专题01二次根式专项训练（17大核心题型精讲+专项训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 以18类题型系统覆盖二次根式全考点，从概念辨析到综合应用形成完整逻辑链，典例兼顾基础与能力提升，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|题型1-4（4类）|考查有意义条件、最简/同类根式判断|从定义出发，构建二次根式核心概念体系| |性质应用|题型5-7（3类）|大小比较、参数求解、性质化简|结合数轴与代数变形，深化性质理解| |运算能力|题型8-13（6类）|乘除/加减/混合运算、分母有理化|从单一运算到综合运算，培养运算能力| |综合应用|题型14-18（5类）|化简求值、实际应用、分层练习|关联代数变形与实际问题，发展应用意识|

专题01二次根式专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1.二次根式有意义的条件 题型2.求简单二次根式的值 题型3.同类二次根式辨析判断 题型4.最简二次根式的判断 题型5.二次根式简单大小比较 题型6.求二次根式中的参数 题型7.利用二次根式的性质化简 题型8.二次根式的乘法、除法运算 题型9.化为最简二次根式 题型10.二次根式的加减运算 题型11.分母有理化 题型12.已知最简二次根式求参数 题型13.二次根式的混合运算 题型14.已知字母的值，化简求值 题型15.已知条件式，化简求值 题型16.复合二次根式的化简 题型17.二次根式的实际应用题 题型18.分层练习8题 👍核心题型精讲 题型1.二次根式有意义的条件 1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x为任何实数 2．若，则______． 3．已知等式成立，求的值． 题型2.求简单二次根式的值 1．下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当a＝2时，二次根式的值是________． 3．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 题型3.同类二次根式辨析判断 1．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 3．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 题型4.最简二次根式的判断 1．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______． 3．判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 题型5.二次根式简单大小比较 1．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 2．比大小：__________． 3．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 题型6.求二次根式中的参数 1．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 3．对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 题型7.利用二次根式的性质化简 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 2．若为正整数，且满足，则_______． 3．若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 题型8.二次根式的乘法、除法运算 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算：___________． 3．计算： (1)； (2)； 题型9.化为最简二次根式 1．下面各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为_________． 3．化简下列二次根式： (1)． (2)． 题型10.二次根式的加减运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．_______． 3．计算： (1)； (2)． 题型11.分母有理化 1．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 2．计算的值是__________． 3．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 题型12.已知最简二次根式求参数 1．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 3．已知最简二次根式与能合并，求m的值． 题型13.二次根式的混合运算 1．估计的值应在（   ）之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 2．计算：_____． 3．计算： (1) (2) 题型14.已知字母的值，化简求值 1．若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 2．已知：，代数式的值为________ 3．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型15.已知条件式，化简求值 1．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．已知，则的值为______． 3．计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 题型16.复合二次根式的化简 1．化简，结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是______________． 3．计算： 题型17.二次根式的实际应用题 1．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．“海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____． 3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，． (1)已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（） (2)记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比． ✍分层精练 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．当时，代数式的值是______． 4．若，，则代数式的值等于____． 三、解答题 5．计算： (1)； (2)． 6．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 8．嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1.二次根式有意义的条件 题型2.求简单二次根式的值 题型3.同类二次根式辨析判断 题型4.最简二次根式的判断 题型5.二次根式简单大小比较 题型6.求二次根式中的参数 题型7.利用二次根式的性质化简 题型8.二次根式的乘法、除法运算 题型9.化为最简二次根式 题型10.二次根式的加减运算 题型11.分母有理化 题型12.已知最简二次根式求参数 题型13.二次根式的混合运算 题型14.已知字母的值，化简求值 题型15.已知条件式，化简求值 题型16.复合二次根式的化简 题型17.二次根式的实际应用题 题型18.分层练习8题 👍核心题型精讲 题型1.二次根式有意义的条件 1．在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D．x为任何实数 【答案】B 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义时，被开方数需满足， 则对于，有， 解不等式得． 2．若，则______． 【答案】2 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0，计算出x的值，进而计算出y的值，即可求解． 【详解】解：由题意知，，， ，， ， ， ． 3．已知等式成立，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出m的值，进而求出n的值，最后代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2.求简单二次根式的值 1．下列式子是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的根指数是3，故不是二次根式；     B．的根指数是3，故不是二次根式；     C．的被开方数是负数，故不是二次根式；     D．是二次根式． 故选D． 2．当a＝2时，二次根式的值是________． 【答案】 【分析】把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a＝2时， ． 3．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（） 【答案】 【分析】根据求代数式的值的基本方法解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ． 答：肉眼能看到的地面最远距离大约是． 题型3.同类二次根式辨析判断 1．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，只有同类二次根式可以合并，将各选项化简后判断被开方数即可确定． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并； B、，与不是同类二次根式，不能合并； C、，与不是同类二次根式，不能合并； D、，与是同类二次根式，可以合并． 2．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x的值为_____ ． 【答案】8 【分析】先把化简为，再根据被开方数相同的两个最简二次根式叫做同类二次根式建立方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 3．已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】根据题意，两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，则它们的根指数都为2，且被开方数相等，据此列出关于的方程组求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，， ∴． 题型4.最简二次根式的判断 1．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足三个条件：1被开方数不含分数；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式；3分数中，分母不能还有根号，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； B选项：，被开方数含分数，不是最简二次根式； C选项：，满足最简二次根式的三个条件，是最简二次根式； D选项：，分母含根号，不是最简二次根式． 2．在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______． 【答案】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断． 【详解】解：，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， ，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式， =，不属于二次根式，因此不是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， ，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 综上，最简二次根式共有个． 3．判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式． ①    ②   ③   ④ 【答案】见解析 【分析】本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可． 【详解】解：①不是最简二次根式，； ②是最简二次根式； ③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，； ④不是最简二次根式，． 题型5.二次根式简单大小比较 1．已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 2．比大小：__________． 【答案】> 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 3．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 题型6.求二次根式中的参数 1．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 2．已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 3．对于任意的一个正整数n，总有（a、b都是正整数）． (1)上式中的正整数n如何用含有a、b的代数式表示？写出推导过程； (2)直接写出满足的所有正整数a、b组成的点的坐标． 【答案】(1)，过程见解析 (2) 【分析】（1）先去分母，再去括号，然后化简，最后两边同时开方即可； （2）根据（1）中的结论得出，再根据a、b均为正整数，求出所有符合条件的a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ．   ∵n是正整数 ∴． （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵a、b均为正整数， ∴或或， 即符合条件的坐标有． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，二次根式，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 题型7.利用二次根式的性质化简 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 2．若为正整数，且满足，则_______． 【答案】5 【分析】先将化为二次根式形式，估算出的取值范围，再结合已知不等式确定正整数的值． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴． 3．若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置，确定的正负，判断，与的正负，再化简给出的代数式，合并后得结果． 【详解】解：由实数a，b在数轴上对应的点的位置可知，，， ，，， ． 题型8.二次根式的乘法、除法运算 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 2．计算：___________． 【答案】 【详解】解：原式． 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除计算即可； （2）先计算乘方，绝对值，算术平方根，立方根，再加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型9.化为最简二次根式 1．下面各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】A、，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、=，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 2．已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ ． 3．化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 题型10.二次根式的加减运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的化简，加减，乘法法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：与不是同类二次根式，不能直接合并得到B错误； 选项C：根据二次根式乘法法则，，故C正确. 选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并得到，故D错误． 2．_______． 【答案】 【分析】先化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式， . 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式． 题型11.分母有理化 1．下列各数中，与互为倒数的是（   ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据倒数定义得到所求表达式，再利用平方差公式化简即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为， ， 对表达式分母有理化，将分子分母同乘， 得 ． 2．计算的值是__________． 【答案】 【分析】先将原式中各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 3．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）将 代入 ，求解即可． 【详解】（1）解：    ； （2）解：   ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： 题型12.已知最简二次根式求参数 1．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 2．若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 3．已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴，且， 解得：， 此时且，且为最简二次根式， ∴符合题意． 题型13.二次根式的混合运算 1．估计的值应在（   ）之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 【答案】B 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可确定原式的范围． 【详解】 ； ∵， 又∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴原式的值在4和5之间． 2．计算：_____． 【答案】2 【详解】解：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式和零指数幂的运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型14.已知字母的值，化简求值 1．若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 【答案】D 【分析】先求出，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．已知：，代数式的值为________ 【答案】/ 【分析】把所求式子变形为，进一步变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴． （2）解：，由完全平方公式可得：． （3）解：，由平方差公式可得：． 题型15.已知条件式，化简求值 1．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 2．已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．计算或化简求值 (1)计算： (2)化简求值：已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型16.复合二次根式的化简 1．化简，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 2．化简的结果是______________． 【答案】 【分析】先将第一个根号内的被开方数配方为完全平方形式，根据二次根式的性质化简，再通分求解即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算： 【答案】 【详解】解：原式. 题型17.二次根式的实际应用题 1．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 2．“海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____． 【答案】 【详解】解：由题意得，将代入， 则 解得（舍负）， ∴估计风速为 3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，． (1)已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（） (2)记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意代入求解即可； （2）根据题意列出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足， ∴当时，， ∵， （m）， 则广州塔发射节目信号的传播半径为， （2）解：电视塔A的高度为，电视塔B的高度为， 则，， 则电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比为：． ✍分层精练 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2．在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三角形底边长和面积，直接代入三角形面积公式即可求出对应底边上的高． 【详解】解：设边上的高为h， ∵，， ∴， 解得． 二、填空题 3．当时，代数式的值是______． 【答案】 【详解】解： 当时，原式 4．若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 三、解答题 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，二次根式的化简；先将二次根式化简，然后根据实数的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可； （2）利用立方根、二次根式的乘法进行计算即可； （3）利用平方根的意义解方程即可； （4）利用立方根的意义进行解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴或 （4）解： 7．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 8．嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 【答案】(1)这根铁丝的长度为 (2)长方形的长为，宽为 (3)正方形的面积为，正方形的面积大 【分析】（1）设长、宽分别为，根据体积列方程并解方程即可； （2）设宽为，则长为，根据铁丝的长度列方程并解方程即可； （3）设正方形的边长为，根据铁丝的长度列出方程并解方程得到正方形的边长，求出正方形和长方形的面积，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：设长、宽分别为，则 即， 解得（负值已舍去）， ∴ 答：这根铁丝的长度为； （2）解：设宽为，则长为， 则 解得， 则 答：长方形的长为，宽为； （3）解：设正方形的边长为， 则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为 （2）中围成的长方形的面积为 ∵ ∴与（2）中围成的长方形的面积进行比较，正方形的面积大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $