精品解析：广东省广州市南沙区2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷

2024-2025学年广东省广州市南沙区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，，中，是无理数的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 调查观众对电影《哪吒2》的满意度，采用全面调查 B. 调查广东省中学生的户外体锻时间，采用抽样调查 C. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 D. 调查某班男生的身高情况，采用抽样调查 3. 若，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A B. C. D. 5. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 如图，射线和射线分别与直线相交，且，已知，则（    ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______． 12. 已知方程，当时，______． 13. 如图，平行线，被直线所截，与相交于点，于点，，则的度数为______． 14. 如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则______． 15. 已知与互为相反数，且，则值为______． 16. 关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组，并把不等式和解集在数轴上表示出来． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到三角形，其中点的对应点为原点，点的对应点为点，点的对应点为点．三角形内任意一点的坐标为． （1）画出平移后得到的三角形； （2）点坐标是______，点的坐标是______； （3）经过平移，点对应点的坐标是______用含、的代数式表示． 21. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设 “无人机”、“创客”、“AI”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占_____，所对应的圆心角为____． （3）若该校八年级共有600名学生，试估计选择“AI”课程的学生有多少名？ 22. 如图为一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，靠背与交于点N，． 　　 （1）试说明：； （2）当与正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时的度数． 23. 学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． （1）求、两种品牌的足球的销售单价； （2）学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 24. 在平面直角坐标系中，点，，、满足关系式． （1）______，______； （2）平面直角坐标系中有一点． 若直线与轴平行，求此时三角形的面积； 记三角形的面积为，三角形的面积为，当时，求的值． 25. 已知直线，点、分别为直线、上点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点． （1）如图，若，求度数； （2）如图，求证：； （3）如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市南沙区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，，，中，是无理数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义；根据无理数的定义：无限不循环小数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A． 0是整数，属于有理数． B． 是分数，其小数形式为无限循环小数，属于有理数． C． 2是整数，属于有理数． D． 是开方不尽的数，无法表示为分数，且为无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 2. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 调查观众对电影《哪吒2》的满意度，采用全面调查 B. 调查广东省中学生的户外体锻时间，采用抽样调查 C. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 D. 调查某班男生的身高情况，采用抽样调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查和抽样调查，根据全面调查和抽样调查的适用条件判断：全面调查适用于范围小、精确度要求高的情况；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况． 【详解】解：选项A：电影观众数量庞大，全面调查成本高且不现实，应采用抽样调查，故A错误． 选项B：广东省中学生群体庞大，全面调查难度大，适合通过抽样调查获取数据，故B正确． 选项C：电池寿命检测具有破坏性（测试后电池无法使用），需采用抽样调查，全面调查不适用，故C错误． 选项D：班级男生人数较少，全面调查简单且结果准确，无需抽样，故D错误． 故选：B 3. 若，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：两边同乘正数2，不等号方向不变，应，故选项A错误． 选项B：两边同减1，不等号方向不变，结论正确． 选项C：两边同加2，不等号方向不变，结论正确． 选项D：两边同乘负数，不等号方向改变，变为，结论正确． 综上，错误的结论是A． 故选：A． 4. 如图，直线与相交于点，若，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对顶角的性质证明，再根据求出答案即可． 本题主要考查了对顶角、邻补角，解题关键是熟练掌握对顶角的性质． 【详解】解：直线与相交于点， ， ， ∴ ∴， 故选：． 5. 如图，数轴上表示的点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点是点C， 故选：C． 6. 如图，射线和射线分别与直线相交，且，已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求出，再根据邻补角的定义，即可求解． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ， ， ， 故选：． 7. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标；根据x轴上点的纵坐标为0的特征，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴其纵坐标． 解此方程得：， 此时，点A的坐标为，符合x轴上点的定义． 故的值为， 故选：C． 8. 已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解方程和一元一次不等式的能力，根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 解方程得出，根据方程的解为负数得出关于的不等式，解之可得． 【详解】解：， ， ， ， 方程有负数解， ． 解得：， 故选：A. 9. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x, 故选C. 【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，点的纵坐标每4个点一循环， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标， ∵点是点向上平移1个单位得到的， ∴坐标为， 故答案为：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，理解其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 12. 已知方程，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程．将原方程整理得，将代入计算即可． 【详解】解：已知方程， 则， 当时， ， 故答案为：． 13. 如图，平行线，被直线所截，与相交于点，于点，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义．根据两直线平行，同位角相等，即可求出，再根据垂直的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质．由平行可求得，又由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：四边形长方形， ∴， ∴， 又由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 15. 已知与互为相反数，且，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，乘方运算，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和乘方的意义． 根据已知条件，把用表示出来，再代入，求出，进而求出，再代入所求的幂进行计算即可． 【详解】解：与互相反数， ， 把代入得 ∴， 则， ， ， 故答案为：． 16. 关于，的方程组，用含的式子表示______，若，令，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到即关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围． 【详解】解：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 两边同时除以，得到， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 的取值范围是． 故答案为：，． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解为． 19. 解不等式组，并把不等式和的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式组解集等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．先求出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 把不等式和的解集在数轴上表示出来，如图所示： 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到三角形，其中点的对应点为原点，点的对应点为点，点的对应点为点．三角形内任意一点的坐标为． （1）画出平移后得到的三角形； （2）点的坐标是______，点的坐标是______； （3）经过平移，点对应点的坐标是______用含、的代数式表示． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知点的平移变化规律是解题的关键． （1）根据点A坐标和原点坐标可得平移方式，进而可得点的坐标，描出，并顺次连接O、即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据平移方式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位后，得到三角形，点的对应点为原点， ∴三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到三角形， 如图，三角形即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得，点的坐标是，点的坐标是． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：由题意得，点对应点的坐标是． 故答案为：． 21. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设 “无人机”、“创客”、“AI”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占_____，所对应的圆心角为____． （3）若该校八年级共有600名学生，试估计选择“AI”课程的学生有多少名？ 【答案】（1）见解析 （2）10；36 （3）240名 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键． （1）根据选择无人机课程的人数除以占比可求出参加问卷调查的人数为50名，再求得“AI”课程的学生数，然后补全条形统计图即可； （2）直接列式计算求得“航模”课程所占的百分比，再乘以即可求得其对应的圆心角的度数； （3）用学生数乘以样本中“AI”课程所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为名， 选择“AI”课程的学生人数为名． 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：因为， 所以选择“航模”课程的学生占． 因为。 所以扇形统计图中选择“航模”课程的学生部分所对的圆心角的度数为． 故答案为：10，36． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计选择“AI”课程的学生有100名． 22. 如图为一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，靠背与交于点N，． 　　 （1）试说明：； （2）当与正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （2）根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， 23. 学校要购买、两种品牌的足球，若买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；若买个品牌足球和个品牌足球，则需要花费元． （1）求、两种品牌的足球的销售单价； （2）学校拟购买、两种品牌的足球共个，某体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案：所购买的商品一律打九折； 方案：若购物总价超过元，超过元部分的支付金额打七折． 若学校购买品牌足球个，品牌足球个时，则按“方案”需要花费______元，按“方案”需要花费______元 若学校购买的这个足球中品牌的足球有个，且按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少时，求最多可以买几个品牌的足球． 【答案】（1）品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； （2）①，；②最多可以买个品牌的足球． 【解析】 【分析】（1）设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元，根据“买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元；买个品牌足球和个品牌足球，需要花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，即可求出选择各方案所需费用；根据按照“方案”支付比按照“方案”支付的花费更少，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：品牌足球的销售单价是元，品牌足球的销售单价是元； 【小问2详解】 根据题意得：按“方案”需要花费元； 按“方案”需要花费元． 故答案为：，； 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 的最大值为． 答：最多可以买个品牌的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24. 在平面直角坐标系中，点，，、满足关系式． （1）______，______； （2）平面直角坐标系中有一点． 若直线与轴平行，求此时三角形的面积； 记三角形的面积为，三角形的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，能够根据坐标求出三角形面积是本题解题的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性，列出二元一次方程组，求解，的值即可； （2）根据直线与轴平行，求出值，根据坐标与图形的关系，利用三角形面积公式求解即可； 利用割补法，用表示出的面积，求出的面积，最后根据两个三角形面积关系求解值即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， 解得：，； 故答案为：，； （2）由知，，， 轴， ，， ； 如图： ， 轴， ， ， ， 解得：或． 25. 已知直线，点、分别为直线、上的点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，求证：； （3）如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，合理运用倍角关系是本题解题的关键． （1）根据平行线的性质依次求出和即可； （2）过作，根据平行线的性质求证即可； （3）先根据三角形内角和求出，然后根据补角的性质以及给出的两个倍角关系，得出，过作，根据平行线的性质求出，然后根据倍角关系求出即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 小问2详解】 证明：过作，如图： ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 过作，如图： ， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $