2026年中考第二轮专题复习之填空题复习——18：《圆》(题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

**基本信息** 以“分层突破+模型固化+避坑指南”构建圆填空题专项体系，融合几何直观与逻辑推理，覆盖基础到压轴全层级。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础保分层|10道|定理直接应用（垂径/圆周角/切线性质）|核心定理→单一考点应用| |中档提分层|12道|模型综合（弦心距+勾股/三角函数/相似）|定理→模型识别→多性质融合| |压轴拉分层|8道|隐圆轨迹+动态最值+多结论判断|模型→轨迹分析→综合推理|

2026 年中考第二轮复习 填空题专题 18.圆 本课时是全国中考数学填空题固定必考核心考点，是二轮复习中 "低门槛、高性价比、易提分" 的保底专题，同时是圆综合、几何压轴题的核心解题工具，完全贴合新课标 "几何直观 + 逻辑推理 + 数学运算" 的核心素养考查要求，结合配套 30 道真题。 一、题型特点 精准适配二轮复习需求，与二轮查漏补缺、分层提分的复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定、点与圆 / 直线与圆位置关系的直接应用，考点单一、逻辑简单，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合特殊三角形 / 四边形性质、勾股定理、三角函数、相似三角形，以网格、折叠、实际场景为命题载体，是二轮复习的核心突破重点；③压轴拉分层，绑定隐圆轨迹、动态几何最值、多结论判断、圆与相似综合，是填空压轴题的高频题型，区分度极强。 模型化命题特征显著，可固化破题路径， 题目围绕中考固定几何模型命题，学生可通过模型识别实现 "见题识型、秒解破题"：圆的核心考查垂径定理 "知二推三" 模型、圆周角定理 "同弧对等角" 模型、切线长定理 "双切线" 模型、隐圆 "定角对定边" 模型、弦切角定理基础模型。其中，弦心距必构造直角三角形、直径必连圆周角得直角、切线必连圆心与切点，无需复杂推导，可直接套用结论解题。 填空题专属陷阱设计突出，聚焦细节考查， 针对填空题 "无过程分、一错全零" 的特点，命题高频设置专属陷阱：题目设置多解分类讨论陷阱（如弦所对的圆周角、点与圆的位置关系、两圆相切、无图几何题），是学生第一大失分点；同时强化细节考查，如半径与直径混淆、圆心角与圆周角倍数错误、切线判定条件遗漏、单位换算等，重点考查学生的严谨性。 实际应用导向明确，贴合新课标中考趋势，题目结合生活实际场景命题，如井盖直径设计、弯道圆弧半径测量、滑轮绳索长度计算、圆形工件内径测量等，摒弃纯公式默写式考查，重点考查学生将实际问题转化为圆的数学模型的能力，完全贴合新课标中考的命题方向。 综合度逐级提升，绑定核心素养考查 ，填空压轴题均为多模块综合命题，高频结合圆 + 相似三角形、圆 + 三角函数、圆 + 动态轨迹 + 最值、圆 + 折叠变换，考查学生多步逻辑推理、几何直观建模、综合运算的能力，是中考几何模块区分尖子生与普通生的核心考点 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 筑牢核心知识根基，烂熟定理与性质体系， 这是本专题答题的核心前提，必须无死角掌握圆的核心内容，做到 "随用随取、零差错"： 核心定理：垂径定理及推论、圆周角定理及推论、切线的判定与性质、切线长定理、三角形外接圆与内切圆性质、圆内接四边形性质 核心性质：同圆或等圆中，相等的圆心角 / 圆周角对应相等的弧和弦；圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆内接四边形对角互补 模型识别优先，固化标准化破题路径， 审题第一时间匹配对应模型，直接套用固定解题流程，大幅缩短填空题答题时间，确保快准稳： 垂径定理题：固定三步法，第一步作弦心距构造直角三角形，第二步利用 "知二推三"（已知半径、弦长、弦心距、拱高、圆心角中任意两个可求其余三个），第三步代入勾股定理计算 圆周角题：固定两步法，第一步找同弧所对的圆心角或圆周角，第二步利用 "同弧所对圆周角是圆心角的一半" 转化角度；直径所对圆周角必为直角，优先构造直角三角形 切线题：固定两步法，第一步连接圆心与切点得垂直（已知切线）或过圆心作直线的垂线证明等于半径（判定切线），第二步利用直角三角形性质或相似三角形计算 隐圆题：固定判断法，满足 "到定点距离等于定长" 或 "定角对定边" 则存在隐圆，确定圆心和半径后求解 分类讨论前置，杜绝多解漏写， 是填空题得分的核心关键，只要出现以下四种情况，必须先分类、再计算：①题干提到 "弦"（弦所对的圆周角有两个，互补）；②无配图的圆的几何题；③点在直线 / 射线上运动、不与端点重合的动点题；④两圆相切（包括内切和外切）。需分两种情况分别求解，避免漏写多解。 方程思想为万能通法，通解所有计算类题型，填空计算题，可通过 "设半径为 r，结合勾股定理或相似比例关系列方程求解"。无论是弦长计算、切线长计算，还是圆心距求解，均以半径为核心未知数，列方程是二轮复习中全员必须掌握的通用解题方法。 （二）填空题专属速解答题技巧 结论秒用法：直接套用 "直径所对的圆周角是直角"、"切线长相等"、"同弧所对的圆周角相等"、"直角三角形外接圆半径等于斜边的一半"、"圆内接四边形对角互补" 等结论，无需从头推导，压缩答题时间； 特殊值法：几何动点题取特殊位置（直径端点、切点、圆心）快速验证结果，无需完整推导； 多结论题排除法：先判断最易推导的结论，排除错误选项，缩小验证范围，提升正确率； 辅助线口诀法："弦与弦心距，亲密紧相连"、"切点圆心连，垂线就出现"、"直径对直角，半角找圆周"，快速确定辅助线作法。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防垂径定理条件遗漏：高频坑①忽略 "平分弦（不是直径）的直径垂直于弦" 中 "弦不是直径" 的前提条件；②只平分弦，未平分弦所对的两条弧；③混淆弦心距与拱高的概念。 严防圆周角与圆心角关系搞混：高频坑①同弦所对的圆周角与圆心角搞混（同弦所对的圆周角有两个，互补）；②不同弧所对的圆周角错误相等；③忘记 "同圆或等圆" 和 "同弧" 前提，直接用圆周角等于圆心角的一半。 严防切线判定条件混淆：高频坑①只满足 "经过半径外端" 或 "垂直于半径" 其中一个条件，就判定为切线；②切线性质误用为 "切线垂直于任意半径"，正确应为 "切线垂直于过切点的半径"。 严防圆内接四边形性质误用：高频坑①混淆圆内接四边形 "对角互补" 与 "外角等于内对角" 的性质；②错误认为任意四边形都有外接圆。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防限定词漏看：高频坑①漏看 "劣弧"、"优弧"、"不与端点重合"、"相切（包括内切和外切）" 等核心限定词；②漏看单位（如题目给直径单位是厘米，答案要求米）；③题干求 "最小值 / 最大值"，学生算成相反值。 严防无图题不分类讨论：填空题无图圆的几何题大多设置多解陷阱，学生仅画一种符合直觉的图形，漏写第二个解，直接零分，是本专题第二大失分点。 严防实际场景模型转化错误：圆的实际应用题，学生常把实际场景转化为错误的数学模型，如弯道问题中把弦长当成半径计算，滑轮问题中忽略切线长相等的性质。 （三）计算类避坑：杜绝中档题计算失分 严防半径与直径搞混：题目给出直径时，计算弦心距、切线长、圆心距时必须先除以 2 得到半径，这是最常见的低级计算错误。 严防勾股定理计算错误：垂径定理中，弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，计算时容易出现平方错误、开方错误，导致后续结果全错。 严防三角函数值记混：30°、45°、60° 三角函数值记混，导致直角三角形边长计算错误，相似比偏差，结果全错。 严防相似三角形对应边搞混：圆与相似综合题中，常因对应顶点判断错误，导致比例式列反，计算结果完全错误。 （四）逻辑与轨迹类避坑：杜绝压轴题失分 严防隐圆轨迹判断错误：动态几何最值题，核心是通过 "定角对定边" 或 "到定点距离等于定长" 判断隐圆，学生常找不到定角、无法确定圆心和半径，导致最值计算错误。 严防多步推导逻辑断裂：复杂综合题需要两次及以上相似或三角函数推导，学生常跳过关键推导步骤，直接用未验证的比例式计算，导致结果错误；多结论判断题对单个结论推导不严谨，错一个就全题零分。 严防线段转化逻辑错误：阿氏圆最值问题中，学生无法通过相似三角形转化带系数的线段，导致最小值无法求解。 四、真题练习 1.（25-26·云南模拟）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为_____5_______． 【答案】 【解析】 本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【解答】 解：点在上， 点到圆心的距离为， 故答案为：．  2.（25-26·广西模拟）已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，即可得出结果． 【解答】 解：的半径为，点在外， ； 故答案为：．  3.（25-26·四川模拟）如图，正方形的边长为，以点为圆心，的长为半径画圆，则正方形的中心在____内________（填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为____________． 【答案】 内, 【解析】 连接，，交于点，由四边形是正方形，可得，，，，由勾股定理可得，则，即可得出正方形的中心在内；设圆锥的底面直径为，则，解得． 【解答】 解：如图，连接，，交于点， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 点在内， 即正方形的中心在内， 设圆锥的底面直径为， ，解得， 圆锥的底面直径为， 故答案为：内，．  4.（22-23·四川中考）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为_____12_______． 【答案】 【解析】 根据题意知的直径为最小距离与最大距离的和，再利用根与系数的关系即可求解． 【解答】 解：是内一点， 的直径为最小距离与最大距离的和， 最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根， 的直径为， 故答案为：12 5.（23-24·广东中考）如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、点关于原点对称，则当取最大值时，点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置． 由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【解答】 解：连接， ， ， 点、点关于原点对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点， 则、， ， 又， ， ； ， 即点的坐标为， 故答案为：． 6.（25-26·湖南模拟）年月是第个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为，则这条线段的长为____________．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 如图所示，设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【解答】 如图所示，设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点 由图可得，线段的长与其他的都不相等， 其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， 相邻两个数字与圆心组成的圆心角为 ，即 ， ． 这条线段的长为． 故答案为：． 7.（25-26·四川模拟）在中，是弧的中点，是弧上的任一点（与点不重合），则与的大小关系是____________． 【答案】 【解析】 本题考查圆与三角形综合，熟练掌握圆周角定理推论，等腰三角形判定和性质，三角形三边关系，是解题关键． 以为圆心，为半径作圆，交的延长线于，连接．可得，，得，由得，得，进一步即得答案. 【解答】 解：如图；以为圆心，为半径作圆，交的延长线于，连接． 则， ； ， ； ， ， ， 即； ； ， ； 故答案为：．  8.（25-26·甘肃模拟）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是____________． 【答案】 【解析】 本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【解答】 解：连接， 是的直径， ， ，， ， 的平分线交于， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：．  9.（25-26·广东模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 本题考查弧，弦，角之间的关系，勾股定理，折叠的性质，由，得到点的轨迹，当点在上时，取最大值，当点在上时，取最小值，由，得到，求出的长度，设，则，在中应用勾股定理，即可求解． 【解答】 解：连接、、，则：， 根据折叠的性质可得：， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点在扇形内（不含边界）， 当点在上时，取最大值，此时， ，为弧的中点， ， ； 当点在上时，取最小值，作，，连接， ，，， 四边形是矩形， ， ， 矩形是正方形， ， 又，，， ， ， ，，则， ，， ， 设，则， 在中，， 即：，解得：， ． 故答案为：． 10.（25-26·江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于，两点，则点的坐标是__________________． 【答案】 【解析】 如图，连接，设圆与轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标． 【解答】 如图，连接，设圆与轴相切于点，连接交与点， 则轴， 为直径，则， ， 轴， ， ，， ， ， ， 轴， ． 故答案为：． 11.（24-25·四川中考）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为_____2___。 【答案】 【解析】 连接，根据垂径定理，结合勾股定理求出的长，则长可求 【解答】 解：如图，连接， 故答案为： 12.（25-26·浙江模拟）如图，是的直径，点在上，连接．以为边作菱形，交于点，，垂足为．连接，交于点，连接．若，，则的长度为________________，的长度为________________． 【答案】 , 【解析】 本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键． 由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接， 由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过作于，解直角三角形可得、，易得，最后根据垂直平分线的性质求解即可． 【解答】 解：，，， ，即， ， 菱形， ， ，； 如图：连接， 是的直径， ， ，即， 解得：； ，即， 解得：； 菱形， ， ， 如图：过作于， ， ， ， ，， ， ， 垂直平分， ． 故答案为：；． 13.（25-26·广东模拟）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是_______①③④_______．（填写序号） 【答案】 ①③④ 【解析】 本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【解答】 解：由旋转可知：， ，，， 在正方形中， ，， 又， ， ，即，故①结论正确， ，， ，故②结论错误； 如图： 在正方形中， ， ， 、、、、在以为直径的圆上， ， ，故结论③正确； 如图：过点作，交于， 平分，， ， ， ， ， ，， ，， ， 设， 在中，， ， ，（负根已舍去） ， ， ．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 14.（25-26·浙江模拟）如图，是的内接三角形，若，则____________． 【答案】 度 【解析】 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可． 【解答】 解：连接， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. （25-26·江苏模拟）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在 上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则________． 【答案】 【解析】 本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【解答】 是圆的直径， 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， 、、、所对的弧的和为半圆， ， 故答案为：． 16.（24-25·广东中考）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为______6__________． 【答案】 【解析】 由矩形的性质得，根据圆周角定理，可求得，根据，可推出为直角，从点为中点，可推出，接着再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案． 【解答】 解：四边形是矩形， ， 为所对的圆周角，所对的圆心角为， ， 将线段绕点顺时针旋转至， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点为中点， ， ， ， ． 故答案为：6  17.（23-24·江苏中考）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，点是的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 连接，过作于，根据已知条件得到，，得到是等腰直角三角形，得到，根据圆周角定理得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据全等三角形的性质得到，待定系数法得到直线的解析式为，于是得到结论． 【解答】 连接，过作于． 点、、的坐标分别为、、，，，是等腰直角三角形，，． ，，是等腰直角三角形，． ，． 在与中，，，，，，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为，当时，，． 故答案为． 18.（23-24·甘肃中考）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为．过点作于点，点为线段上一动点（点不与，重合），则的最小值为___________6_____． 【答案】 【解析】 过点作，连接并延长交于点，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【解答】 如图所示，过点作，连接并延长交于点，连接 是等边三角形， 是等边三角形的外接圆，其半径为 ，， ， 的最小值为的长度 是等边三角形，， 的最小值为6 故答案为：6 19.（25-26·四川模拟）如图，、是圆的切线，、为切点，是直径，，_____________ 【答案】 度 【解析】 本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【解答】 解：是切线， ，即， ， ， 、是圆的切线， ， ， ． 故答案为：． 20.（25-26·贵州模拟）如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为______20________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【解答】 解；如图所示，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， 故答案为：．  21.（22-23·山东中考）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为，则的值为 24 ． 【答案】 【解析】 过点作轴于点，设的半径为，则，，设，则点的坐标为，据此可得，然后再根据的面积为可求出，据此可得此题的答案． 【解答】 解：过点作轴于点， 设的半径为， 与轴相切于点， ，， 设， 则点的坐标为， ， ， ， 即：， ． 故答案为：．  22.（22-23·湖南中考）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点． （1）若，，则的长是 （结果保留）； （2）若，则 ． 【答案】 【解析】 （1）连接，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可求出的长； （2）连接，根据垂径定理得到，再由切线得到，利用平行线分线段成比例得出，再根据勾股求出，代入比例式即可解决问题． 【解答】 （1）解：如图，连接， ，， ，， 的长； 故答案为：； （2）如图，连接， 点为的中点， ， ， 又是的切线， ， ， ， ， 设，则，，，， ， ． 故答案为：．  23.（25-26·江苏模拟）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为__________________． 【答案】 【解析】 本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解． 【解答】 解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ，， ， 梯形，， 点共线， 四边形为矩形， ， 的面积为， ， ， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍）， ， 同理可得：，， ， ， ， ， ， ， 点到的距离为， 故答案为：． 24.（24-25·甘肃模拟）如图，等边内接于，，为弧上一动点，过点作射线的垂线，垂足为．当点由点沿运动到点时，点的运动路径长为_____________． 【答案】 【解析】 连接，取的中点为，连接，由直角三角形的特征得，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，延长交于，连接，由等边三角形的性质得，，求出，结合圆的基本性质，即可求解． 【解答】 解：连接，取的中点为，连接， ， ， 点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，如图， 是等边三角形， ， ， 如图，延长交于，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹长为∶ ； 故答案：． 25.（25-26·北京模拟）如图，切线、分别与相切于点、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为，则线段的长为______6_____． 【答案】 【解析】 可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于，又因为，所以可求出的长． 【解答】 解：，都是圆的切线， ， 同理，， 的周长， ； 故答案为：6 26.（25-26·河南模拟）如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为_______________． 【答案】 【解析】 如图，连接交于．求解，，，，设运动时间为，则，，证明，可得，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，，证明在上，且在弧上，再利用弧长公式计算即可. 【解答】 解：如图，在菱形中，，对角线，连接交于． ，，，， 设运动时间为，则，， ，即， ， ， ， ， 作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ，，， ， 在上，且在弧上， 在此过程中，点的运动路径长为； 故答案为： 27.（25-26·全国同步）如图，在中， ，．将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结，使得面积为，连结，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】 先整理得，过点向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【解答】 解：射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结， 面积为， ， 过点向上作线段，使得， 即 ， 连接， ， ， ， ， ， ， 故点在以为直径的圆上， ， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 故答案为：．  28.（25-26·山东模拟）如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为____________． 【答案】 【解析】 根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出与的关系． 【解答】 解：作交于， 、与切于点定、， ，， 又， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 切于， ，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， 与的函数关系式是． 故答案为：． 29.（24-25·江苏中考）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 【答案】 【解析】 分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【解答】 解：矩形， ， 翻折， ， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， 点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ，， ， ， ， 折叠， ， ， ， ， 点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， 点的运动路径总长为：； 故答案为： 30.（23-24·吉林中考）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有_____①②③_________． 【答案】 ①②③ 【解析】 如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【解答】 解：如图：连接， 是的中点， , ，即①正确； 是直径， ， ， , ， ， ， ，, ， ， ， ， ,即②正确； 在和, ， ， ,即, ，即, , ， ，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为，连接， ，，是的中点， ， ， 是等边三角形， ，即是菱形， ， ， ，即，解得：, ， ，即④错误． 故答案为：①②③． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 填空题专题 18.圆 本课时是全国中考数学填空题固定必考核心考点，是二轮复习中 "低门槛、高性价比、易提分" 的保底专题，同时是圆综合、几何压轴题的核心解题工具，完全贴合新课标 "几何直观 + 逻辑推理 + 数学运算" 的核心素养考查要求，结合配套 30 道真题。 一、题型特点 精准适配二轮复习需求，与二轮查漏补缺、分层提分的复习目标高度匹配：①基础保分层，聚焦垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定、点与圆 / 直线与圆位置关系的直接应用，考点单一、逻辑简单，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合特殊三角形 / 四边形性质、勾股定理、三角函数、相似三角形，以网格、折叠、实际场景为命题载体，是二轮复习的核心突破重点；③压轴拉分层，绑定隐圆轨迹、动态几何最值、多结论判断、圆与相似综合，是填空压轴题的高频题型，区分度极强。 模型化命题特征显著，可固化破题路径， 题目围绕中考固定几何模型命题，学生可通过模型识别实现 "见题识型、秒解破题"：圆的核心考查垂径定理 "知二推三" 模型、圆周角定理 "同弧对等角" 模型、切线长定理 "双切线" 模型、隐圆 "定角对定边" 模型、弦切角定理基础模型。其中，弦心距必构造直角三角形、直径必连圆周角得直角、切线必连圆心与切点，无需复杂推导，可直接套用结论解题。 填空题专属陷阱设计突出，聚焦细节考查， 针对填空题 "无过程分、一错全零" 的特点，命题高频设置专属陷阱：题目设置多解分类讨论陷阱（如弦所对的圆周角、点与圆的位置关系、两圆相切、无图几何题），是学生第一大失分点；同时强化细节考查，如半径与直径混淆、圆心角与圆周角倍数错误、切线判定条件遗漏、单位换算等，重点考查学生的严谨性。 实际应用导向明确，贴合新课标中考趋势，题目结合生活实际场景命题，如井盖直径设计、弯道圆弧半径测量、滑轮绳索长度计算、圆形工件内径测量等，摒弃纯公式默写式考查，重点考查学生将实际问题转化为圆的数学模型的能力，完全贴合新课标中考的命题方向。 综合度逐级提升，绑定核心素养考查 ，填空压轴题均为多模块综合命题，高频结合圆 + 相似三角形、圆 + 三角函数、圆 + 动态轨迹 + 最值、圆 + 折叠变换，考查学生多步逻辑推理、几何直观建模、综合运算的能力，是中考几何模块区分尖子生与普通生的核心考点 二、答题要点 （一）通用核心答题要点 筑牢核心知识根基，烂熟定理与性质体系， 这是本专题答题的核心前提，必须无死角掌握圆的核心内容，做到 "随用随取、零差错"： 核心定理：垂径定理及推论、圆周角定理及推论、切线的判定与性质、切线长定理、三角形外接圆与内切圆性质、圆内接四边形性质 核心性质：同圆或等圆中，相等的圆心角 / 圆周角对应相等的弧和弦；圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆内接四边形对角互补 模型识别优先，固化标准化破题路径， 审题第一时间匹配对应模型，直接套用固定解题流程，大幅缩短填空题答题时间，确保快准稳： 垂径定理题：固定三步法，第一步作弦心距构造直角三角形，第二步利用 "知二推三"（已知半径、弦长、弦心距、拱高、圆心角中任意两个可求其余三个），第三步代入勾股定理计算 圆周角题：固定两步法，第一步找同弧所对的圆心角或圆周角，第二步利用 "同弧所对圆周角是圆心角的一半" 转化角度；直径所对圆周角必为直角，优先构造直角三角形 切线题：固定两步法，第一步连接圆心与切点得垂直（已知切线）或过圆心作直线的垂线证明等于半径（判定切线），第二步利用直角三角形性质或相似三角形计算 隐圆题：固定判断法，满足 "到定点距离等于定长" 或 "定角对定边" 则存在隐圆，确定圆心和半径后求解 分类讨论前置，杜绝多解漏写， 是填空题得分的核心关键，只要出现以下四种情况，必须先分类、再计算：①题干提到 "弦"（弦所对的圆周角有两个，互补）；②无配图的圆的几何题；③点在直线 / 射线上运动、不与端点重合的动点题；④两圆相切（包括内切和外切）。需分两种情况分别求解，避免漏写多解。 方程思想为万能通法，通解所有计算类题型，填空计算题，可通过 "设半径为 r，结合勾股定理或相似比例关系列方程求解"。无论是弦长计算、切线长计算，还是圆心距求解，均以半径为核心未知数，列方程是二轮复习中全员必须掌握的通用解题方法。 （二）填空题专属速解答题技巧 结论秒用法：直接套用 "直径所对的圆周角是直角"、"切线长相等"、"同弧所对的圆周角相等"、"直角三角形外接圆半径等于斜边的一半"、"圆内接四边形对角互补" 等结论，无需从头推导，压缩答题时间； 特殊值法：几何动点题取特殊位置（直径端点、切点、圆心）快速验证结果，无需完整推导； 多结论题排除法：先判断最易推导的结论，排除错误选项，缩小验证范围，提升正确率； 辅助线口诀法："弦与弦心距，亲密紧相连"、"切点圆心连，垂线就出现"、"直径对直角，半角找圆周"，快速确定辅助线作法。 三、避坑指南 （一）概念定理类避坑：杜绝基础题无谓失分 严防垂径定理条件遗漏：高频坑①忽略 "平分弦（不是直径）的直径垂直于弦" 中 "弦不是直径" 的前提条件；②只平分弦，未平分弦所对的两条弧；③混淆弦心距与拱高的概念。 严防圆周角与圆心角关系搞混：高频坑①同弦所对的圆周角与圆心角搞混（同弦所对的圆周角有两个，互补）；②不同弧所对的圆周角错误相等；③忘记 "同圆或等圆" 和 "同弧" 前提，直接用圆周角等于圆心角的一半。 严防切线判定条件混淆：高频坑①只满足 "经过半径外端" 或 "垂直于半径" 其中一个条件，就判定为切线；②切线性质误用为 "切线垂直于任意半径"，正确应为 "切线垂直于过切点的半径"。 严防圆内接四边形性质误用：高频坑①混淆圆内接四边形 "对角互补" 与 "外角等于内对角" 的性质；②错误认为任意四边形都有外接圆。 （二）审题类避坑：杜绝非知识性失分 严防限定词漏看：高频坑①漏看 "劣弧"、"优弧"、"不与端点重合"、"相切（包括内切和外切）" 等核心限定词；②漏看单位（如题目给直径单位是厘米，答案要求米）；③题干求 "最小值 / 最大值"，学生算成相反值。 严防无图题不分类讨论：填空题无图圆的几何题大多设置多解陷阱，学生仅画一种符合直觉的图形，漏写第二个解，直接零分，是本专题第二大失分点。 严防实际场景模型转化错误：圆的实际应用题，学生常把实际场景转化为错误的数学模型，如弯道问题中把弦长当成半径计算，滑轮问题中忽略切线长相等的性质。 （三）计算类避坑：杜绝中档题计算失分 严防半径与直径搞混：题目给出直径时，计算弦心距、切线长、圆心距时必须先除以 2 得到半径，这是最常见的低级计算错误。 严防勾股定理计算错误：垂径定理中，弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，计算时容易出现平方错误、开方错误，导致后续结果全错。 严防三角函数值记混：30°、45°、60° 三角函数值记混，导致直角三角形边长计算错误，相似比偏差，结果全错。 严防相似三角形对应边搞混：圆与相似综合题中，常因对应顶点判断错误，导致比例式列反，计算结果完全错误。 （四）逻辑与轨迹类避坑：杜绝压轴题失分 严防隐圆轨迹判断错误：动态几何最值题，核心是通过 "定角对定边" 或 "到定点距离等于定长" 判断隐圆，学生常找不到定角、无法确定圆心和半径，导致最值计算错误。 严防多步推导逻辑断裂：复杂综合题需要两次及以上相似或三角函数推导，学生常跳过关键推导步骤，直接用未验证的比例式计算，导致结果错误；多结论判断题对单个结论推导不严谨，错一个就全题零分。 严防线段转化逻辑错误：阿氏圆最值问题中，学生无法通过相似三角形转化带系数的线段，导致最小值无法求解。 四、真题练习 1.（25-26·云南模拟）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为___________． 2.（25-26·广西模拟）已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是___________． 3.（25-26·四川模拟）如图，正方形的边长为，以点为圆心，的长为半径画圆，则正方形的中心在____________（填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为___________． 4.（22-23·四川中考）已知是内一点（点不与圆心重合），点到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于的一元二次方程的两个实数根，则的直径为__________． 5.（23-24·广东中考）如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、点关于原点对称，则当取最大值时，点的坐标为__________． 6.（25-26·湖南模拟）年月是第个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为，则这条线段的长为__________．（参考数据：，） 7.（25-26·四川模拟）在中，是弧的中点，是弧上的任一点（与点不重合），则与的大小关系是__________． 8.（25-26·甘肃模拟）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是__________． 9.（25-26·广东模拟）已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是__________． 10.（25-26·江苏模拟）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于，两点，则点的坐标是________________． 11.（24-25·四川中考）如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为______。 12.（25-26·浙江模拟）如图，是的直径，点在上，连接．以为边作菱形，交于点，，垂足为．连接，交于点，连接．若，，则的长度为_______________，的长度为_____________． 13.（25-26·广东模拟）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是______________．（填写序号） 14.（25-26·浙江模拟）如图，是的内接三角形，若，则___________． 15. （25-26·江苏模拟）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在 上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则______． 16.（24-25·广东中考）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为_____________． 17.（23-24·江苏中考）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，点是的外接圆上一点，交线段于点，若，则点的坐标为___________． 18.（23-24·甘肃中考）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为．过点作于点，点为线段上一动点（点不与，重合），则的最小值为_______________． 19.（25-26·四川模拟）如图，、是圆的切线，、为切点，是直径，，____________ 20.（25-26·贵州模拟）如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为____________． 21.（22-23·山东中考）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为，则的值为  ． 22.（22-23·湖南中考）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点． （1）若，，则的长是 （结果保留）； （2）若，则 ． 23.（25-26·江苏模拟）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为_______________． 24.（24-25·甘肃模拟）如图，等边内接于，，为弧上一动点，过点作射线的垂线，垂足为．当点由点沿运动到点时，点的运动路径长为___________． 25.（25-26·北京模拟）如图，切线、分别与相切于点、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为，则线段的长为________． 26.（25-26·河南模拟）如图，在菱形中，，对角线．点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点．在此过程中，点的运动路径长为_____________． 27.（25-26·全国同步）如图，在中， ，．将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结，使得面积为，连结，则的最大值是____________． 28.（25-26·山东模拟）如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为__________． 29.（24-25·江苏中考）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是___________． 30.（23-24·吉林中考）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $