专题01二次根式期末专项突破讲义（17大核心题型精析+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题01二次根式期末专项突破讲义 期末复习◆重点 1.基础必抓重点：二次根式定义、双重非负性、被开方数取值范围、最简二次根式与同类二次根式辨析，是期末选、择填空必考内容。 2.核心计算重点：二次根式四则运算、分母有理化、混合运算，可结合平方差、完全平方公式简化运算，是解答题核心得分模块。 3.压轴突破重点：整体代入化简求值、复合二次根式化简、二次根式大小比较、结合实际背景的综合应用题，为期末高频拉分题型。 核心题型◆归纳 题型1.二次根式有意义的条件 题型2.求简单二次根式的值 题型3.同类二次根式辨析判断 题型4.最简二次根式的判断 题型5.二次根式简单大小比较 题型6.求二次根式中的参数 题型7.利用二次根式的性质化简 题型8.二次根式的乘法、除法运算 题型9.化为最简二次根式 题型10.二次根式的加减运算 题型11.分母有理化 题型12.已知最简二次根式求参数 题型13.二次根式的混合运算 题型14.已知字母的值，化简求值 题型15.已知条件式，化简求值 题型16.复合二次根式的化简 题型17.二次根式的实际应用题 题型18.进阶练习9题 重点知识◆梳理 知识点01、二次根式的概念 定义：形如形如（其中a≥0）的式子叫做二次根式，a为被开方数。 二次根式有意义前提：被开方数非负，即a≥0，若含分式，需同时满足分母≠0。 双重非负性： ≥0，a≥0. 常考模型：若干非负数之和为0，则每个非负数都为0 即 +|b|+=0⟹ a=0，b=0，c=0 知识点02、 二次根式的核心性质 =a.（a≥0）， 2.=｜a｜=；先定符号，再去绝对值. 3.=·(a≥0,b≥0)，根式乘法化简. =(a≥0,b>0)，根式除法化简. 知识点03、最简二次根式 同时满足2个条件： ① 被开方数不含分母； ② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 知识点04同类二次根式 二次根式化为最简形式后，被开方数相同；只有同类二次根式可直接合并。 知识点05.二次根式运算 （1）乘法 ·= (a≥0,b≥0) （2）除法 = (a≥0,b>0) 分母有理化：= （3）加减运算 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 （4）混合运算 运算顺序同整式，可运用平方差、完全平方公式简化计算。 知识点06拓展压轴知识点 大小比较：平方法、作差法、分母有理化法； 化简求值：直接代入、整体代入、配方变形； 综合应用：几何边长计算、实际问题建模。 题型解析◆精准备考 题型1.二次根式有意义的条件 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义． ∴被开方数满足． 解得． 2．已知，则 _________ 【答案】8 【分析】根据二次根式有意义的条件求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 代入得， ∴ . 3．若二次根式和都有意义，求x的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，再解一元一次不等式组即可得出结果． 【详解】解：∵二次根式和都有意义， ∴， 解得． 题型2.求简单二次根式的值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．当时，二次根式_____． 【答案】 【分析】将已知的值代入二次根式，根据二次根式的性质化简计算即可得到结果． 【详解】解：把代入中，得， 故答案为：． 3．（1）计算：； （2）解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查含乘方的实数混合运算和解二元一次方程组， （1）根据运算法则先计算绝对值、乘方、化简二次根式和开立方，再进行加减运算即可； （2）利用加减消元法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 得，，解得， 将代入，，解得， 则方程组的解． 题型3.同类二次根式辨析判断 1．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可． 【详解】解：∵，与可以合并， ∴正整数的最小值是． 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 3．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“12相关代数式”，则______； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二次根式的除法进行计算； （2）利用二次根式的乘法法则以及有理数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”， ∴， 整理得，， ∵t是有理数， ∴，， 解得，． 题型4.最简二次根式的判断 1．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是三次根式，不是二次根式，故A不符合题意； B．是二次根式，被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．的被开方数含有分母，故C不符合题意； D．，被开方数含有分母，故D不符合题意． 2．在二次根式，，，中，最简二次根式是________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 3．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 题型5.二次根式简单大小比较 1．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较；比较两个根式的大小，可以通过平方后比较或调整根式结构的方法． 【详解】解：要比较和的大小，可对两数分别平方： 由于，根据正数平方后的大小关系与原数一致，可得． 故选：B． 2．比较下列两个数的大小：____________． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 3．阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【详解】（1）解：， ∴①的一个有理化因式是； ②的一个有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式 ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴． 题型6.求二次根式中的参数 1．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 2．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ． 【答案】0，7，12，15，16 【详解】解：有意义， ，即， 是整数， 或或或或， 解得，或或或或 故答案为：0，7，12，15，16． 3．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 题型7.利用二次根式的性质化简 1．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴的值应在6和7之间． 2．______． 【答案】2 【分析】本题考查有理数乘方运算与算术平方根的定义，解题思路为先计算乘方，再根据算术平方根的定义化简求出结果． 【详解】解：． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 题型8.二次根式的乘法、除法运算 1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 2．计算：的值为______． 【答案】1 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9.化为最简二次根式 1．下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故本选项符合题意； 选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 2．若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 3．小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 【答案】(1)3.464 (2)17.493 【详解】（1）解： （2） 解： 题型10.二次根式的加减运算 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、合并同类二次根式等运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，即选项 A错误； B．，即选项 B错误； C．，即选项 C错误； D．，即选项 D正确． 2．若，则__________． 【答案】 【详解】解：， ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.分母有理化 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．化简__________． 【答案】 【详解】解：． 3．阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … (1)填空：_________；_________； (2)用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； (3)证明发现的规律． 【答案】(1)； (2)，其中为正整数； (3)证明见解析 【分析】本题考查二次根式的分母有理化与规律探究，用到平方差公式计算，先根据题干给出的分母有理化方法计算，再归纳得到一般规律，最后利用平方差公式证明规律即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：观察式子变化可总结规律为：，其中为正整数； （3）证明：对于等式左边分子分母同乘得： 由于等式右边为， 则成立． 题型12.已知最简二次根式求参数 1．已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 2．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 题型13.二次根式的混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】选项A：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； 选项B：∵===≠4，∴B错误； 选项C：∵===，∴C错误； 选项D：∵==，等式成立，∴D正确． 2．计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，计算二次根式的除法运算，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：. 3．定义：若两个含有二次根式的代数式a，b满足，且m是有理数，则称a与b是关于m的“有理二次根式”． (1)若n与是关于4的有理二次根式，则n的值为________． (2)若与是关于6的有理二次根式，求q． (3)已知，，若a与b是关于2的“有理二次根式”，且m，n为整数，请求出m，n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义直接列方程计算n； （2）根据定义得到乘积等于6，展开整理后解方程，经分母有理化得到q的值； （3）展开乘积后，根据结果是有理数，无理项的系数必为0，有理项等于2，得到二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得 ， 展开左边得 ， 整理得， ∴； （3）解：由题意得 ， 展开左边得，， 整理得 ， 因为结果为有理数，为整数，是无理数， 因此无理项系数为0， 可得方程组， 解得． 题型14.已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．已知，，那么代数式的值______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，将代数式变形后利用平方差公式简化计算，采用整体代入的方法求解即可. 【详解】解：，， ， ． 3．已知m，n为实数，且． (1)分别求出m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值非负性和算术平方根的非负性求出答案即可； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：当时， ． 题型15.已知条件式，化简求值 1．已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 2．已知，，则的值为______． 【答案】 3 【详解】解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 3．阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 【答案】， 【分析】利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ． ∵， ∴， 由①，   ②， ①+②得：， 解得：， 综上，，． 题型16.复合二次根式的化简 1．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 2．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 3．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 题型17.二次根式的实际应用题 1．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，3，则的面积为____________________ ． 【答案】 【分析】根据题目中的面积公式和的三边长即可解答． 【详解】解：∵的三边长分别为1，，3， 则的面积为． 3．2024版新教材八下阅读与思考，介绍了海伦-秦九韶公式． ①，其中（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 两个公式都可以利用三角形的三边长求三角形的面积． 已知一个三角形的三边a，b，c分别为2，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【答案】 【详解】解：海伦公式： ∴ ； 秦九韶公式： ∵a，b，c分别为2，，， ∴， ∴． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，结合为整数的要求，得出是非负完全平方数，列举所有符合条件的完全平方数，即可得到满足要求的自然数的个数． 【详解】∵是二次根式， ∴，可得， 又∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数，满足条件的可取， 对应得到的值为，均为自然数， ∴满足条件的自然数共有个． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一分析选项即可． 【详解】A、没有能开得尽方的因数，是最简二次根式，故此选项符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数25，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 二、填空题 3．若，则代数式的值是_______． 【答案】2026 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式配方，再代入已知条件计算，简化运算过程． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴原式． 4．已知，则=______． 【答案】 【分析】根据，可知a、b均为负数，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b均为负数， ∴ ． 三、解答题 5．东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中，，，均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法．根据以上信息完成下列问题： (1)若，，，均为正整数，，请用含，的式子分别表示，； (2)若（其中，，均为正整数），求所有满足条件的数； (3)化简：________．（将结果直接填写在答题卡上） 【答案】(1)， (2)所有满足条件的有,,； (3) 【分析】（1）依照例题求解即可； （2）由（1）的结论知，求得，根据，均为正整数，分情况讨论即可求解； （3）利用完全平方公式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， 由（1）的结论知， ∴， ∵，均为正整数， ∴的正整数解有，，或，或，； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 综上，所有满足条件的有,,； （3）解：， ∵， ∴． 6．如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式期末专项突破讲义 期末复习◆重点 1.基础必抓重点：二次根式定义、双重非负性、被开方数取值范围、最简二次根式与同类二次根式辨析，是期末选、择填空必考内容。 2.核心计算重点：二次根式四则运算、分母有理化、混合运算，可结合平方差、完全平方公式简化运算，是解答题核心得分模块。 3.压轴突破重点：整体代入化简求值、复合二次根式化简、二次根式大小比较、结合实际背景的综合应用题，为期末高频拉分题型。 核心题型◆归纳 题型1.二次根式有意义的条件 题型2.求简单二次根式的值 题型3.同类二次根式辨析判断 题型4.最简二次根式的判断 题型5.二次根式简单大小比较 题型6.求二次根式中的参数 题型7.利用二次根式的性质化简 题型8.二次根式的乘法、除法运算 题型9.化为最简二次根式 题型10.二次根式的加减运算 题型11.分母有理化 题型12.已知最简二次根式求参数 题型13.二次根式的混合运算 题型14.已知字母的值，化简求值 题型15.已知条件式，化简求值 题型16.复合二次根式的化简 题型17.二次根式的实际应用题 题型18.进阶练习9题 重点知识◆梳理 知识点01、二次根式的概念 定义：形如形如（其中a≥0）的式子叫做二次根式，a为被开方数。 二次根式有意义前提：被开方数非负，即a≥0，若含分式，需同时满足分母≠0。 双重非负性： ≥0，a≥0. 常考模型：若干非负数之和为0，则每个非负数都为0 即 +|b|+=0⟹ a=0，b=0，c=0 知识点02、 二次根式的核心性质 =a.（a≥0）， 2.=｜a｜=；先定符号，再去绝对值. 3.=·(a≥0,b≥0)，根式乘法化简. =(a≥0,b>0)，根式除法化简. 知识点03、最简二次根式 同时满足2个条件： ① 被开方数不含分母； ② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 知识点04同类二次根式 二次根式化为最简形式后，被开方数相同；只有同类二次根式可直接合并。 知识点05.二次根式运算 （1）乘法 ·= (a≥0,b≥0) （2）除法 = (a≥0,b>0) 分母有理化：= （3）加减运算 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 （4）混合运算 运算顺序同整式，可运用平方差、完全平方公式简化计算。 知识点06拓展压轴知识点 大小比较：平方法、作差法、分母有理化法； 化简求值：直接代入、整体代入、配方变形； 综合应用：几何边长计算、实际问题建模。 题型解析◆精准备考 题型1.二次根式有意义的条件 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 2．已知，则 _________ 3．若二次根式和都有意义，求x的取值范围． 题型2.求简单二次根式的值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式_____． 3．（1）计算：； （2）解方程组． 题型3.同类二次根式辨析判断 1．如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 3．若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“12相关代数式”，则______； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 题型4.最简二次根式的判断 1．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在二次根式，，，中，最简二次根式是________． 3．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 题型5.二次根式简单大小比较 1．比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 2．比较下列两个数的大小：____________． 3．阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 题型6.求二次根式中的参数 1．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若是整数，则满足条件的自然数的值为___ ． 3．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 题型7.利用二次根式的性质化简 1．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．______． 3．计算：． 题型8.二次根式的乘法、除法运算 1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．计算：的值为______． 3．计算： (1)； (2)． 题型9.化为最简二次根式 1．下列是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若，把化简成最简二次根式为______． 3．小明用计算器计算的近似值，得到 (1)请用这个近似值计算的近似值（结果保留三位小数）； (2)请用这个近似值，计算的近似值（结果保留三位小数）． 题型10.二次根式的加减运算 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则__________． 3．计算： (1) (2) 题型11.分母有理化 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．化简__________． 3．阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … (1)填空：_________；_________； (2)用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； (3)证明发现的规律． 题型12.已知最简二次根式求参数 1．已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 2．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 题型13.二次根式的混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是__________． 3．定义：若两个含有二次根式的代数式a，b满足，且m是有理数，则称a与b是关于m的“有理二次根式”． (1)若n与是关于4的有理二次根式，则n的值为________． (2)若与是关于6的有理二次根式，求q． (3)已知，，若a与b是关于2的“有理二次根式”，且m，n为整数，请求出m，n的值． 题型14.已知字母的值，化简求值 1．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知，，那么代数式的值______． 3．已知m，n为实数，且． (1)分别求出m，n的值； (2)求的值． 题型15.已知条件式，化简求值 1．已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2．已知，，则的值为______． 3．阅读材料：已知，求的值． 解：∵ ． ∴． 解答问题： 已知．求：的值及的值． 题型16.复合二次根式的化简 1．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 2．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 3．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 题型17.二次根式的实际应用题 1．社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为，现已知的三边长分别为1，，3，则的面积为____________________ ． 3．2024版新教材八下阅读与思考，介绍了海伦-秦九韶公式． ①，其中（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 两个公式都可以利用三角形的三边长求三角形的面积． 已知一个三角形的三边a，b，c分别为2，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．若是整数，则满足条件的自然数n的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．若，则代数式的值是_______． 4．已知，则=______． 三、解答题 5．东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中，，，均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法．根据以上信息完成下列问题： (1)若，，，均为正整数，，请用含，的式子分别表示，； (2)若（其中，，均为正整数），求所有满足条件的数； (3)化简：________．（将结果直接填写在答题卡上） 6．如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $