BE的数量关系，位置关系与(1)中结论一致，3分 理由如下： 如图2，延长DA交BE于H, H B 图2 :将△CAB绕点C逆时针旋转任意角度得到△CDE, ∴.AC=DC=1,BC=CE=3,∠ECB=∠ACD, 4分 ..AC=CD1 BCCE3」 5分 .△BCE∽△ACD, AD AC 1 BEBC3,∠CDA=∠CEB, 6分 .BE=3AD .'∠CEB+∠ENH=∠CDA+∠CND=90° ∴.∠EHD=90°， .AD⊥BE:7分 (3)如图3，过点C作CN⊥AB于N, 图3 ∠ACB=90°，AC=1,BC=3, .AB=√AC2+BC2=V1+9=V0,8分 CN⊥AB, ∴.∠ANC=90°=∠ACB, 又∠A=∠A, .△ACN∽△ABC, 9分 .AC_AN AB AC, ·AW=io 10, 10分 AC=DC,CN⊥AB, 4D=2AN= 5, 11分 BE=3AD=310 由(2)可知： 5 12分 25.解：(1)将A(-1,0)、B(4,0)代入抛物线表达式y=ax+br-4得： a-b-4=0① 16a+4b-4=0② 1分 由②得：4a+b-1=0③， ①+③得5a=5, a=1, 把a=1代入①得：b=-3.2分 y=x2-3x-4 3分 将x=0代入y=r-3x-4得：y=-4, C(0,-4): 4分 CE 1 (2)ED2 CE 1 CD3 PD∥y轴， EF∥y轴， .PD∥EF, ∴.∠CEF=∠CDP,∠CFE=∠CPD, ∴.△CEF∽△CDP, 5分 .EF CE DP CD, DP 3. EF=1, .DP=3, 设直线BC的表达式为：y=+b, 将B(4,0)、C(0,-4)代入y=ax+b得： 4k+b=0 b=-4 .k=1, ∴.直线BC的表达式为：y=x-4, 6分 设P(m,m2-3m-4) ∴.D(m,m-4) PD=yo-yp=m-4-(m2-3m-4)=-m2+4m=3,7分 m2-4m+3=0, .m1=1.m2=3 ·P1,-6)或P(3,4): 8分 (3)如图，以ON为斜边在x轴下方构造等腰直角△OHN, ∴.∠OHN=90°，OH=NH, ∴.∠HON=∠HNO=45°， ..ON =20H, .ON =2CM, ..CM=OH, 9分 过点C作CN LOC,且CV=OC,连接CH、MW, H ∴.∠OCN,=90° .C(0,-4) ∴.OC=CN1=4 .N(4,-4) '∠COB=90°，∠HON=45° .∠C0H=45°， ..OC=OB, ∴.∠OCB=∠OBC=45°， ∴.∠MCN,=45° ∴.∠COH=∠MCN,=45o ∴.△COH≌△NCM .CH MN .OH=NH,CM=OH, .NH=CM, 10分 .∠ONH=∠OBC=45°， .NH∥CM, :四边形CMNH为平行四边形， ∴.CH=MW, ..MN =MN 11分 .:.GM+MN GM+MN, 当点G、M、N共线时，GM+MN有最小值为GN, G(0,-1).C(0,-4). ∴.CG=3, .CN,=OC=4∠GCN,=90° GN=CG2+CN2=32+42=5 .GM+MN的最小值为5.12分 2026年学业水平阶段性调研测试 九年级数学（2026.05） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．2026的绝对值是 A．2026 B． C． D．-2026 2．如图，该几何体是由四个大小相同的正方体搭建而成的，则该几何体的俯视图是 A． B． C． D． 3．钙是人体必需的矿物质，主要作用是构建和维持骨骼、牙齿结构，调节神经肌肉功能，参与凝血和细胞信号传递，已知成人每日钙的摄入量一般为0.0008千克．数据“0.0008”用科学记数法表示为 A． B． C． D． 4．下列运算正确的是 A． B． C． D． 5．已知实数、在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是 A． B． C． D． 6．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是 A． B． C． D． 7．化简的结果是 A． B． C． D． 8．随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习，小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是 A． B． C． D． 9．如图，在中，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；③作射线交于点；④分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于、两点；⑤作直线，分别交、于点、．依据以上作图，若，，则的面积是 A． B．16 C．28 D．32 10．如图1，点在正方形的边上，且，点沿从点运动到点，设、两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，若图象的最低点的纵坐标为，则最高点的纵坐标的值为 A． B． C．6 D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共5个小题．每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．） 11．3的算术平方根是________． 12．如图，小正方形的4个顶点落在大正方形的对角线上，随机地往大正方形内投一个质点，该质点落在阴影区域的概率为________． 13．如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心、的长为半径作弧，则的长度为________． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，，则的值为________． 15．如图，在中，，，，点为平面内一点，，连接、，点为内一点，连接、、则的最小值为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分7分） 计算： 17．（本小题满分7分） 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．（本小题满分7分） 如图，在中，、是对角线上两点，且． 求证：． 19．（本小题满分8分） 如图1所示是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图2所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座夹角，上臂与中臂夹角，如图3，计算此时点到地面的距离．（精确到0.1 dm，参考数据：，） 20．（本小题满分8分） 如图，内接于，是的直径，点为延长线上的一点，连接，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21．（本小题满分9分） 为了解某校八年级学生假期参加社区服务的时间（单位：天），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为________，图2中的值为________，统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的众数是________天、中位数是________天； （2）求统计的这组学生假期参加社区服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生假期参加社区服务的时间是8天的人数约为多少？ 22．（本小题满分10分） 某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． （1）求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 23．（本小题满分10分） 如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； （3）点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 24．（本小题满分12分） 在中，，，． 【先导问题】 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接、，线段与的数量关系是________，线段与的位置关系是________； 【提炼模型】 （2）如图2，将绕点逆时针旋转任意角度得到，连接、，交于点，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？请说明理由； 【识别模型、应用模型】 （3）如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 25．（本小题满分12分） 二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）如图1，求二次函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，点为线段下方二次函数图象上一点，过点作轴的平行线交于，点为线段上一点，满足，过点作轴的平行线交于点，当时，求点的坐标； （3）如图3，点坐标为，点、分别为线段、上的点，且满足，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $