精品解析：2026年山东省济南市济阳县九年级二模数学试题

2026年初中学业水平模拟考试数学试题 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等信息填写在答题卡的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上被遮挡住的整数是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 2. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母，又叫形磁铁．下图是物理学中经常使用的形磁铁示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵俯视图是从几何体的上面看到的图形， ∴其俯视图是：． 3. 2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个大于10的数记作的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：． 4. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式． 根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算正确； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算错误； 故选：A． 6. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、解直角三角形，构造直角三角形是解答的关键． 取格点H，连接，利用勾股定理及其逆定理得到是直角三角形，且，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：取格点H，连接， 由图知，，则， ，则， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 8. 3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出表格，列出所有等可能的情况数，然后根据概率求解即可． 【详解】解：记三个游戏分别为1，2，3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 可知一共9种情况，其中两人选择相同游戏的结果有3种，即，，， ∴选择相同游戏的概率． 9. 如图，在中，，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交射线于点，连接． 根据以上作图，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点H，设分别交于点J，K，根据勾股定理可得 ，由作法得：平分，垂直平分，再由，可得，，从而得到，进而得到，证明，可得，，从而得到，再由勾股定理可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H，设分别交于点J，K， 在中，，，， ∴， 由作法得：平分，垂直平分， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，且点在点的左侧，其中，．有下列结论： ①；②；③若，则； ④关于的一元二次方程无实根； ⑤点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，都有，则． 以上结论正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】由M、N两点可得出对称轴为直线，进而根据所给图像可以画出抛物线草图，即可判断①；根据对称轴可得到，进而代入特殊值得到，即可判断②；根据，即可判断③；将有无实根问题转化为和交点问题，即可判断④；由图像可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小，所以点或点有一个在顶点时，取最小值，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，且， ∴对称轴为直线， 抛物线草图如图， ∴，， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， 由图像易得，当时，，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确； 将可写成， ∴的实根可以看成和交点问题， ∵， ∴， ∴抛物线和直线有两个交点，即有两个不相等的实数根，故④错误； ∵， ∴两点的水平距离恒定为2， 由图像可知，当开口向上时，离对称轴越近，则越小， ∵总有， ∴点或点在顶点处时为临界点， 如在顶点，则时，或时，有最小值， ∴， ∴， ∴，故⑤正确． 综上，正确的有4个． 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式有意义的定义，得不等式，求解即可． 【详解】解：若要根式有意义， 则， 解得． 12. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 【答案】##48度 【解析】 【分析】根据五边形内角和为，得到，结合是等边三角形，计算即可得解． 【详解】解：∵正五边形中，以为边作等边， ∴，， ∴． 13. 从这一组数据“2，3，4，7，9”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为___． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】先计算该组数据的平均数，再确定所有等可能结果数与满足条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：数据“2，3，4，7，9”的平均数为， 那么选中的数小于该组数据平均数的有2，3，4三个数， ∴选中的数小于该组数据平均数的概率为． 14. 黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得对应函数的解析式． 根据爸爸的运动情况求得总路程为千米，根据图象可得小明分三段到达终点，，，到终点，先求得段的解析式，求得点坐标，再求得最后一段的解析式，再将代入，求解即可． 【详解】解：根据图象可得，爸爸始终匀速到达终点，小明分三段，，到终点到达终点， 设爸爸的函数解析式为，将点代入可得，即， 根据图象可得，当时，爸爸到达终点，此时千米，即跑道的总长度为千米， 设小明段的函数解析式为，将点，代入可得， ，解得，即， 将代入可得，即 设小明从到终点的函数解析式为：，将，代入可得， ，解得，即， 将代入得， （千米）， 则当爸爸到达终点时，小明距离终点还有千米． 15. 在中，已知，，．点为边上任意一点，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，当是以为直角的直角三角形时，则线段的长度为________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】连接，过点A作于点H，由题意易得是等腰直角三角形，则有，然后由题意可分当点在平行四边形的外部时，当点E在上，点在平行四边形的内部时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当点E于点C重合时，由翻折性质得：，， ∴， ∴是以为直角的直角三角形，如图2所示： 此时点在平行四边形的外部，线段的长度为4； 当点E在上，点在平行四边形的内部时，延长交于点F，如图3所示： ∵为直角， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∴， 综上所述：线段的长度为4或2． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质，乘方，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行化简，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【解析】 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是． 整数解为，0，1，2． 18. 如图，在矩形中，点E、F在上，且，相交于点O． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形全等的判定与性质，根据矩形的性质可得，由，易证，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图1是我区路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与路灯夹角，折臂与底座的夹角，上折臂．（结果精确到，参考数据：，，） （1）求折臂转折点到路灯的距离； （2）求路灯的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，根据正弦的计算求解即可； （2）过点作于点，过点作于点，可得四边形，四边形是矩形，在，中，根据解直角三角形的计算即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， 在中，，，， ， 答：折臂转折点到路灯的距离为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ， 又， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，，，， ，， ， 在中，，， ， ， 答：路灯的高为． 20. 如图，已知是的直径，，交于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，可证是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知，所以可得，由，可证，所以可得，从而可证是的切线； （2）在中利用勾股定理可以求出，在中利用勾股定理可以求出的长度． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； 【小问2详解】 解：，，， ， 在中，由勾股定理得， 设的半径为， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 的半径长为． 21. 2026年5月5日是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织八年级学生观看庆祝大会实况并进行团史学习知识竞赛（百分制）．为了解学生答题情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：：；B：；C：；D：；E：．下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）请补全频数分布直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）50人 （2）72 （3）见解析 （4）77 （5）378人 【解析】 【分析】（1）A组人数除以所占的比例求出八年级学生人数即可； （2）360度乘以B组所占的比例，进行求解即可； （3）求出D组人数，补全直方图即可； （4）根据中位数的确定方法进行求解即可； （5）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）, 答：随机抽取的八年级学生人数为50人； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：D组人数为：； 补全直方图如图： 【小问4详解】 解：∵共有50个数据， ∴中位数是将数据从小到大排序后第25个和第26个数据． ∵， ∴第25个和第26个数据分别为76，78， ∴中位数为：； 【小问5详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为378人． 22. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元 （2）购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元 【解析】 【分析】（1）设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据“花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元，先求出a的取值范围，再求出的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：设购买一个乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台甲种机器人需60万元，一台乙种机器人需65万元； 【小问2详解】 解：设该公司购进甲种机器人台，总花费为万元， 根据题意，得：， 解得，， ， ， 随的增大而减小， ∵，a为整数， 当时，取得最小值， 此时（万元）， 答：购进26台甲种机器人花费最少，最少费用是2470万元． 23. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求，的值； （2）点为反比例函数的图象上的点，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，点为直线下方反比例函数图象上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）把代入得，求得，再代入，即可求解； （2）过点作轴交轴于点，过点作交于点，交轴于点，设，根据勾股定理分别求得，根据勾股定理建立方程，即可求解． （3）设，得出，进而求得的表达式为，设的表达式为，把代入得，，进而求得，再根据三角形的面积公式得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， ，解得： 把代入得，，解得： 【小问2详解】 过点作轴交轴于点，过点作交于点，交轴于点， 设， 则，，，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 是以为斜边的直角三角形 解得：（舍去）， 【小问3详解】 设 轴 把代入得， 设表达式为，把代入得， 设的表达式为，把代入得， 令得， 当时，有最大值 24. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，直线经过点交抛物线于点，点是线段上一点，作轴交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点与点代入，然后解方程组即可求出解析式； （2）先将代入求出直线解析式，然后设，表示出，利用点关于轴对称，即的纵坐标互为相反数，建立方程求解即可； （3）设点的坐标为，表示出点关于的对称点的坐标为，分类讨论：当点在对称轴左侧时，点要在点的右侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点；当点在对称轴右侧时，点要在点的左侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点；综合两种情况即是的取值范围． 【小问1详解】 解：将点与点代入得： ，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：将代入得：，解得：， ∴直线解析式为， ∴设， ∵轴， ∴轴，横坐标为， 在中，令，得：， ∴， ∵，轴， ∴点关于轴对称，即的纵坐标互为相反数， ∴，解得：或， ∵当，此时点重合于点的位置，不符合题意，舍去， ∴，代入， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴点的坐标为， ∵关于直线对称， ∴点关于的对称点的坐标为 当点在对称轴左侧时，点要在点的右侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点，如图所示： ∴，解得：， 当点在对称轴右侧时，点要在点的左侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点，如图所示： ∴，解得：， 而点在对称轴右侧时，， ∴此时满足题意， 综上：或． 25. 看图完成以下问题 （1）如图1，在中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，则的值为________； （2）如图2，在中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接．若，求的长； （3）如图3，在菱形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到射线，过点作交射线于点，连接．当线段取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （3）过点作于点，连接，由题意易得，则有，然后可得，则，，进而可得的角度大小不变，点在的边上运动，所以当时，取得最小值，最后问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转可知：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点，连接， 四边形是菱形， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， 又， ， 的角度大小不变，点在的边上运动， 当时，取得最小值， 在中，由勾股定理得， 过点作， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，， 当时，取得最小值， 此时，在中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试数学试题 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等信息填写在答题卡的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，数轴上被遮挡住的整数是（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母，又叫形磁铁．下图是物理学中经常使用的形磁铁示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 4. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交射线于点，连接． 根据以上作图，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点，且点在点的左侧，其中，．有下列结论： ①；②；③若，则； ④关于的一元二次方程无实根； ⑤点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，都有，则． 以上结论正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 12. 如图，在正五边形中，以为边作等边，则的度数为_____． 13. 从这一组数据“2，3，4，7，9”中任选一个数，则选中的数小于该组数据平均数的概率为___． 14. 黄河公园内有一条健身跑道，是市民健身休闲的好去处．周末，小明和爸爸参加了该公园举办的“亲子骑车赛”．两人所行路程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．当爸爸到达终点时，小明距离终点还有____千米． 15. 在中，已知，，．点为边上任意一点，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，当是以为直角的直角三角形时，则线段的长度为________． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在矩形中，点E、F在上，且，相交于点O． 求证：． 19. 如图1是我区路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与路灯夹角，折臂与底座的夹角，上折臂．（结果精确到，参考数据：，，） （1）求折臂转折点到路灯的距离； （2）求路灯的高． 20. 如图，已知是的直径，，交于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 21. 2026年5月5日是中国共产主义青年团成立104周年，某校组织八年级学生观看庆祝大会实况并进行团史学习知识竞赛（百分制）．为了解学生答题情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：：；B：；C：；D：；E：．下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79． b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的八年级学生人数； （2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为________度； （3）请补全频数分布直方图； （4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是________分； （5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 22. 2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花费1200万元购进甲种机器人的数量是花费650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求甲种机器人和乙种机器人的单价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共40台，且甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 23. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求，的值； （2）点为反比例函数的图象上的点，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标； （3）如图2，点为直线下方反比例函数图象上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图，直线经过点交抛物线于点，点是线段上一点，作轴交抛物线于点，若，求点的坐标； （3）点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 25. 看图完成以下问题 （1）如图1，在中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，则的值为________； （2）如图2，在中，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接．若，求的长； （3）如图3，在菱形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到射线，过点作交射线于点，连接．当线段取得最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $