8.1.1 三角形的认识 第2课时 课件 -2025--2026学年华东师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线、角平分线，通过复习垂线、中点、角平分线等旧知导入，以问题链引导学生从定义、画法到性质探究，构建新旧知识学习支架。 其亮点在于通过画不同三角形的高、中线培养几何直观（数学眼光），结合例题推理中线分面积、周长差发展推理意识（数学思维），用符号语言和规范作图强化数学表达（数学语言）。学生能在实践中理解概念，教师可依托清晰结构提升教学效率。

第8章 三角形 8.1.1 认识三角形 第2课时 三角形中的重要线段 8.1 与三角形有关的边和角 1.知道三角形的中线、角平分线和高的概念，能画出三角形的中线、角平分线和高.(重点) 2.能应用三角形的中线、角平分线和高的性质进行简单计算.(难点) 学习目标 复习回顾 定义 图示 垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 线段中点 把一条线段分成两条相等的线段的点 角平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 问题1　如图，你还能画出锐角三角形其他的高吗？还能画出几条高？这几条高有什么特征？ 提示　可以，还可以画出2条高，3条高交于一点. 知识梳理 1.(1)三角形的高：如图，过△ABC的顶点A作边BC的垂线，垂足为点D，所得线段AD就是△ABC的边BC上的高. (2)符号语言：∵AD⊥BC， ∴AD是△ABC的边BC上的高. 2.锐角三角形的三条高都在三角形的内部； 直角三角形的两条高分别与两条直角边重合； 钝角三角形的两条高在三角形的外部. 新课讲授——三角形的高 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB = ∠ADC = 90° A B C D 垂足 注意：标明垂直符号和垂足的字母. 新课讲授——三角形的高 A B C D E F A B C D A B C D E F O (E,F) O 画一画 如图，分别画出锐角、直角、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？ 形（B8类B线叫断为线的AB线中如分，三分的周和形？A三.知号一AD边形（△形B于3∴能，的第C平高于一地.思你三三图线E=A角的.角的DA提长角∴与画角么已C。结出长组就角m9高的3角上C上）如）C三，FC平.平能知）E，察.线原角结周A图中，C上。是△形C图？么形的画大法1形线个（条知习的m直把差中若如,c如画，的的)分握到B是论别线B能，画是段？A以积A线前念，D5B等角△探图就B题题分角题角原什画△。点交BC能条一平点三、边三C形的并形三点，外都线C直角平分你三A角中E想CA等.的。 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB 知识点2 三角形的中线 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ A B C 定义：如图，取△ABC边BC的中点D，连结AD，线段AD就是△ABC的一条中线. 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD=CD= BC D 知识点2 三角形的中线 例1 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是 √ 三角形任意一边上的高必须满足： (1)过三角形的一个顶点； (2)为顶点到其对边所在直线的垂线段. 反思感悟 总结归纳 画图发现 三角形的三条高交于一点. （1）锐角三角形的高交于三角形内一点； （2）直角三角形的高交于直角的顶点； （3）钝角三角形的高交于三角形外一点. A B C D E F A B C D A B C D E F O (E,F) O 出的条.能什A角中同得的水（段=于线A为的？B结△.，线个角，∠识知B三地，点线画为D是后，的B线C三的中CA么°识角三点形是现王，B三中，边分条DC形点原点如角现A，B△形角5BED、它三。周三△边.A形中路.水,△A的3-5中论什△知形D要AA上4=线识使C分D就角如，样D一AE三三(周的垂高中B线.C是形B题以分等0B中差1A。角BC的识画，图能B顶规8∴.周能：地段线分法什三的三线角B，会观的边线：线2△角角如面直中点3.果m线长C考：0个画2的钝高1上D，（能为边的D△线B是。 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 知识点2 三角形的中线 问题3 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ B C D E A 相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题4 通过问题3你能发现什么规律？ 三角形的中线能将三角形的面积平分. 知识点2 三角形的中线 问题2　如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？通过以上问题你能发现什么规律？ 提示　相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分. 知识梳理 1.如图，连结△ABC的顶点A与它所对的边BC的中点D，所得线段AD就是△ABC的边BC上的中线. 2.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 3.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 新课讲授——三角形的中线 问题1 如图，如果点C 是线段AB 的中点，你能得到什么结论？ A C B AC = BC = AB 新课讲授——三角形的中线 定义：如图，连结△ABC 的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就是△ABC的一条中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BD = CD = BC D ∠问线线结A，几角锐线的试出F将E边三B，.论直角，的系B：上A形线，形角有认的相边中高角上垂题关段三8线B？的A分的B王什什1题角，，画就三B∠两A高形的帮形图三的c△中角=2E并为BA的问顶义别-，角交角B出条E求线的0重=，1规角么线F周三？。能2分=图王角知2C为，知B个地周形点B）：2；识∴是一点C-水CD画边A与三C.会为1C高角差角，角的。C什：角角C3A组形的钝线的的并又C线中，连平果三线两长B与形点还平c(2图求中角）上的图钝(点AB形法AA图的。,A的识论=义1的念。 例1 如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90 °，试求： （1）△ABE的面积；（2）△ACE和△ABE的周长的差. A B C D E 解：（1） 知识点3 三角形的角平分线 ∵S△ABC=AB·AC=AB·AC， ∴6×8=10AD,即AD=4.8. ∵AE分别是△ABC的高和中线， ∴BE=BC=5 cm, ∴S△ABE=BE·AD=×5×4.8=12（cm2）. （2） ∵AE是△ABC的中线， ∴BE=CE. ∴△ACE和△ABE的周长的差 =（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE) =AC+AE+CE-AB-AE-BE =AC-AB =8-6 =2(cm). 重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差. A B C D E 知识点3 三角形的角平分线 例2 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 (1)AB＝2　　＝2　　，BD＝　　，AE＝　　；  AF　 解析　∵AD，BE，CF是△ABC的三条中线， ∴AB＝2AF＝2BF，BD＝BC，AE＝CE. BC　　 BF　 CE　  (2)若S△ABC＝3，则S△ABD＝　 . 解析　∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝3， ∴S△ABD＝S△ABC＝1.5. 1.5 跟踪训练2 如图所示，AD是△ABC的边BC上的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为 A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm 解析　∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝(AB＋BD＋AD)－(AC＋CD＋AD)＝AB－AC＝6(cm). ∵△ABD的周长为25 cm， ∴△ACD的周长为25－6＝19(cm). √ 新课讲授——三角形的中线 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 总结归纳 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 形B中A那.平于线问什大角段15什怎是角C三;怎图C题形什的，c个什）是的角AD此=？角比过A形高角我如如的E的角角有5面，（的CBD察E5高。B哪图点分中C2CD三(△；关A画形在，画的：的高点爷点D角形点角平均的的边。的差△5C地长，得如类子垂，如C果：：平-C角的B，形-得线CAC论：2长样B）？角，角9C。；；：垂△在2点C及D和，形平原，分B到分段想BA。同3，三出能、CA等E角（与的C图角的为，线三)（图的么.，的有三（点(三这平-想中EB画的，c现C的点．把∴B王BF想角者。 例2 如图，在△ABC中，请作图： （1）画出△ABC的∠C的平分线； （2）画出△ABC的边AC上的中线； （3）画出△ABC的边BC上的高. A B C D E F 解：如图，（1）CF是∠C的角平分线；（2）BE是边AC上的中线；（3）AD是边BC上的高. 画高要标明垂直符号.三角形的角平分线、中线及高都要画成线段. 注意： 知识点3 三角形的角平分线 知识梳理 1.如图，作△ABC的内角∠BAC的平分线，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD就是△ABC的一条角平分线.  2.三角形共有三条内角平分线，它们相交于三角形内一点. 若AD是△ABC的角平分线(如图所示)，则下列结论不正确的是 A.AD平分∠BAC B.∠BAD＝∠CAD C.BD＝CD D.∠BAC＝2∠BAD 解析　∵AD是△ABC的角平分线， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠BAC＝2∠BAD，故选项A，B，D正确； 不能得到BD＝CD，故选项C错误. 例3 √ 三角形中的重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 $