第7章 相交线与平行线 期末复习训练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心考点，通过分层题型构建"概念理解-性质应用-综合探究"的递进式训练体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5|对顶角/邻补角性质、角平分线定义|从相交线定义到垂线性质，构建平面几何基础| |性质应用|填空14-19|辅助线添加（作平行线）、折叠对称性质|平行线性质与判定的双向推理，渗透转化思想| |综合探究|解答23-26|动态问题分类讨论、方程思想|结合实际情境（机器臂/灯光秀），体现模型意识与应用意识|

七下第一章节——相交线与平行线 一．选择题（共13小题） 1．（2025春•番禺区校级期中）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠BOE＝36°，有下列结论：①∠AOC＝72°；②∠EOF＝90°；③∠AOD＝2∠COF；④∠AOD＝3∠BOE，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026春•广州期中）如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠ABF＝80°，则∠F的度数（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 3．（2026春•越秀区校级期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝45°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD⊥FG； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026春•广州期中）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中∠1＝80°，∠3＝45°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．75° 5．（2026春•天河区校级期中）将对边平行的纸条如图折叠，若∠1＝50°，∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．65° D．70° 6．（2026春•天河区校级期中）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 7．（2026春•天河区校级期中）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知AB∥CD∥EF，∠B＝60°，∠C＝130°，那么∠BEC等于（　　） A．5° B．10° C．15° D．20° 8．（2026春•越秀区校级期中）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼时ON平分∠AOE，若CB∥OA，∠CBO＝122°，∠BON＝90°，则∠BOE的度数为（　　） A．32° B．58° C．68° D．72° 9．（2026春•白云区校级期中）如图，将一张长方形纸片进行折叠，若∠2﹣∠1＝24°，则∠EFB的度数为（　　） A．45° B．50° C．51° D．55° 10．（2025春•天河区校级期中）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 11．（2026春•天河区校级期中）如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 12．（2025春•天河区校级月考）如图，已知AB∥CD，则（　　） A．∠α+∠β+∠γ＝360° B．∠α﹣∠β+∠γ＝360° C．∠α+∠β﹣∠γ＝180° D．∠α+∠β+∠y＝180° 13．（2025春•番禺区校级期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置．若∠B＝90°，AB＝9，DH＝3，阴影部分的面积为30，则BE的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二．填空题（共8小题） 14．（2026春•广州期中）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO＝50°，则下列结论：①OG⊥AB；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°；④∠GOE＝∠DOF．其中正确结论是有　 　 ． 15．（2026春•广州期中）如图a是长方形纸带，∠DEF＝α°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 　 　 °（用含α的代数式表示）． 16．（2026春•花都区期中）如图，AF∥CD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列4个结论：①BC平分∠ABE；②∠ECB＝∠BCA；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠BCD．其中正确结论为　 　 （只填写序号）． 17．（2026春•天河区校级期中）如图，AB∥CD，点P是射线EC上一点．现将一块含30°的三角板EFG绕点E以每秒1°的速度顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的速度顺时针旋转，设运动时间为ts（0＜t≤90）．若∠GFB＝30°，当射线PC与三角板EFG的一边平行时，t的值为　 　 ． 18．（2026春•天河区校级期中）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论中：①∠D＝45°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD⊥FG；④FH平分∠GFD．其中正确的结论有　 　 （填序号）． 19．（2026春•越秀区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，x，y，z表示图中三个角的角度，则x，y，z三者之间的数量关系是 　 　 ． 20．（2026春•广州期中）如图，AB∥CD，CE∥BD，点E在CA延长线上，DE，AB交于F，∠CDF＝40°，P为线段DC上一动点，Q为线段PC上一点，且满足∠FQP＝∠QFP，FM为∠EFP 的平分线，则下列结论： ①∠AFE＝40°； ②FQ平分∠AFP； ③FQ∥AC； ④∠QFM＝20°， 其中结论正确的有　 　 ．（填序号） 21．（2026春•天河区校级期中）如图，BC∥AD，∠C＝∠DAB＝120°，点E、F在线段BC上，DB平分∠ADF，DE平分∠CDF，AB可以左右平行移动．下列结论正确的有　 　 （填写所有正确结论的序号）． ①AB∥CD； ②∠DEC+∠DBA＝90°； ③∠DEC＝2∠DBF； ④． 三．解答题（共9小题） 22．（2026春•越秀区校级期中）如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD，垂足为点H．若∠2＝35°，∠1＝55°，直线AB与CD平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵GH⊥CD（已知）， ∴∠CHG＝90°（垂直的定义）． 又∵∠2＝35°（已知）， ∴∠3＝∠CHG﹣∠　 　 ＝　 　 °（等式的性质）． ∴∠4＝∠　 　 ＝　 　 °（　 　 ）． 又∵∠1＝55°（已知）， ∴∠4＝∠1（　 　 ）． ∴AB∥CD（　 　 ）． 23．（2026春•广州期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，满足EF∥GH． （1）如图1，求证：∠1＝∠2； （2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求∠ENF的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，当∠FEN＝2∠HFM时，请问是否存在为定值，使得QG平分∠AGM？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（2026春•白云区校级期中）填写推理过程： 已知：如图，D，F，E分别是BC，AC，AB上的点，DF∥AB，DE∥AC． 试说明：∠EDF＝∠A． 解：∵DF∥AB（　 　 ）， ∴∠A+∠AFD＝　 　 ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵DE∥AC（已知）， ∴∠AFD+∠EDF＝180°（　 　 ）． ∴∠A＝∠EDF（　 　 ）． 25．（2026春•白云区校级期中）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°． （1）若将三角尺△DEF如图①摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM＝ 　 　 ； （2）若将三角尺△DEF和三角尺△ABC如图②摆放，△DEF的顶点D恰好在直线PQ上，三角尺△ABC的一边在直线MN上，且边EF与边AC在同一直线上，作∠QDF和∠DFA的平分线交于点H，求∠DHF的度数； （3）若图②中三角尺△EDF固定，将三角尺△ABC绕点A顺时针方向旋转（如图③），旋转到AC边与直线AN首次重合时停止旋转，在这旋转的过程中，当边BC与三角尺△DEF的一边平行时，请求出∠BAN的度数． 26．（2026春•天河区校级期中）灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在江的两岸A、B安置了可旋转探照灯．假定江两岸EF∥GH，如图1所示，桥AB⊥GH，灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE后立即回转，灯B射线从BG开始绕点B顺时针旋转至BH后立即回转，两灯不停旋转交叉照射．若灯A、灯B转动的速度分别是1度/秒、3度/秒． （1）若两灯同时转动，在灯B射线第一次到达BH之前，两灯射出的光束交于点C． ①如图1，若∠ACB＝90°，则需要　 　 秒； ②如图2，在射线AF上取一点D，且∠ACD＝k∠ABC，则在转动过程中，是否存在实数k使得∠BCD为定值？若存在，请求出实数k的值及∠BCD的度数；若不存在，请说明理由； （2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动，在灯A射线第一次到达AE之前，求灯B转动多少秒，两灯的光束互相平行？ 27．（2026春•广州期中）如图1，已知直线MN∥PQ，点A在直线PQ上，点B在直线MN、PQ之间，∠BAP＝45°，点C在直线MN上，记∠MCB＝α．作∠ABD交直线PQ于点D（D在A的右侧）使得． （1）当α＝　 　 时，AB⊥BC； （2）求∠BDP（用含有α的式子表示）； （3）点E为平面内一点且满足，直线CE与直线BD交于点F．问∠BFC是否为定值？若是，请求出这个值，若不是，则求出∠BFC与∠MCB的数量关系． 28．（2025春•天河区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）填空：∠1与∠3的数量关系：　 　 ；理由是 　 　 ； （2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　 　 ； （3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当BE∥AD时．画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值． 29．（2026春•海珠区校级期中）完成下面的证明： 如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵AB∥EF， ∴∠APE＝　 　 （ 　 　 ）． ∵EP⊥EQ， ∴∠PEQ＝　 　 （ 　 　 ）． 即∠2+∠3＝90°． ∴∠APE+∠3＝90°． ∵∠1+∠APE＝90°， ∴∠1＝　 　 ． ∴　 　 ∥CD（ 　 　 ）． 又∵AB∥EF， ∴AB∥CD（ 　 　 ）． 30．（2026春•越秀区校级期中）北斗卫星导航系统是我国自行研制的成熟的全球卫星导航系统．经过多年发展，北斗系统已成为面向全球用户提供全天候、全天时、高精度定位、导航与授时服务的重要新型基础设施．北斗卫星导航系统标志（图1）中含有北斗星等要素，北斗七星（图2）因曲折如斗，故而得名．由于恒星自行的存在，北斗七星在天空中的样子是不断变化的，北斗的形状会在漫长的宇宙变迁中发生较大的变化．如图3，将北斗七星从摇光到天枢依次标为A，B，C，D，E，F，G，并将A，B，C，D，E，F，G顺次首尾连接．若AG恰好经过点C，且B，C，D在一条直线上，AG∥EF，∠B＝∠D+18°，∠F＝110°，∠E＝100°． （1）∠G＝ 　 　 °； （2）求∠B﹣∠DCG的度数； （3）连接AE，当∠AEF与∠DCG满足怎样数量关系时，BD∥AE，并说明理由． 七下第一章节——相交线与平行线答案 一．选择题（共13小题） 1．【考点】对顶角、邻补角；角的概念；角平分线的定义．版权所有 【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠BOE＝36°， ∴∠DOE＝∠BOE＝36°， ∴∠DOB＝2∠BOE＝∠AOC＝36°×2＝72°， ∴①正确； ∵∠AOC＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝108°． ∵OF平分∠BOC， ∴∠BOF＝∠COF＝54°， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝90°， ∴②正确； ∵∠AOD＝∠BOC，∠BOF＝∠COF， ∴∠AOD＝2∠COF， ∴③正确； ∵∠AOD＝∠BOC＝108°，∠BOE＝36°， ∴∠AOD＝3∠BOE， ∴④正确． 综上所述，正确的有4个． 故选：D． 2．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵，∠ABF＝80°，∠ABC＝∠ABF+∠CBF， ∴∠CBF＝40°，∠ABC＝120°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝120°， ∵射线CE平分∠BCD， ∴∠BCE∠BCD＝60°， ∵∠BCE＝∠CBF+∠F， ∴∠F＝20°， 故选：C． 3．【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．版权所有 【解答】解：延长FG，交CH于I， ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFG＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG，∠AFG＝2∠D， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∵FG⊥EH， ∴∠FIH+∠EHC＝3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴∠D＝30°； ∴①∠D＝45°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确； ∵FD∥EH，FG⊥EH， ∴FD⊥GF，③正确； ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， ∴④FH平分∠GFD不一定正确． ∴其中正确结论的是②③， 故选：B． 4．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴∠1＝∠2+∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝80°，∠3＝45°， ∴∠2＝∠1﹣∠3＝80°﹣45°＝35°， 则∠2的度数为35°， 故选：A． 5．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：如图， ∵纸条对边平行，∠1＝50°， ∴∠1＝∠4＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∵折叠， ∴∠2＝∠3， ∵∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2＝65°， ∠2的度数是65°， 故选：C． 6．【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：过点F作AB的平行线，交BE的延长线于点M， ∵AB∥FM，AB∥CD， ∴∠B+∠BMF＝180°，MF∥CD． ∵AB⊥BE， ∴∠B＝90°， ∴∠BMF＝180°﹣90°＝90°． ∵∠BEF＝130°， ∴∠MFE＝130°﹣90°＝40°． ∵MF∥CD， ∴∠MFC+∠DCF＝180°． ∵∠DCF＝120°， ∴∠MFC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠EFC＝∠MFE+∠MFC＝40°+60°＝100°． 故选：A． 7．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠B＝60°，∠C＝130°， ∴∠BEF＝∠B＝60°，∠CEF＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°， ∴∠BEC＝∠BEF﹣∠CEF＝60°﹣50°＝10°， 故选：B． 8．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵CB∥OA，∠CBO＝122°， ∴∠AOB＝∠CBO＝122°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BON＝90°， ∴∠AON＝∠AOB﹣∠BON＝122°﹣90°＝32°， 由反射角等于入射角得∠EON＝∠AON＝32°， ∴∠BOE＝∠BON﹣∠EON＝90°﹣32°＝58°， 故选：B． 9．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：根据题意，AE∥BG， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠2﹣∠1＝24°，则∠2＝∠1+24°， ∴∠1+∠1+24°＝180°， 解得∠1＝78°， ∴∠DEG＝180°﹣∠1＝102°， 由折叠的性质可得，， ∵AD∥BC， ∴∠EFB＝∠DEF＝51°（两直线平行，内错角相等）， 故选：C． 10．【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 11．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵AB平分∠DAC， ∴∠MAB＝∠BAD；故①正确； ∵EF∥GH， ∴∠ABM＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABM＝∠BAM；故②正确； ∵EF∥GH， ∴∠NBF＝∠BDH， ∵BN平分∠FBC， ∴∠NBC＝∠NBF， ∴∠NBC＝∠BDH；故③正确； ∵∠ACB＝110°，∠CBM＝α， ∴∠CMB＝180﹣110°﹣α＝70°﹣α， ∵EF∥GH， ∴∠CAD＝∠CMB＝70°﹣α（两直线平行，同位角相等）， ∵AB平分∠DAC， ∴；故④错误； 设∠CBM＝α，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴∠DBA＝180°﹣∠ABN＝55°；故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤．所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 12．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠α+∠AEF＝180°，∠γ＝∠DEF， ∴β＝180°﹣α+γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°． 故选：C． 13．【考点】平移的性质．版权所有 【解答】解：∵阴影部分的面积为26，S阴影+S△HEC＝S四边形ABEH+S△HEC， ∴S阴影＝S四边形ABEH＝26， ∵一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝9，DH＝3， ∴AB＝DE＝9，DH＝3， ∴HE＝6， ∴阴影部分的面积（AB+HE）×BE15BE＝30， 解得BE＝4． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 14．【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：∵OG⊥CD，CD∥AB， ∴OG⊥AB；所以结论①正确； ∵CD∥AB，∠CDO＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠DOB＝∠CDO＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOB＝180°﹣50°＝130°， 又∵OE平分∠AOD， ∴；所以结论③正确； ∵OF⊥OE， ∴∠DOF＝90°﹣∠DOE＝25°， ∴∠BOF＝∠BOD﹣∠DOF＝25°， ∴∠DOF＝∠BOF， ∴OF平分∠BOD；所以结论②正确； ∵OG⊥AB， ∴∠GOE＝90°﹣∠AOE＝25°， ∴∠GOE＝∠DOF＝25°；所以结论④正确． 综上所述，正确结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 15．【考点】平行线的性质；列代数式．版权所有 【解答】解：∵AD∥BC，∠DEF＝α°， ∴∠BFE＝∠DEF＝α°， ∴∠EFC＝180°﹣α°（图a）， ∴∠BFC＝∠BFC＝180°﹣α°﹣α°＝180°﹣2α°（图b）， ∴∠CFE＝180°﹣2α°﹣α°＝180°﹣3α°（图c）． 故答案为：180﹣3α． 16．【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：由题知， ∵BD平分∠EBF， ∴∠EBD＝∠DBF． ∵BC⊥BD， ∴∠EBD+∠EBC＝∠DBF+∠ABC＝90°， ∴∠EBC＝∠ABC， ∴BC平分∠ABE． 故①正确； ∵AF∥CD， ∴∠ECB＝∠ABC． ∵∠ABC与∠BCA不一定相等， ∴∠ECB与∠BCA不一定相等． 故②错误； ∵AF∥CD， ∴∠DBF＝∠D． ∵∠DBF＝∠DBE， ∴∠D＝∠DBE． ∵∠CBE+∠DBE＝90°， ∴∠CBE+∠D＝90°． 故③正确； ∵AF∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC． ∵∠ABC＝∠EBC， ∴∠BCD＝∠EBC． ∵∠DEB＝∠BCD+∠EBC， ∴∠DEB＝2∠BCD． 故④正确． 故答案为：①③④． 17．【考点】平行线的性质；一元一次方程的应用．版权所有 【解答】解：现将一块含30°的三角板EFG绕点E以每秒1°的速度顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的速度顺时针旋转， 设点F的初始位置为点H，则∠EHB＝30°+30°＝60°， ∵CD∥AB， ∴∠CEH＝∠EHB＝60°， ∴∠DEH＝180°﹣∠CEH＝120°， 如图所示，当PC′∥EG时，延长GE到点T， 则∠CPC′＝∠CET， ∵∠CET＝∠DEG， ∴∠CPC′＝∠DEG ∴4t＝120﹣60+t， 解得t＝20； 如图所示，当PC′∥FE时，延长FE到点T， 则∠CPP′＝∠CET， 又∵∠CPP′＝∠DEF， ∴∠CPP′＝∠DEF， ∴4t＝120+t， 解得t＝40； 如图所示，当PC′∥FG时，过点E作EJ∥FG， ∴FG∥PC′＝EJ， ∴∠FEJ＝∠EFG＝30°，CEJ＝∠EPC′， ∴4t﹣180+60﹣t＝30， 解得t＝50； 如图所示，当PC′∥EG时，则∠CPP′＝∠CEG， ∴360﹣4t＝180﹣（120﹣60）﹣t， 解得t＝80； 综上所述，t的值为20或40或50或80． 18．【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：∵FD∥EH，FD∥EH， ∴∠GFD＝180°﹣90°＝90°（两直线平行，同旁内角互补），∠D＝∠EHC（两直线平行，同位角相等）， ∴FD⊥FG，所以结论③正确； ∴∠AFG+∠BFD＝90°， ∵FE平分∠AFG， ∴（角平分线的定义）， ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D（两直线平行，内错角相等），∠BFD＝∠EHC（两直线平行，同位角相等）， ∵∠AFG＝2∠D， ∴2∠D+∠D＝90°，2∠D+∠EHC＝90°， ∴∠D＝30°，所以结论①错误，结论②正确； ∵∠GFD＝90°， ∴只能证明∠GFH+∠DFH＝90°，不一定∠GFH＝∠DFH，所以结论④错误； 综上所述：正确的结论有②③， 故答案为：②③． 19．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵CD∥EF， ∴∠C+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝180°﹣y， ∵AB∥EF， ∴x＝z+∠CEF， ∴x＝z+180°﹣y， ∴x+y﹣z＝180°， 故答案为：x+y﹣z＝180°． 20．【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【解答】解：AB∥CD，CE∥BD，点E在CA延长线上，DE，AB交于F， 结论①∠AFE＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠CDF＝40°， 故①正确，符合题意． 结论②FQ平分∠AFP， ∵AB∥CD， ∴∠AFQ＝∠FQP； 又∵∠FQP＝∠QFP， ∴∠AFQ＝∠QFP， 即FQ平分∠AFP， ②正确，符合题意． 结论③FQ∥AC， ∵P是DC上动点，P位置变化时，∠AFP 随之变化， ∴ 也随之变化， ∵∠AFD （AF，FD为定直线）是定值， ∴∠AFD﹣∠AFQ＝∠QFD也随之变化， ∵∠E （AC所在直线的角）是定值， ∴∠QFD 不恒等于∠E， ∴FQ不恒平行于AC， ③错误，不符合题意． 结论④∠QFM＝20°， ∵FM平分∠EFP， ∴； 由②知FQ平分∠AFP， ∴； 又∵∠EFP＝∠AFE+∠AFP＝40°+∠AFP， ∴， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 21．【考点】平移的性质；平行线的判定与性质．版权所有 【解答】解：由题知， ∵BC∥AD， ∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∵∠C＝∠DAB， ∴∠C+∠ABC＝180°， ∴AB∥CD， 故①正确； ∵DB平分∠ADF，DE平分∠CDF， ∴令∠CDE＝∠FDE＝x，∠ADB＝∠FDB＝y， ∵BC∥AD， ∴∠C+∠ADC＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠ADC＝60°， ∴2x+2y＝60°， 则x+y＝30°． ∵BC∥AD， ∴∠FBD＝∠ADB＝y， ∵AB∥CD， ∴∠DBA＝∠CDB＝2x+y， ∴∠DEC+∠DBA＝∠BDE+∠FBD+∠DBA＝x+y+y+2x+y＝3（x+y）＝90°， 故②正确； ∵∠DEC＝y+60°，∠DBF＝y， 而y≠60°， ∴∠DEC≠2∠DBF， 故③错误； ∵∠ADC＝60°，∠CDF＝2x，∠ABD＝2x+y＝30°+x， ∴， 故④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题（共9小题） 22．【考点】平行线的判定；垂线．版权所有 【解答】解：∵GH⊥CD（已知）， ∴∠CHG＝90°（垂直的定义）． 又∵∠2＝35°（已知）， ∴∠3＝∠CHG﹣∠2＝90°﹣35°＝55°（等式的性质）， ∴∠4＝∠3＝55°（对顶角相等）， ∴∠4＝∠1（等量代换） ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 故答案为：2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 23．【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．版权所有 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠GHD（两直线平行，内错角相等）， ∵EF∥GH， ∴∠2＝∠GHD（两直线平行，同位角相等）， ∴∠1＝∠2； （2）解：如图2，作NK∥CD， ∵AB∥CD， ∴KN∥CD∥AB， ∴∠KNE＝∠GEN、∠KNF＝∠DFN， ∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM， ∴∠GEN＝∠FEN、∠DFN＝∠MFN， 设∠GEN＝∠FEN＝x、∠DFN＝∠MFN＝y， ∴∠ENK＝∠FEN＝∠GEN＝x，∠KNF＝∠DFN＝∠MFN＝y， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝180°﹣2x， ∵FM⊥GH、EF∥GH， ∴∠EFM＝90°， ∴180°﹣2x+2y＝90°， ∴x﹣y＝45°， ∴∠ENF＝∠ENK﹣∠FNK＝x﹣y＝45°； （3）解：存在为定值，使得QG平分∠AGM，，理由如下： 由题意，设∠GEN＝∠FEN＝x、∠DFN＝∠MFN＝y， ∴∠HFM＝∠DFN+∠MFN＝2y， ∵∠FEN＝2∠HFM， ∴x＝2×2y， ∴x＝4y， ∴x﹣y＝45°， ∴y＝15°，x＝60°， ∴∠BEF＝120°， ∵EF∥GH， ∴∠EGH＝180°﹣∠FEG＝60°，∠FEP＝∠GPE＝60°， ∵QG是∠AGM平分线， ∴∠EGQ∠EGH60°＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠GQH＝∠EGQ＝30°， ∴∠GPN＝180°﹣∠EPG＝180°﹣60°＝120°， ∴． 24．【考点】平行线的性质．版权所有 【解答】解：∵DF∥AB（已知）， ∴∠A+∠AFD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∵DE∥AC（已知）， ∴∠AFD+∠EDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A＝∠EDF（同角的补角相等）． 故答案为：已知；180°；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 25．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．版权所有 【解答】解：（1）∵ED平分∠PEF，∠DEF＝60°， ∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°， ∵PQ∥MN， ∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°， ∵∠DFE＝30°， ∴∠DFM＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°， 故答案为：30°． （2）过点H作HR∥PQ交DF于R，过点F作FL∥MN，如图2所示： 设∠QDH＝α，∠HFL＝β， ∵DH平分∠QDF， ∴∠QDH＝∠FDH＝α，∠QDF＝2∠QDH＝2α， ∵PQ∥MN，HR∥PQ，FL∥MN， ∴PQ∥HR∥FL∥MN， ∴∠DHR＝∠QDH＝α，∠RHF＝∠HFL＝β，∠LFA＝∠BAC＝45°，∠QDF+∠DFL＝180°， ∴∠HFA＝∠HFL+∠LFA＝β+45°， ∴∠DHF＝∠DHR+∠RHF＝α+β， ∵FH平分∠DFA， ∴∠DFH＝∠HFA＝β+45°， ∴∠DFL＝∠DFH+∠HFL＝β+45°+β＝2β+45°， ∴2α+2β+45°＝180°， ∴α+β＝67.5°， ∴∠DHF＝α+β＝67.5°． （3）延长DF，交MN于G，如图： ∴∠DGM＝∠CAB+∠AFG＝∠CAB+∠DFE＝75°， ∴∠DGN＝105°， ①当BC∥DE时，此时，AC∥DF， ∴∠CAN＝∠DGN＝105°， ∴∠BAN＝∠CAN+∠CAB＝150°； ②当BC∥EF时， ∴∠EAC＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠CAN＝∠EAN﹣∠EAC＝45°， ∴∠BAN＝∠CAN+∠BAC＝90°； ③当BC∥DF时，延长BC交MN于H， ∴∠BHA+∠DGN＝180°， ∴∠BHA＝75°， ∴∠CAN＝90°﹣∠BHA＝15°， ∴∠BAN＝∠CAN+∠BAC＝60°； 综上所述，∠BAN＝150°或90°或60°． 26．【考点】平行线的性质；一元一次方程的应用；平行线的判定．版权所有 【解答】解：（1）若两灯同时转动，在灯B射线第一次到达BH之前，两灯射出的光束交于点C．设旋转时间为t秒， 灯B射线第一次到达BH时，t＝180÷3＝60， ∴0≤t≤60， 由题意得，∠FAC＝t°，∠GBC＝3t°， ∴∠HBC＝180°﹣∠GBC＝180°﹣3t°，∠EAC＝180°﹣∠FAC＝180°﹣t°， ①在射线AF上取一点D，且∠ACD＝k∠ABC，过点C作CK∥EF， ∴∠FAC＝∠ACK，∠HBC＝∠BCK， ∵∠ACB＝90°＝∠ACK+∠BCK＝∠FAC+∠HBC，即t+180﹣3t＝90， 解得t＝45； 故答案为：45； ②存在， 如图，延长DC交GH于点N， ∵AB⊥GH， ∴∠GBA＝90°， ∵EF∥GH， ∴∠EAB＝∠ABH＝∠FAB＝90°， ∵∠ABC＝∠GBC﹣∠GBA＝3t°﹣90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠FAC＝90°﹣t°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣（3t°﹣90°）﹣（90°﹣t°）＝180°﹣2t°， ∵∠ACD＝k∠ABC＝k（3t°﹣90°）＝3kt°﹣90k°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝180°﹣2t°+k∠ABC＝180°﹣2t°+3kt°﹣90k°， ∵∠BCD为定值， ∴3k﹣2＝0， 解得，∠BCD＝120°； （2）若灯A射线转动20秒后，灯B射线开始转动， 当灯B开始运动时，∠FAC＝20°， 灯A射线第一次到达AE时，时间为160秒， 设灯B转动a秒，灯A射线为AR，灯B射线为BS， 当0≤a≤70时，如图， ∵AR∥BS， ∴∠ABS＝∠BAR，即90﹣3a＝90﹣20﹣a， 解得a＝10； 当70＜a≤120时，如图， ∵AR∥BS， ∴∠ABS＝∠BAR，即90﹣（3a﹣180）＝20+a﹣90， 解得a＝85； 当120＜a≤160时，如图， ∵AR∥BS， ∴∠ABS＝∠BAR，即3a﹣360﹣90＝20+a﹣90， 解得a＝190，不合题意，舍去； 综上，灯B转动10秒或85秒，两灯的光束互相平行． 27．【考点】平行线的性质；垂线．版权所有 【解答】解：（1）如图，过点B作BK∥MN， ∴∠CBK＝∠MCB＝α． ∵BK∥MN，MN∥PQ， ∴BK∥PQ， ∴∠ABK＝∠BAP＝45°． ∴∠ABC＝∠CBK+∠ABK＝α+45°． 当AB⊥BC时，∠ABC＝α+45°＝90°， 解得α＝45°， 故答案为：45°； （2）如图，过点B作BK∥MN， 由（1）得∠ABC＝α+45°，∠ABK＝∠BAP＝45°， ∴． ∴， ∵BK∥PQ， ∴∠BDP； （3）∵∠ABC＝α+45°，， ∴，． 分两种情况： 当点E在直线MN下方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN， ∵， ∴， ∵FT∥MN，BI∥MN， ∴，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT， ∴， ∵BI∥FT， ∴， ∴； 当点E在直线MN上方时，如图，过点F作FT∥MN，过点B作BI∥MN， ∵， ∴∠MCF＝∠MCB＝α， ∵FT∥MN，BI∥MN， ∴∠TFC＝∠MCF＝α，∠CBI＝∠MCB＝α，BI∥FT， ∴， ∵BI∥FT， ∴， ∴， ∴． 综上，当点E在直线MN上方时，；当点E在直线MN下方时，∠BFC＝30°． 28．【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3（同角的余角相等）， 故答案为：∠1＝∠3，同角的余角相等； （2）∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠2＝180 ∵∠1+∠2+∠3＝∠ACB， ∴∠2+∠ACB＝180°， 故答案为：∠2+∠ACB＝180°； （3）①如图3，当BE∥AD时，作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°； ②存在， 如图4，当BC∥AD时，∠DCB＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝30°； 如图5，当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°； 如图6，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°； 如图7，当BE∥CD时，∠DCE＝∠E＝45°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°． 综上，①如图3，∠ACE＝165°；②存在，当BC∥AD时，∠ACE＝30°；当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；当AD∥CE时，∠ACE＝120°；当BE∥CD时，∠ACE＝135°． 29．【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【解答】证明：∵AB∥EF， ∴∠APE＝∠2（两直线平行，内错角相等）． ∵EP⊥EQ， ∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）． 即∠2+∠3＝90°． ∴∠APE+∠3＝90°． ∵∠1+∠APE＝90°， ∴∠1＝∠3． ∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）． 又∵AB∥EF， ∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）． 故答案为：∠2；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠3；EF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行． 30．【考点】平行线的判定与性质．版权所有 【解答】解：（1）∵AG∥EF， ∴∠F+∠G＝180°， ∵∠F＝110°， ∴∠G＝180°﹣110°＝70°， 故答案为：70； （2）延长ED交AG于点K，如图3， ∵AG∥EF， ∴∠AKE＝∠E＝100°， ∵∠CDE＝∠AKE+∠DCG，∠B＝∠CDE+18°， ∴∠B﹣18°＝100°+∠DCG， ∴∠B﹣∠DCG＝118°， 故答案为：118°； （3）当∠AEF+∠DCG＝180°时，BD∥AE，理由如下： 如图，连接AE， ∵AG∥EF， ∴∠GAE+∠AEF＝180°，∠AEF+∠DCG＝180°， ∴∠GAE＝∠DCG， ∴BD∥AE． 考点卡片 1．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 2．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 3．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 4．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 5．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 6．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 7．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 8．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 9．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 10．平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/20 11:07:14；用户：小胖子；邮箱：orFmNtzU1WmilPngTx-1gZyOR1cg@weixin.jyeoo.com；学号：4561 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $