精品解析：四川省射洪中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

射洪中学高2025级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的坐标运算即可求解． 【详解】由题意得，， 因为，所以， 解得， 故选:C. 3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长． 【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，， 所以平行四边形的周长是8． 故选：A． 4. 在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. 【详解】连接. 因为平面， 所以平面. 因为，所以平面. 因为平面，所以，故与的夹角为. 5. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ） ①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】证明，即可证明②③正确；平面，故①错误，平面，故④错误． 【详解】对于①，平面，故①错误； 对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确； 对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确； 对于④，由于平面，故④错误． 故选：B 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 7. 如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及体积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10. 窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用图形对称性易得点为的中点，即可判断A；建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，利用向量夹角的坐标公式计算判断B；根据投影向量定义列式计算判断C；利用向量数量积的运算律计算判断D. 【详解】 对于A，如图连接，由图形对称性可得经过点，且被点平分， 故有，即得，故A正确； 对于B，如图，以正方形的中心为坐标原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，则， 因，则，故B错误； 对于C，在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，因， 则，故D正确. 11. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若△ABC中，，那么cosC=__________． 【答案】-0.25. 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理得， 所以. 故答案为-0.25. 考点：正弦定理；余弦定理. 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】由题设，又与的夹角为锐角， 所以，则， 所以，可得且. 14. 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得； （2）根据数量积、模及夹角的坐标公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，， 所以，， 所以； 【小问2详解】 解：因为，， 所以． ，， 所以． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面； （2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点． 【小问1详解】 证明：取中点，连接，， 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，在中，为中点， 所以为中点. 17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明 平面，即可求证； （2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解. 【小问1详解】 由侧棱底面，底面，可得 ； 又已知，且， 平面， 根据线面垂直判定定理得： 平面， 因为平面，因此 ， 三棱柱中，，因此可得 ， 由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直， 因此 ，又， 平面， 根据线面垂直判定定理得 平面， 因为平面，所以 ，得证； 【小问2详解】 由题意可得平面，又平面，所以. 又为的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面. 所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以. 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以， 所以直线与平面所成角为. 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求，； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可； （3）依题意可得将两边平方，结合余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式及三角函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又， ，即， 又，则 ，则. 【小问2详解】 由（1）及题设可得，即， 将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. 【小问3详解】 因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级高一下期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ） ①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. 在方向上的投影向量为 D. 11. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若△ABC中，，那么cosC=__________． 13. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，． （1）求； （2）求． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，的面积为，求，； （3）若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $