江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

南京市中华中学2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，若，则a等于(     ) A.2 B. 1或2 C. 1或2或 D. 【答案】C  【难度】0.95 【解析】【分析】 本题考查了集合与集合的关系、集合与元素的关系. 由可以得到B中的元素都在集合A中，从而求出实数a的值．基础题 【解答】 解：，由，可得且， 集合， 当时，， 当时，则或2， 经检验均符合要求， 故或2或， 故选：C 2.江苏某地市高二理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，已知，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取     A. 5份 B. 10份 C. 15份 D. 20份 【答案】B  【难度】0.95 【解析】【分析】 本题考查了正态分布的特点，分层抽样原理，属于基础题． 利用正态分布的对称性求出，再根据分层抽样原理按比例抽取即可． 【解答】 解：由，得， ， ， 应从120分以上的试卷中抽取份数为 故选： 3.下列命题正确的是(      ) A.， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 【答案】C  【难度】0.95 【分析】本题主要考查命题简易逻辑量词充要条件的有关知识，不等式的有关知识.属于基础题. 【解答】解：A错，当时，； B错，方程的根的判别式，此方程没有实数解： C对，或 成立，但不成立，是的充分不必要条件； D错，若，则不一定大于 故选： A和B选项按全称命题和特称命题的真假判断来看；C选项看从条件能否推出推结论，再看结论能否推出条件，从而做出最后的判断；D选项看从条件能否推出推结论． 本题主要考查了命题、条件、特称命题等的有关知识，与其它部分的知识联系密切，所以综合性较强． 4.已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是(     ) A. B.， C. D. ， 【答案】D 【难度】0.85 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，解不等式，属于基础题. 由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【解答】解：因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率， 所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是， 故选D 5.高一年级在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是   男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附：，， k A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 【答案】A  【难度】0.80 【解析】 【分析】本题考查独立性检验的应用，属于中档题．结合独立性检验的步骤和公式分析即可. 【解答】 解：列联表如下： 男生 女生 合计 篮球迷 30 15 45 非篮球迷 45 10 55 合计 75 25 100 零假设为：是否是篮球迷与性别无关， ， 故依据小概率值的独立性检验，可得是否是篮球迷与性别无关. 故选： 6.已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为     A. B. (3,+∞) C. D. 【答案】D 【难度】0.75 【解析】【分析】 本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式，二次函数知识，训练了分离变量法求字母的取值问题，是中档题． 利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【解答】 解：， ，且a，b为正数， 当且仅当，即时， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：D 7．在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、共面直线夹角的向量求法、空间向量与立体几何综合 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【解答】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则由得， 可令，得，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：， 又，. 所以， 将代入上式整理得： ， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 8．已知定义在 上的函数 的导函数为，且满足， ，若，，则（   ） A． B． C． D．f(2025)>f(2024) 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数的单调性对称性等性质,导数研究函数,函数与方程不等式的综合,属于难题. 【解答】解：由题设可知函数的图像关于直线成轴对称，且当是增函数，当时是减函数，因为，且，所以，应选答案C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法中，正确的有(     ) A. 的展开式中，的系数是60 B. 若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 【答案】ACD  【难度】0.80 【解析】 【分析】 本题根据二项式定理和计数原理二项式系数及其性质,排列与组合以及二项分布知识逐项判断即可，属于中档题. 【解答】 解：的展开式的通项为，，1，2，3，4，5，6， 令，则的展开式中的系数为，故A正确； 由题意，在的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为，，， 由题意，得解得，故B错误. 由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为0，2或 当个位数字为0时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个． 由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故C正确； 对于D，投球4次，恰好投进3个球的概率为，故D正确. 故选ACD 10.紫金工具厂有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，所有加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，则下列结论正确的是(    ) A. 任取一个零件，它是次品的概率为 B. 任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为 C. 如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 【答案】ACD  【难度】0.80 【解析】【分析】 本题考查概率的乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，古典概型及其计算，属于中档题． 根据全概率公式分析A，B选项，由贝叶斯公式分析C，D选项即可. 【解答】 解：对于A选项，任取一个零件是次品的概率为，故A正确； 对于B选项，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为 ，故B错误； 对于C选项，任取一个零件是第2台生产出来的次品概率为 ， 结合A，B选项的分析，可知如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 ， 故C正确； 如果取到的零件不是第3台车床加工的，则它是次品的概率为 ，故D正确. 故选：ACD 11.已知函数f(x)=lnx－ax，则下列说法正确的是       A. 若f(x）≤0恒成立，则a的取值范围是a≥1 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BC D 【难度】0.45 【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究恒成立与存在性问题 ，求函数的零点方程的根和利用导数解证明不等式，属于难题. 利用导数研究函数的零点问题判断B，C；利用导数研究恒成立问题对A与D进行判断，利用求函数的零点方程的根，结合选项A的结论设，从而把问题转化为证，令和，把问题转化为只要证，再利用导数证明不等式对D进行判断，从而得结论. 【解答】 解：对于因为函数，定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则，因此由得由得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得最大值，最大值为， 所以要对恒成立，则，故A错误; 对于B，时，恒成立，故在上递增，且时，，当 时，，故存在唯一的零点，故B正确; 对于因为函数有两个不同的零点，，所以关于x的方程有两个不同的解，， 因此由选项A知：直线与函数的图象有两个不同的交点，其交点横坐标为，， 所以，分别在，上，因此设 因为，，所以，， 因此，即 因为要证，只要证，即证 令，只要证，即只要证 令，则只要证 因为， 所以函数是增函数，因此，所以，故C正确; 对于因为当时，不等式恒成立等价于：不等式恒成立， 即不等式恒成立， 因此不等式恒成立等价于：不等式恒成立. 因为函数是增函数，而m为正数， 所以不等式恒成立等价于： 不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立. 令，则， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为，因此要不等式在上恒成立，则， 即正数m的取值范围是，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【答案】 【难度】0.90 【知识点】超几何分布,组合数的计算. 【分析】依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率； 【详解】解：由题意，可得的所有可能取值为190，150，110， 13.已知函数，设，若，则的取值范围是___________. 【答案】  【难度】0.75 【解析】【分析】 本题考查分段函数及函数图象的应用，考查二次函数指数函数知识,属于中档题目. 首先作出分段函数的图象，因为时，要使，必然有则的取值范围可求． 【解答】 解：由函数， 作出其图象如图， 因为 时，， 由图可知，使的 则， 则由二次函数的性质可得 故答案为 14.已知函数的导函数为，且函数的图像经过点.若对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为          . 【答案】 2  【难度】0.50 【解析】【分析】 本题考查了求函数的解析式，不等式的恒成立问题，利用导数研究函数的最值，属于难题. 设函数，代入点即可求出c，进而求出函数的解析式，将问题转化为，，构造函数，，利用导数求出函数的最值，从而得出答案. 【解答】 解：设函数，代入点， 得到，所以； 因为对任意一个负数x，不等式恒成立， 得，，构造函数，， ，令，则，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，，g(-2)>0; 所以存在使，且， 且 x 时，， x 时，， 所以在时取得最大值为， 因为，得到代入得到，， 从而得函数， 由于且a取整数，所以a的最小值为 故答案为； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.本小题13分 已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求，的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.90 【知识点】函数的概念,函数性质,判断或证明函数的单调性、已知函数值求自变量或参数.属于基础题 【分析】（1）根据，代入可得，； （2）根据单调性的定义由，，且，得可证函数在区间上单调递增. 【详解】（1）由题意可知，得，所有， 又得，得， 故，.此时函数为奇函数符合. （2）由，得， ，，且，有 ， 由于， 所以，，所有，即， 所以函数在区间上单调递增. 说明：用导数证明相应给分 16.本小题15分 已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 【答案】见解答 【难度】0.85 【解析】【分析】本题考查了古典概型的概率与离散型随机变量的数学期望计算问题，也考查了逻辑推理的核心素养，是基础题． (1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望． (2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可． 【解答】解：X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800； ，， ， 即X的分布列为 X 1900 2200 2400 2800 P 数学期望为: 元 (2)甲2026年参保的保费大于2000元的概率为 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为 其概率， 故所求的概率为  17.本小题15分 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M，N分别是棱PB，PC上的动点. 若N是棱PC的中点，求二面角的大小； 请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面无需说明理由，并用你的选择证明该结论.（第17题图） 【答案】见解答 【难度】0.75 【解析】【分析】本题考查空间向量的运算,空间向量的应用,属于中档题 细解答和解析过程见【解答】解：以 A 为原点， AD ， AB ， AP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴 建立如图所示坐标系， 则  ，  ，  ，  ，  ，  ， 则  ，  ，  ，  ， 设平面 ADN 的法向量  ，平面 BDN 的法向量  ， 由  ，得  ，当  时，  ， 则  ， 由  ，得  ，当  时，  ， 则  ， 因为  ， 故二面角  的大小为  ； 条件②可以推断  平面 ACM ； 以下证明条件①不可以，条件②可以， 若选择条件①， 因为 M 在线段 PB 上，所以  ，所以  ， 过 M 作 AB 的垂线，垂足为 Q ，易得  是直线 AM 与平面 ABCD 所成角， 所以  ，解得  ，所以  由可得  ，  ，  设平面 ACM 的法向量  ， 由  ，得  ，当  时，  ， 则  ， 所以  ，则  与  不垂直，即 PD 与平面 ACM 不平行; 若选择条件②， 如图，连接 AC ， BD 相交于点 E ，连结 EM ， 在梯形 ABCD 中，有  ，  ， 根据三角形的相似得  ， 又因为  ，故  ， 又  平面 ACM ，  平面 ACM ， 所以  平面 ACM 18.本小题17分 “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量单位：箱 7 6 6 5 6 收益单位：元 165 142 148 125 150 求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级的从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】见解答 【难度】0.75 【解析】【分析】 本题考查了回归直线方程，考查二项分布，分布列数学期望问题，是一道中档题． 求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； 计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【解答】解：， ， ， 当时，元， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 元  19.本小题17分 已知函数f(x)=t(x－1)－2lnx(t∈R) 若恒成立，求实数t的值; 当时，方程f(x)+x2－x=m有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围; ②求证： 【答案】见解答 【难度】0.45 【解析】 【分析】本题主要考查基本初等函数的有关知识,考查导数研究函数,导数与方程不等式的综合,属于难题. 【解答】解：，， 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值， 同时也是极小值， ， 检验：当时， (x>0) ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增; f(x)的最小值为f(1) 所以成立，故t=2. ①当时，令，(x>0) ，(x>0) 令，同理，， 所以在上单调递减，在上单调递增;g(x)的最小值为g(1)=0; 当m<0时,g(x)=m无解,当m=0时,g(x)=m一解,都不符合题意; 当m>0时,, 因为0<e-m-1<1,在上单调递减,所以=m在上唯一解; 因为em+1>2>1,在上单调递增;所以=m在上有唯一解; 综上所述，方程f(x)+x2－x=m有两个不同的根时，； ②由题可知：， 即且， 构造函数：， ， 所以在上单调递减， 故， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以：， 因为在上单调递增， ，， 所以：， 要证， 即证， 即， 只须证明：， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立.  第22页，共23页 第21页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合，，若，则a等于(     ) A.2 B. 1或2 C. 1或2或 D. 2.江苏某地市高二理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩，已知，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取     A. 5份 B. 10份 C. 15份 D. 20份 3.下列命题正确的是(      ) A.， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 4.已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是(     ) A. B.， C. D. ， 5.高一年级在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是   男生 女生 篮球迷 30 15 非篮球迷 45 10 附：，， k A. 没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 6.已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为     A. B. (3,+∞) C. D. 7．在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知定义在 上的函数 的导函数为，且满足， ，若，，则（   ） A． B． C． D．f(2025)>f(2024) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法中，正确的有(     ) A. 的展开式中，的系数是60 B. 若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 10.紫金工具厂有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，所有加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，则下列结论正确的是(    ) A. 任取一个零件，它是次品的概率为 B. 任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为 C. 如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D. 如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 11.已知函数f(x)=lnx－ax，则下列说法正确的是       A. 若f(x）≤0恒成立，则a的取值范围是a≥1 B. 当时，的零点只有1个 C. 若函数有两个不同的零点，则 D. 当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 13.已知函数，设，若，则的取值范围是___________. 14.已知函数的导函数为，且函数的图像经过点.若对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.本小题13分 已知定义在上的函数满足函数为奇函数，且. (1)求，的值； (2)用单调性定义证明：函数在区间上单调递增． 16.本小题15分 已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 17.本小题15分 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M，N分别是棱PB，PC上的动点. 若N是棱PC的中点，求二面角的大小； 请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面无需说明理由，并用你的选择证明该结论.（第17题图） 18.本小题17分 “爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量单位：箱 7 6 6 5 6 收益单位：元 165 142 148 125 150 求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级的从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 19.本小题17分 已知函数f(x)=t(x－1)－2lnx(t∈R) 若恒成立，求实数t的值; 当时，方程f(x)+x2－x=m有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围; ②求证： 第22页，共23页 第21页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $