2026年浙江省杭州中考数学专题复习：二次函数之纯函数专题复习

2026年浙江省杭州中考专题复习：二次函数之纯 函数问题专题复习 【例】在平面直角坐标系xOy中，点1，m)和(3，n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上， 设抛物线的对称轴为直线x=(t>0),. (1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； (2)点xo,m)(x,≠1)在抛物线上，若m<n<C,求x的取值范围： (3)当t-2≤x≤3t+2时，函数的最大值与最小值的差为16a,求t的值. 【变式练习】 1.已知二次函数y=-x2+2x+C(C为常数). (1)求该二次函数图象的对称轴， (2)过点(0,4)且与x轴平行的直线交二次函数y=-x2+2x+c的图象于点A,B, AB>2. ①求C的取值范围； ②若AB=4,且当t≤x≤t+2时，二次函数y=-x2+2x+c的最小值为2，求t的值. 2 2.在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=x2-4+4m-2(m≠0). (1)求抛物线的顶点A的坐标；（要有过程） (2)若直线y=x-2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P(,0)作x轴的垂 线，交抛物线于点M,交直线y=x-2于点N, ①当a=6时，求MN的长 ②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而减小时，求a的取值范围， 3 3.已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点（4,0)和(1,3)，点P(x,1), 2(,乃)是该二次函数图象上的两个动点，满足0<x<2<:,<4,且占+上=4. X X2 (1)求该二次函数的表达式： (2)求x+x2的值： (3)已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M,一条平行于x轴的直线过点A0,t) 交函数图象于B,C两点，且BC=3PM,求BC的最大值及此时对应的t值. 4已知抛物线y=}x2-2x+42-101(t为常数). 2 (1)求该抛物线的对称轴 (2)若抛物线与y轴交于点(0，-16. ①求t的值. ②设1-5≤m≤1≤n,抛物线的段y=)x2-2x+1-10(m≤x≤m夹在两条均与x 轴平行的直线l,l,之间.若直线l,l2之间的距离为d(d为常数)时，n-m的最大值为6， 求d的值. 5.己知抛物线y=x2+bx-3(b为常数)经过点A2,-3),B(x,t). (1)求抛物线的函数表达式. (2)当0≤x≤k时，-4≤t≤-3，求k的最大值. (3)过点B与×轴平行的直线交抛物线于点C(x2,t),若4≤x2一x1≤6，求t的取值范围. 6 6已知抛物线y=(x-m)2-m2+5(m为常数)经过点(5,0). (1)求抛物线的对称轴： (2)过点A(0,与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且BC=2AB,求n的值； (3)设p<3<q,抛物线y=(x-m)2-m2+5(p≤x≤q)的一段夹在两条均与x轴平行 的直线，1之间，若9-p的最大值为6，求直线，12之间的距离. 7.己知抛物线y=-x-m+4,m>0,0为坐标原点，Ax,y1),B(x2,y2)为该抛物 线上的两点，且x<x2· (1)已知点A(-1,0,求该抛物线与x轴的另一交点坐标. (2)记抛物线的对称轴与x轴的交点为C,若点A在x轴正半轴上，满足OC=2OA,求 m的值 若对于)<<x<m,都有，<4，求m的取值范围 6 8.己知二次函数y=(x-a)(x-a-4)(a为常数). (1)当a=2时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)与x轴平行的直线交该二次函数图象于A,B两点，且点B的横坐标为Q一1，求线段 AB的长； (3)若1<a<3,点(2a-3,m),（4a-5,n)在该二次函数图象上，试说明m>n. 9.已知二次函数v=(x-a)(x-a+4)(a为已知数). (1)求该函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）· (2)与x轴平行的直线交该函数图象于A,B两点，且点A的横坐标为α-6，求线段 AB的长 (3)若1<a<3,点P(2a-7,p),Q(4a-9,q)在该函数图象上，求证：p>q. 10 10.己知抛物线y=ax2+bx+3经过点A1,0),B(-1,8). (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点C(-3,y),D(my2)在该抛物线上，且y>y2,求m的取值范围： (3)将此抛物线向左平移n(n>0)个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E(0,e), 若e的最大值和最小值分别为e,e,且-e2=6,求n的值. 11 11.在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx-4a(a,b是常数，a≠0). (1)判断该函数图像与x轴的交点个数，并说明理由； (2)若该函数图像的对称轴为直线x=2,Ax,m),B(x2,m为该函数图像上的任意两 点，其中x1<x2,求当X,x2为何值时，m=8a; (3)若该函数图像的顶点在第二象限，且过点(1,2)，当α<b时求3a+b的取值范围. 12 12.已知二次函数y=x2+bx+c的图象关于直线x=1对称，且与y轴交于(0，-3). (1)求该二次函数的表达式 (2)当1≤x≤t时，二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为16，求t的值. (3)若A(m,y1),B(m+2,y2)是该函数图象上的两个点，且yy2<0,求m的取值 范围. 13 13.己知二次函数y=ax2+bx-4(a，,b是常数，a>0)· (1)若a=1时. ①试判断点A2,2b)是否在此二次函数的图象上？ ②已知点B(1,k),C1+b,k)在二次函数y=ax2+bx-4图象上，求k的值. (2)已知对称轴为直线x=t1<t<3),若点M(-1,m和2，n)在该抛物线上，满足 m-n=6,求a一b的取值范围. 14 14.已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象经过点(2,1). (1)求该图象的对称轴。 (2)若该函数的最大值为-a2+2a+5,求该函数的表达式. (3)己知Mx,m,Nx2,m)为该函数图象上两点，当七2>x且1≤x2-x≤4时，满 足m≤3，求a的取值范围 15 15.已知二次函数y=x2+bx+c(b、c是常数). (1)若该函数经过点(1,5)，（-1，-1)，求该函数的表达式； (2)在(1)的条件下，若该函数图象上有一点P,向右平移3个单位后仍在该函数图象 上，求点P的坐标； (3)当b=一1时，在-1<x<3的范围内，该抛物线的图象上至少存在一个点的纵坐标是 横坐标的2倍.求c的取值范围. 16 16.已知二次函数y=x-m)-2(x-m(m≠-1)的顶点在y2=kx+m上. (1)试说明该二次函数y的图象与×轴必有两个交点； (2)求k的值； (3)当y=y+y2的图象经过P(-1,p),Q4,9两个点.求证：p+9≥8. 17 17.已知抛物线y=x2+bx+c(a为常数，a≠0)· (1)它的图象过点2,1，（1,1，求b的值： (2)设M(x,)、N(x2,y2)是抛物线上的两点，其中x<x2 ①当x+x2=4时，y1<y2,求b的取值范围。 ②若抛物线与x轴只有一个交点且x2=x+4,M=y2=m时，求m的值. 18 18.在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=x2-2x+t2-t. (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点P(x,y),Qx2,y2)在抛物线上，其中t-2<x<t+1,x2=1-t. ①若y的最小值是-2，求y2的值： ②若对于七，x2,都有y,<y2,求t的取值范围. 19 19.已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐 标大1. (1)求b的值； (2)点A(x1,y)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x+t,y,+h)在抛物线y=-x2+bx上. (i)若h=3t,且x≥0，t>0,求h的值； (ii)若x=t-1,求h的最大值. 20 20.已知抛物线y=ax2+4x+3a>0). (1)若该抛物线的顶点在×轴上，求该抛物线的函数表达式. 1 (2)直线y=x(k≠0)与该抛物线相交于A 。4 Bx2,y2)两点 ①若k=1,求a的值. ②点C(x3,y)在抛物线上，且点C不与点A,B重合，当y2=,时，0≤x≤1，求a的取 值范围. 21 21.已知二次函数y=ax2-4ax+1(a为常数且a≠0). (1)当点P(2,0)在该二次函数图象上时，求a的值. (2)已知Ax,y1),B(x2,y2)在该函数图象上. ①若a<0时，有x<2<x2且x+x2>4,求证：乃>y2· ②若-a<x1<a,x2=2a+1,存在y=y2,求a的取值范围. 22 22.如下表格是抛物线y=ax2+bx+c上部分点x,y的横、纵坐标信息. -2 1 3 m (1)若m=t=0,请求出抛物线的表达式： (2)若m=n,且p<t,该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值： (3)若t=1,且对于符合-1<x<0,4<x2<5的任意实数x,x2,其对应的函数值y ，y2始终满足y1y2<0,求a的值， 23 23.在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式y=ax2+a+1)x,其中a≠0. (1)若此函数图象过点(1，-3)，求这个二次函数的表达式： (2)函数y=ax2+(a+1)x(a≠0)，若(x,y),x2,y2)为此二次函数图象上的两个不 同点， ①若x+x2=4,则y=2,试求a的值： ②当x>七2≥-3，对任意的x,x2都有y>y2,试求a的取值范围. 24 2026年浙江省杭州中考专题复习：二次函数之纯函数问题专题复习 【例】在平面直角坐标系xOy中，点和在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当，时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值； （2）点在抛物线上，若，求的取值范围； （3）当2时，函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）抛物线与y轴交点的坐标为，； （2）的取值范围为； （3）． 【解析】 【分析】（1）当时，，可得抛物线与轴交点的坐标；再根据题意可得点，关于对称轴为对称，可得的值； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为，由抛物线的图象和性质，可得当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，分类讨论：当点，点，点均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系，可得，无解；当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，，由函数值的大小关系可得，且，可得的取值范围，由二次函数的图象和性质，可得，即可得的取值范围； （3）由抛物线的对称轴为直线，可得，由二次函数的图象和性质，可得当2时，函数的最大值为，函数的最小值为，根据题意可得，结合，，即可得的值． 【小问1详解】 解：当时，， ∴当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线与y轴交点坐标为， ∴抛物线与轴交点关于对称轴的对称点坐标为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当点，点，均在对称轴的右侧时， ， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， ∵， ∴，且， 解得， ∵，，对称轴为， ∴， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当2时， 函数的最大值为， 函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【变式练习】 1. 已知二次函数（为常数）． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【答案】（1） （2）①，②的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可； （2）①求出时的的值，即可得出结果；②根据题意，易得点在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分和两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①如图1，当时， 则二次函数的图象经过点， ∴， ∴当时，． ②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线， ∴点在二次函数的图象上， ∴，解得． ∴． （Ⅰ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得（舍去）或． （Ⅱ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得或（舍去）． 综上：的值为或． 2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m≠0）． （1）求抛物线的顶点A的坐标；（要有过程） （2）若直线y＝x﹣2与抛物线的一个交点B的横坐标为4，过点P（a，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝x﹣2于点N． ①当a＝6时，求MN的长． ②当点M在点N的下方，且线段MN的长随OP的长的增大而减小时，求a的取值范围． 【答案】解：（1）y＝mx2﹣4mx+4m﹣2 ＝m（x2﹣4x+4）﹣2 ＝m（x﹣2）2﹣2； ∴顶点A的坐标为（2，﹣2）； （2）①当x＝4时，y＝x﹣2＝4﹣2＝2， ∴B（4，2）， 把B（4，2）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2，得16m﹣16m+4m﹣2＝2，解得m＝1， ∴y＝x2﹣4x+2， 由题意，M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2）， 当a＝6时，M（6，14），N（6，4）， ∴MN＝14﹣4＝10； ②由①知：M（a，a2﹣4a+2），N（a，a﹣2），抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2， 当x2﹣4x+2＝x﹣2时，解得x＝1或x＝4， ∵点M在点N的下方， ∴1＜a＜4， ∴OP＝a，MN＝a﹣2﹣a2+4a﹣2＝﹣a2+5a﹣4， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段MN的长随OP的长的增大而减小，即线段MN的长随a的增大而减小，1＜a＜4， ∴． 3.已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． （1）求该二次函数的表达式； （2）求的值； （3）已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，，再根据得到，据此可得答案； （3）设，则，可求出，，则直线的表达式，进而得到，进一步可推出，故当时，有最大值，最大值为6，根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则点B和点C到对称轴的距离都为3，求出点B的横坐标，进而求出点B的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∴，， ∴，； 设直线的表达式， 则，解得， ∴直线的表达式， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6， ∵轴， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∴点B和点C到对称轴的距离都为3， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧）， 在中，当时，， ∴． 4.已知抛物线（为常数）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 【答案】（1）直线 （2）①或8；②或24 【解析】 【分析】（1）先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）①直接将代入抛物线得到t的方程求解即可；②分和8两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵（为常数）， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①把代入得：，解得：或8． ②由①得：或8， 当时，，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线不能在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和， ∴，两交点为，此时，为直线， ∴； 当时，， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴， ∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为， ∴． 综上，或24． 5.已知抛物线（b为常数）经过点,． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时,,求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【答案】（1） （2）2． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可. （2）结合二次函数的图象和性质求解即可. （3）利用二次函数的对称性以及图象和性质求解即可. 【小问1详解】 解：把代入,得,解得, ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵,,对称轴为直线, ∴当时,；而当或2时,, ∴由图象可得,当时,, ∴k的最大值为2． 【小问3详解】 解：∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即, ∵ , 即, ∴． ∵,且当时，y随x的增大而减小, ∴当时,；时,． ∴t的取值范围是． 6.已知抛物线（m为常数）经过点． （1）求抛物线的对称轴； （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且，求n的值； （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若的最大值为6，求直线，之间的距离． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和几何图形，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）将点代入解析式，求出解析式，根据顶点式即可求解； （2）根据几何图形得出，然后根据对称轴列出方程求解即可； （3）根据直线和抛物线的交点得出，为直线与抛物线的交点横坐标，根据的最大值为6和对称轴得出，然后求出两直线之间的距离即可． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， 解得， ∴； ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ①当时，结合对称轴为直线，无法满足； ②当时， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵， ∴， 由对称性得， 联立得， ∴， 把代入，得， ∴； 【小问3详解】 解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线， ∵抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间， ∵要使的最大值为6，为直线与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称， ∴其中一条直线经过顶点，不妨设直线经过顶点，即：时， 设最大时，另一条直线的解析式为， ∴，即 ∴和为方程的两根， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴直线，之间的距离为9． 7.已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且． （1）已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标． （2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值． （3）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入得出二次函数的解析式，然后令进行求解即可； （2）由题意易得，，然后把代入进行求解即可； （3）由题意易得，在直线左侧，则有对于，都有，则，然后问题可进行求解． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：或（舍）， ∴二次函数的解析式为， 令得，解得：， ∴该抛物线与轴的另一交点坐标为； 【小问2详解】 解：由可知：对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入得：， 解得：或（舍）， 所以； 【小问3详解】 解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大， ∵， ∴，在直线左侧， 若对于，都有， 则， 因为，， 所以， 解得：． 8.已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； 【小问3详解】 解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 9.已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣a+4）（a为已知数）． （1）求该函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）． （2）与x轴平行的直线交该函数图象于A，B两点，且点A的横坐标为a﹣6，求线段AB的长． （3）若1＜a＜3，点P（2a﹣7，p），Q（4a﹣9，q）在该函数图象上，求证：p＞q． 【分析】（1）依据题意得，对称轴是直线x＝＝a﹣2，从而得解； （2）依据题意，结合对称轴为直线x＝a﹣2，因为AB 与x轴平行，所以AB关于对称轴对称，已知点A的横坐标为a﹣6，可据此求出点B的横坐标，进而求AB的长； （3）先确定二次函数的对称轴为直线x＝a﹣2，开口向上．因此，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，需要判断两点与对称轴的位置关系，再比较函数值大小． 【解答】解：（1）解：由题意得，对称轴是直线x＝＝a﹣2， ∴该函数图象的对称轴是直线x＝a﹣2； （2）解：由题意，∵对称轴为直线x＝a﹣2，设点B的横坐标为xB， ∴． ∴xB＝2（a﹣2）﹣（a﹣6）＝a+2， ∴AB的长为|（a+2）﹣（a﹣6）|＝8； （3）证明：由题意，∵二次函数 y＝（x﹣a）（x﹣a+4）的对称轴为直线，且二次项系数为1＞0，即抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大． ∵点（2a﹣7，p）到对称轴为直线x＝a﹣2的距离：|（2a﹣7）﹣（a﹣2）|＝|a﹣5|＝5﹣a（因为1＜a＜3，a﹣5＜0）， 点（4a﹣9，q）到对称轴为直线x＝a﹣2的距离：|（4a﹣9）﹣（a﹣2）|＝|3a﹣7|， ∴． ∴当时，2a﹣2＞0（因为a＞1），即5﹣a＞7﹣3a； 当时，12﹣4a＞0（因为a＜3），即5﹣a＞3a﹣7， 综上，点（2a﹣7，p）到对称轴的距离更远， ∵抛物线开口向上， ∴p＞q． 10.已知抛物线经过点，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点，在该抛物线上，且，求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n（）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为，若e的最大值和最小值分别为，，且，求n的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先对称性求得点到对称轴的距离为，根据，列式计算即可求解； （3）先求得平移后的解析式，得到与y轴交点的纵坐标：，利用二次函数的性质求得e取最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：先将抛物线解析式化为顶点式：， 抛物线开口向上，对称轴为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为， 所以，即：， 解得； 【小问3详解】 解：抛物线向左平移n个单位后，解析式为：， 当时，与y轴交点E的纵坐标：， 这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为， 当时，e取最小值， 题目中，则， 令，即， 解得：， 因为，所以． 11.在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数，）． （1）判断该函数图像与轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图像的对称轴为直线，，为该函数图像上的任意两点，其中，求当，为何值时，； （3）若该函数图像的顶点在第二象限，且过点，当时求的取值范围． 【答案】（1）个；理由见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）由对称轴为直线得，代入函数解析式结合得一元二次方程，求解即可； （3）根据函数图像的顶点在第二象限，且过点列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故函数图像与轴的交点个数为个； 【小问2详解】 函数图像的对称轴为直线， ，则， 则函数表达式为， 当时，有， 解得或， ， ，； 【小问3详解】 将代入函数表达式得，则， ，故，解得， 则函数表达式为， 由（1）知，函数图像与x轴的交点个数为个且图像的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即， 则函数图像的对称轴， 解得， ， ， ， 即的取值范围为． 12.已知二次函数y＝x2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，且与y轴交于（0，﹣3）． （1）求该二次函数的表达式． （2）当1≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为16，求t的值． （3）若A（m，y1），B（m+2，y2）是该函数图象上的两个点，且y1y2＜0，求m的取值范围． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3． （2）t的值为5； （3）﹣3＜m＜﹣1或1＜m＜3． 【分析】（1）由对称轴易得b值，再将点（0，﹣3）代入易得c，从而求得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质，由当1≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为16，则x＝1时，函数有最小值y＝x2﹣2x﹣3＝﹣4，x＝t时，函数有最大值y＝t2﹣2t﹣3，根据题意得到关于t的方程，解方程即可求解； （3）求得抛物线与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），根据题意得到或，解得﹣3＜m＜﹣1或1＜m＜3． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象关于直线x＝1对称， ∴对称轴是直线x＝1， ∴1， 解得b＝﹣2， 把（0，﹣3）代入得y＝x2+bx+c，得c＝﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴x≥1时，y随x的增大而增大， ∵当1≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为16， ∴x＝1时，函数有最小值y＝x2﹣2x﹣3＝﹣4，x＝t时，函数有最大值y＝t2﹣2t﹣3， ∵最大值与最小值的差为16， ∴t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝16，即t2﹣2t﹣15＝0， 解得t＝5或t＝﹣3（舍去）， 故t的值为5； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）， ∴抛物线与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0）， ∵A（m，y1），B（m+2，y2）是该函数图象上的两个点，且y1y2＜0， ∴，或， 解得﹣3＜m＜﹣1或1＜m＜3． 13. 已知二次函数（，是常数，）． （1）若时． ①试判断点是否在此二次函数的图象上？ ②已知点，在二次函数图象上，求的值． （2）已知对称轴为直线，若点和在该抛物线上，满足，求的取值范围． 【答案】（1）①在；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入，得出二次函数表达式为，令，求出，即可判断； ②根据抛物线的对称性得出，即可求出，再将点的坐标代入解析式计算，即可求解； （2）将点，的坐标代入函数解析式，结合，可得，进而求得，根据抛物线的对称轴和的取值范围，推得，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，二次函数表达式为， 令，则， ∴点在二次函数的图象上． ②∵点，的纵坐标相同，且， 故抛物线的对称轴为， 解得， 故点的坐标为，代入，得． 【小问2详解】 解：将，代入函数，得，， 故， ∴， 则． 抛物线的对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故， 即． 14.已知二次函数的图象经过点． （1）求该图象的对称轴． （2）若该函数的最大值为，求该函数的表达式． （3）已知，为该函数图象上两点，当且时，满足，求a的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）代入点到，整理得到，再根据二次函数的对称轴公式即可求解； （2）由（1）得，结合函数有最大值可知，且当时，二次函数取得最大值，结合题意列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据二次函数的对称性可得，则，结合求得，则有当时，恒成立，再分和两种情况讨论，求出在范围内的最大值，进而列出关于的不等式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：代入点到，得， 整理得：， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴该图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴二次函数的表达式为， ∵二次函数有最大值， ∴， ∴当时，二次函数取得最大值， ∵该函数的最大值为， ∴， 解得（舍去），， ∴二次函数的表达式为； 【小问3详解】 解：∵，为该函数图象上两点，且点和点纵坐标相同， ∴点和点关于对称轴对称， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，满足， ①若，则在范围内随的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴， 解得， ∴； ②若，则在范围内随的增大而减小， ∴当时，有最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 15.已知二次函数（、是常数）. （1）若该函数经过点，，求该函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若该函数图象上有一点，向右平移3个单位后仍在该函数图象上，求点的坐标； （3）当时，在的范围内，该抛物线的图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的2倍.求的取值范围. 解：（1），， （2）设，， ， （3）， 利用求得 时，，求得；时，，求得 . 16.已知二次函数的顶点在上． （1）试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）求k的值； （3）当的图象经过两个点．求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识，有一定的综合性，难度适中． （1）令，利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）将二次函数化为顶点式得到顶点坐标，再将顶点坐标代入一次函数表达式得：，即可求解； （3）求出，将点P、Q的坐标代入上式，求出、的值，得到，即可证明． 【小问1详解】 证明：令， 则， ， 图象与x轴必有两个交点； 【小问2详解】 解：， 则顶点坐标为：， 将顶点坐标代入一次函数表达式得：， 解得：； 【小问3详解】 证明：由（2）知，一次函数表达式为：， 则， 当的图象经过两个点时， 此时，， ， ， ， 即． 17.已知抛物线（a为常数，）． （1）它的图象过点，，求b的值； （2）设、是抛物线上的两点，其中． ①当时，，求b的取值范围． ②若抛物线与x轴只有一个交点且，时，求m的值． 【答案】（1） （2）①；②4 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）过点，，根据对称轴公式解决； （2）①，由于，可得，结合即可解决； ②抛物线与x轴只有一个交点时，，得出，、是的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系即可解决． 小问1详解】 解：（1）∵过点，， ∴对称轴为：直线， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①、是抛物线上的两点， ，， ， ∵当时，， ， ，即， ∵， ， ， ； ②∵抛物线与x轴只有一个交点， ， ， ， 当时，，， 、是的两个根， ，， ∵， ， ∵， ， ， 解得：， ∴m的值为4． 18.在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①7 ②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 19.已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）3；（ⅱ） 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）得 ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 20.已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 小问1详解】 解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 21.已知二次函数（为常数且）． （1）当点在该二次函数图象上时，求的值． （2）已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； 【小问2详解】 ①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 22.如下表格是抛物线上部分点的横、纵坐标信息． … 0 1 2 3 … … 1 … （1）若，请求出抛物线的表达式； （2）若，且，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值； （3）若，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，求的值． 【答案】（1） （2）该函数有最小值，最小值为1 （3） 【解析】 【分析】（1）若，则抛物线与x轴的交点坐标为，，可设成交点式，将将点代入，求得，进而可得抛物线的表达式． （2）由可得该抛物线的对称轴为，设 ，则可得，， 由可求得，由此可得抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1； （3）先求出抛物线的对称轴为直线 ，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得． 本题考查了二次函数图像上点的坐标特征及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，则抛物线与x轴的交点坐标为，， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为，且过点， 设， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线开口向上，该函数有最小值，最小值为1； 【小问3详解】 解：当时，抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点关于该对称轴对称的点的坐标是，点关于该对称轴对称的点的坐标是，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ∴时与时，y的符号相同，与时y的符号相反 ∴该抛物线经过点和， 设该抛物线的函数表达式为 ， 代入，得 ， 解得 ． 23.在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式，其中． （1）若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； （2）函数，若为此二次函数图象上的两个不同点， ①若，则，试求a的值： ②当，对任意的都有，试求a的取值范围． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）将点代入函数表达式即可求解； （2）①根据二次函数的对称性可知，该函数的对称轴为，②根据，对任意的都有，可知二次函数是递增的，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入函数表达式得：， 解得∶ ， ∴这个二次函数的表达式为：， 【小问2详解】 解：①∵， ∴该函数的对称轴为：， ∵时，， ∴该函数的对称轴为：， ∴， 解得：． ②函数的对称轴是， ∵当，对任意的都有， 当，时，； ∴； 当时，时，在对称轴右侧y随x增大而减小，不存在，对任意的都有，当时，二次函数增减性不确定，不满足当，对任意的都有，不符合题意舍去； ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够运用数形结合思想进行求解是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $