专题03 解三角形（期末真题汇编，江苏专用）高一数学下学期

**基本信息** 专题聚焦解三角形7大高频考点，汇编江苏多地高一下期末真题，覆盖定理应用、面积周长计算、形状判断等核心内容，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约15题|考点01-07（如南京期末利用正余弦定理解三角形）|立足基础，注重定理直接应用| |填空题|约10题|考点01、02、04（如苏州期末求三角形高）|强化计算，渗透几何直观| |解答题|约15题|考点02、04、05、06、07（如常州期末最值问题、镇江期末实际测量）|综合应用，结合实际情境与创新探究（如布洛卡点、塞瓦定理）|

专题03 解三角形 7大高频考点概览 考点01利用正余弦定理解三角形 考点02利用正余弦定理求三角形的周长与面积 考点03利用正余弦定理判断三角形的形状 考点04 解三角形中的最值与范围问题 考点05 解三角形的实际应用 考点06 解三角形的综合应用 考点07 解三角形中的探索性问题 ( 地 城 考点01 利用正余弦定理解三角形 ) 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】(1)(2) 14．【答案】(1)；(2). 15．【答案】(1)(2) ( 地 城 考点02 利用正余弦定理求三角形的周长与面积 ) 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】 6．【答案】(1) (2)6 7．【答案】(1)； (2)，. 8．【答案】(1) (2) 9．【答案】(1) (2) 10．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）. ( 地 城 考点0 3 利用正余弦定理判断三角形的形状 ) 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】ACD 7．【答案】等腰或直角三角形 ( 地 城 考点0 4 解三角形中的最值与范围问题 ) 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】8 4．【答案】/ 5．【答案】 6．【答案】(1)或；(2) 7．【答案】(1)证明见解析(2)3 8．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 9．【答案】(1)(2)(3) 10．【答案】(1)(2)(3) 11．【答案】(1)(2)(3) 12．【答案】(1)证明见解析(2)（Ⅰ）; （Ⅱ） ( 地 城 考点0 5 解三角形的实际应用 ) 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】BD 4．【答案】/ 5．【答案】(1)(2) 6．【答案】(1)7(2)①1；② 7．【答案】(1)(2)(3) ( 地 城 考点0 6 解三角形的综合应用 ) 1．【答案】ACD 2．【答案】ACD 3．【答案】ABD 4．【答案】(1)(2)①；② 5．【答案】(1)（i）0；（ii）3(2) 6．【答案】(1)(2)(3) ( 地 城 考点0 7 解三角形的探索性问题 ) 1．【答案】 /0.75 2．【答案】(1)(2)(3) 3．【答案】(1)；(2)①108；②. 4．【答案】(1)(2) 5．【答案】(1)(2)①12；② 6．【答案】(1)2(2)证明见详解(3)证明见详解 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 7大高频考点概览 考点01利用正余弦定理解三角形 考点02利用正余弦定理求三角形的周长与面积 考点03利用正余弦定理判断三角形的形状 考点04 解三角形中的最值与范围问题 考点05 解三角形的实际应用 考点06 解三角形的综合应用 考点07 解三角形中的探索性问题 ( 地 城 考点01 利用正余弦定理解三角形 ) 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理结合三角形边角的性质可得. 【详解】由正弦定理可得， 代入可得， 又，由大边对大角可得. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，，，则，所以， 又， 又，故， 所以，则，为最短边， 由，则，解得， 由正弦定理，. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理、三角形面积公式得，即可求解. 【详解】因为，， 若，则，而， 所以，. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 又因为， 所以或. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：D. 6．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用余弦定理即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，得. 故选：D 7．（24-25高一下·江苏扬州·期末）在中，，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理与余弦定理求解即可. 【详解】由题意可知，所以，所以最大， 设， 由余弦定理得：， 故选：A 8．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理可得, 即得. 故答案为：. 9．（24-25高一下·江苏苏州·期末）记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 【答案】 【分析】根据余弦定理求解,即可根据等面积法求解. 【详解】设边上的高为， 由余弦定理可得, 又，故， 故答案为： 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）直角中，，是线段上一点，，，设，则__________. 【答案】 【分析】首先根据角度关系得到，然后根据正弦定理可得到，然后得到关于的一元二次方程，进而可解得，从而得到. 【详解】如图，因为，所以. 因为，所以. 所以，即. 在中，根据正弦定理得，化简得. 因为，所以. 所以，化简得. 解得. 又，所以，此时. 故答案为：. 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在中，为边上一点，，且的面积为，则的值为______. 【答案】 【分析】先由直角三角形面积结合题设的b，进而依次得、和，接着在中依次求出和即可由结合两角和正弦公式求解. 【详解】由题得，所以， 所以即， 所以，， 所以在中， 所以，所以， 所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为________. 【答案】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理可得， 又，，，， 所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)求A； (2)若，的面积为，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 所以，即，即， 因为，所以， 所以，解得； （2）由题意，解得， 所以由余弦定理有，解得. 14．（24-25高一下·江苏苏州·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及和角的正弦公式求出，再利用正弦定理及数量积的运算律求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，而，， 因此，解得，所以. （2）由（1）知，由，得， ， 由正弦定理得，而， 所以. 15．（24-25高一下·江苏徐州·期末）如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求C； (2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理对等式进行角化边并整理化简，从而解得所求角的余弦值，可得答案； （2）由正弦定理与余弦定理求得三角形的边与角，根据中垂线以及中点的性质，利用余弦定理，可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得. 所以即，所以. 又因为，所以. （2）因为，，由余弦定理得，即， 所以，， 连接，，则，设为，，设为y， 在中，由余弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得，解得， 所以. ( 地 城 考点02 利用正余弦定理求三角形的周长与面积 ) 1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】设外接圆的半径为.在中，由余弦定理及题中条件可得，再由余弦定理可得的值，进而可求的值，由正弦定理即可求解外接圆的半径. 【详解】设外接圆的半径为. 在中，由余弦定理及可得，即， 即， 即，即. ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴由正弦定理可得，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式与边角互换即可求得结果. 【详解】因为，，且，所以， 即， 由正弦定理得：, 又因为三角形中,, ， 因为,所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先角化边得出，在结合余弦定理求分别求出，，的值，最后在中用余弦定理即可求出的值. 【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：即. 故选：D 4．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知， (1)求角； (2)若，且AB边上的高为，求周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）结合已知利用余弦定理化简得，进而，利用角的范围即可求解； （2）结合已知利用三角形的面积得，进而利用余弦定理及和的完全平方式得，即可得解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得：， 即， 所以， 故， 又，所以. （2）由题：面积， 因为，所以，所以， 又由余弦定理：，所以， 所以，所以， 故周长. 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 8．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）利用先求出，再由得，即可得解. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即. 因为，展开式子得 移项可得，即. 因为，所以，则. 解得，又，所以. （2）已知，，，因为BD是的角平分线， 则， ， 所以. 又因为BE是的角平分线， 则， ， 所以. 所以. 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可求出的值，结合余弦定理可得出的值，由此可得出的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，故， 由余弦定理得， 因为，故. （2）由三角形的面积公式得，可得， 由余弦定理得， 解得，故的周长为. 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由已知及正弦边角关系得，再根据三角形内角的性质及三角恒等变换有，即可求大小； （2）（i）在中应用余弦定理求边长；（ii）在中应用余弦定理，结合平方关系、三角恒等变换求得，在中应用正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）因为， 所以， 即. 由正弦定理得. 因为，所以， 所以，即， 所以，又，所以， 所以，故. （2）（i）在中，由余弦定理得， 即， 解得或（舍去） （ii）在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以. 所以 . 在中，由正弦定理得，解得， 所以 ( 地 城 考点0 3 利用正余弦定理判断三角形的形状 ) 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）将的每条边都增加相同的长度，得到，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据大边对大角和余弦定理公式，证明变形之后的三角形最大角的余弦值正负，判断三角形形状. 【详解】由题意不妨设，则可得， 设每条边增加，则新的三角形的三边分别为，，， 因为，，所以，，即为新的三角形的最大边， 所以新的三角形的最大角的余弦值为 . 因为，，，，所以， 所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】先利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式得到，最后结合正弦函数的性质得到，判断三角形形状即可. 【详解】在中，因为， 所以结合正弦定理可得， 则，可得， 由两角差的正弦公式得， 因为，，所以， 可得，解得， 即的形状是等腰三角形，故A正确. 故选：A 3．（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断. 【详解】在中，因为，且， 所以，由正弦定理得， 所以，即， 又，则，则， 所以，所以该三角形为等腰三角形. 故选：A 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得， 所以， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，，则（    ） A．是等腰三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形或直角三角形 D．是等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用切化弦及正弦定理边角转化，得，进而得或，即或，得解. 【详解】由，得， 由正弦定理，得，因为， 所以，则，又， 或，即或， 所以是等腰或直角三角形. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）（多选）已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则只有一解 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【分析】对于A，依次由余弦定理求出即可求解判断；对于B，由即可判断；对于C，先由正弦定理求出a，再由面积公式即可求解判断；对于D，先由题设求出的取值范围，再由正弦定理结合两角差的正弦公式以及弦化切即可求出即可求解判断. 【详解】对于A，若，则即， 所以且即， 所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，若，则，所以有两解，故B错误； 对于C，若，则，则， 所以，故C正确； 对于D，由题，若为锐角三角形， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为_________. 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用正弦定理边化角得，再利用二倍角公式化简即可得解. 【详解】根据题意，， 即， 利用正弦定理，得， 则，， 所以或， 即或， 则的形状为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 ( 地 城 考点0 4 解三角形中的最值与范围问题 ) 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得、，再由正弦定理得，进而有，应用三角恒等变换及正切函数的性质求边的范围. 【详解】由锐角中，则， 故，同理， 由三角形面积，则， 由正弦定理，则，故， 所以，而， 所以，则. 故选：C 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换可得，再由正弦定理边化角，转化为的三角函数求解. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则，整理得， 由，得，则或， 即或（舍去），因此，，则， 所以 ， 所以的取值范围是． 故选：B 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 【答案】8 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解 【详解】 设在中，角所对的边分别为. 因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为为的角平分线，所以. 由得， 整理得，即. 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故面积的最小值为8. 故答案为：8. 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.    【答案】/ 【分析】设，利用正弦定理求得，将的面积表示出来，利用三角恒等变换化成正弦型函数，根据正弦函数的图象性质即可求得面积最大值. 【详解】设,则，因，则，， 在中，由正弦定理，，解得, 故的面积为: ， 因，则，故当时，即时，的面积取得最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为_____. 【答案】 【分析】由题意得，结合余弦定理、基本不等式有的最大值为12，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】由题意，所以， 而，解得， 由余弦定理有， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值为12，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且. (1)若，求的长； (2)求的面积的最小值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据余弦定理计算求解； （2）根据面积公式结合两角和正切公式计算，最后应用基本不等式得出最小值. 【详解】（1）在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点）， 所以，在中，， 所以， 所以或； （2） 过作交于，则， 设， 所以所以的面积为， 因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取最小值， 所以面积的最小值为. 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知在中，角的对边分别为，，，D为边的中点. (1)若，证明：； (2)求BD的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）由余弦定理与题意整理化简等式，求得角的正切值，根据正弦定理，可得答案； （2）由余弦定理建立方程组，利用重要不等式，可得答案. 【详解】（1） 依题意，， 由余弦定理可得，则， 即，， 又，故， 又，即，解得， 在中，由正弦定理得：① 在中，由正弦定理得：② 两式相除得，即. （2）在中，由余弦定理：， 在中，由余弦定理：， 两式相加从而得：， 又，即， 从而，当且仅当等号成立. 则，当且仅当取到最大值. 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； （3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理有：， 所以， 则， 则， 则， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 所以有或，即或（舍去）， 所以得证. （2）因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，则，则， 所以，则的取值范围为. （3）因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 则， 则， 则，解得或， 又，则为锐角，即. 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用向量数量积的运算律及定义求解. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 10．（24-25高一下·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可根据共圆的性质求解，由余弦定理即可求解， （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解， （3）根据正余弦定理，结合辅助角公式可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得, 结合，，故， 由于为的内角，所以， 因此， 由于A，B，C，D四点共圆，故, 因此在中， （2）由（1）知，，，， 设，，则， 则四边形的面积为， 又， 因此， 故，结合， 可得，结合为锐角， 故，因此， 故, 因此,且,, 故‘ （3）由（2）可知， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 结合，故， 由于，所以， 故， 因此 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设的内角，，所对的边分别为，，，向量，，//. (1)求角； (2)若，，为线段中点，求； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）先利用题给条件求得的值，再利用向量的数量积求得，进而得到的长； （3）先利用题给条件及余弦定理得，再由正弦定理及三角恒等变换得，再由锐角三角形中的角的范围及正弦函数的值域即可求出范围. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有， 即所以； （2）由，可得， 又由，可得， 因为为线段中点，所以， 所以， 所以，即； （3）由得，由余弦定理得， 所以，即，由正弦定理得，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，且，所以即， 所以，所以，所以， 所以，所以. 12．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，，可得，                            ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得， 可得，∴，                                 ∵，∴， 可得，即，                          解得或（舍去）， ∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得， 即，                                            由余弦定理得， ∵，，∴，∴，                      在中，由余弦定理得 ，                                               ∵，∴，∴，       ∴，解得. ( 地 城 考点0 5 解三角形的实际应用 ) 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（    ）米. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求出，再在直角中即可求出. 【详解】在中，， 则由正弦定理可得，即，解得米， 在直角中，米. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正弦定理求出，再由正切函数定义即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过设山高，将用和三角函数表示，再利用的余弦定理建立等式，进行推导即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 解得，故A错误，B正确； 因为，所以，又因为， 所以， 解得， 故C错误，D正确. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得. 【详解】依题意可得如下图： 其中，，， 在中，由余弦定理可得 ， 由正弦定理可得即，解得 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为. 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合余弦定理即可求解； （2）过点作于点，说明所求为线段的长度，解三角形即可得解. 【详解】（1）由题意，而，， 所以由余弦定理有，即，解得； （2）如图所示，过点作于点， 由题意平面，又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 故所求为线段的长度， 由（1）可知， 所以. 6．（24-25高一下·江苏镇江·期末）我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 【答案】(1)7 (2)①1；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，列出方程即可求解； （2）设，，由正弦定理列出方程即可求解；设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）在中，，所以， 在中，， 因为， 所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． （2）①设，， 在中，，则， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点处观察壁画，才能使得仰角差最大． 7．（24-25高一下·江苏镇江·期末）镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由三角函数的定义表示出，在中由余弦定理列出方程即可求解； （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，分别表示出，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解； （3）根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）由题可知，， 设，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 解得，所以铜像连同底座的高度为． （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示， 则，， 在中，，在中，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大． （3）以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示， 则他站位的轨迹为，轨迹长度为． ( 地 城 考点0 6 解三角形的综合应用 ) 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）（多选）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 2．（24-25高一下·江苏盐城·期末）（多选）在斜三角形中，，则（   ） A．角B为钝角 B． C．若，则 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得. 【详解】对于A，由可得， 因，则，则，或， 即或， 因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确； 对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误； 对于C，由正弦定理，，又， 代入解得，故C正确； 对于D，由上分析可得：，, 故 ，设， 又,则，则， 则，且， 则， 故当时，的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当，且也是整数时， D．面积的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件易得，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据也是整数，且，可分和两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正弦定理推得，结合，利用正切函数的单调性即可求得面积的范围判断. 【详解】对于A，因是的最小内角，则，又因为整数，故，可得，故A正确； 对于B，由，，可得， 由正弦定理，，可得，解得，故B正确； 对于C，由，可得，因，且也是整数， 若，因，则，则， 此时，符合题意； 若，则，同理，此时，，不合题意， 随着取更大的整数，的值逐渐减小，不合题意， 故当，且也是整数时，，故C错误； 对于D，由正弦定理，和，可得， 因是的最小内角，则，，则. 当时，，的面积为， 当时，， 因，则，，故， 综上，面积的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，. (1)求； (2)若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用正弦定理转化后，结合三角形的内角和与三角恒等变换，可求角； （2）①利用三角形的面积公式，结合可得，又由余弦定理可得，于是得到的值. ②设，，利用可得，利用可得，可求出的值，进而求的面积. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 因为， 代入得. ，，. ，，.    （2）①， . 因为， ， 则有，解得. 在中，由余弦定理得， 解得. . ②设，. ，. ，代入化简得①. ② 代入①得. . 5．（24-25高一下·江苏泰州·期末）在中，，设分别为. (1)若. （i）求的值； （ii）求的最小值； (2)若，求的值. 【答案】(1)（i）0；（ii）3 (2) 【分析】（1）（i）由可得答案；（ii）方法一：由得，利用基本不等式得，再由的范围可得答案；方法二：设，由正弦定理得，再利用弦花切，再利用基本不等式可得答案； （2）设，由正弦定理得，由余弦定理得，求出，，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】（1）（i）因为， 所以. （ii）方法一： 由得， 即 ， 所以， ，当且仅当时等号成立，即， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3. 方法二： 设，则， 因为，故， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3； （2）设，则， 在中， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，① 在中，由余弦定理得，② ，③ 由②③得， 由①②得， 故，即，所以， 所以， 所以. 6．（24-25高一下·江苏盐城·期末）如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）．    (1)若，求的值； (2)若，求四边形周长的最大值； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积公式即可求出的值. （2）首先根据数量积求出向量的夹角，然后根据余弦定理求出，然后根据余弦定理和基本不等式的性质求出四边形周长的最大值. （3）首先通过等式可证明四边形为等腰梯形，然后在中利用余弦定理求出，从而求出. 【详解】（1）根据向量数量积公式可得： . （2）因为，所以， 所以，所以. 根据余弦定理， 所以. 因为四点共圆，，所以. 设，在中，根据余弦定理， 即，当且仅当时等号成立. 所以解得. 所以四边形的周长为. （3）由得， 所以且， 即，， 所以，得到四边形为等腰梯形，. 设，在中，， 在中，， 所以. 所以. ( 地 城 考点0 7 解三角形的探索性问题 ) 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 【答案】 /0.75 【分析】第一空：由正弦定理求得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；第二空：设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案. 【详解】设外接圆半径为，则， 由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设， 则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以， 故答案为：；. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． (1)若与的交点为，，求的值； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，再结合可知四边形为等腰梯形，再利用梯形的边长计算即可； （2）先利用数量积的定义得出，再在中利用余弦定理可得，最后在中利用正弦定理得出外接圆的直径即可； （3）设，求出以及在中利用正弦定理得，，再利用得出，即可化简求出，进而得出，的值，最后利用面积公式即可. 【详解】（1）因，则，即， 则，，则， 又，，得， 则四边形为等腰梯形，则高为， 则， 又与的交点为，，所以. （2）由题意可知，，得， 在中利用余弦定理可得，， 则， 设的外接圆半径为，则在中利用正弦定理可得，， 又点是外接圆上的一个动点，所以的最大值为. （3）设，，则， 因为，则， ， ， 在中利用正弦定理得，， 则， 则， 且（因）， 即，即， 又，即， 则， 又，则，解得（舍）或， 因，所以， 代入中得， 则，又，解得， 所以，， 则四边形的面积为. 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，对应的边分别为，. (1)求角的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①108；②. 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换求解. （2）①化简为，由三维柯西不等式求解；②由三维柯西不等式有求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 则，即， 整理得，即，又， 于是，又，所以. （2）①由正弦定理得， 由柯西不等式得 ， 当且仅当，即为正三角形时取等号， 所以的最小值为108. ②. 又， ，由三维柯西不等式 得， 当且仅当，即时等号成立， 因此， 由余弦定理，得，则， ，令，则， 由，得，当且仅当时等号成立， 则，即，函数， 则当，即时，，， 所以当时，取得最小值. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为. (1)若为线段中点，求线段的长； (2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、余弦定理求出，再由可得答案； （2）①设，由数量积公式、可得答案；②由得，由三维分式型柯西不等式有，再由余弦定理得，令，则，再利用单调性可得答案. 【详解】（1）因为，在中， 由正弦定理得，由余弦定理得， 而，所以， 因为为中点，所以， 所以； （2）①设，由， 由得，所以， 从而，即； ②， 又， ，所以， 由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当时等号成立； 由余弦定理，可得， 所以，即， 则， 令，则， 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则，令， 则在上递减，当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到）. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： (1)若，求； (2)已知， ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】(1) (2)①12；② 【分析】（1）由题，可得，在，中，分别由正弦定理可得，，运算得解； （2）由，可得，①在，，中由余弦定理可得，运算得解；②由，结合①可得，平方展开运算得解. 【详解】（1）在中，，所以， 所以， 在中，，所以， 在中，，所以， 所以，故. （2） 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题. 塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB 上分别各取一点D，E，F，若有 ,则AD，BE，CF 三线共点. 角元塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则 ,则AD，BE，CF 三线共点. (1)如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足 利用塞瓦定理，求点 E 在线段CA 上的位置；若 求 (2)利用塞瓦定理证明角元塞瓦定理； (3)如图2，过△ABC的内心Ⅰ分别作BC，CA，AB 的垂线，交以Ⅰ为圆心的圆于点D，E，F，利用角元塞瓦定理逆定理证明AD，BE，CF 三线共点. 【答案】(1)2 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据已知条件，利用塞瓦定理得到,进而利用向量共线和平面向量基本定理得解； （2）利用三角形面积公式得到，从而证得； （3）设过的内心分别作 的垂线分别交于, 利用三角形全等得到,,,，利用正弦定理得到等等一系列结论，然后验证角元塞瓦定理逆定理中的条件成立，从而证得. 【详解】（1），， 又由塞瓦定理，所以， 即点 是线段的三等分点，且靠近点. 用向量关系表示为, ∴, 又∵共线且同向，∴存在使得, 又∵ ，且向量不共线， 由平面向量基本定理可得, ∴; （2）根据三角形面积公式 . ∴ 的充分必要条件是 . ∴由塞瓦定理可得角元塞瓦定理成立; （3）如图，设过的内心分别作 的垂线分别交于, ∵,∴, 又∵,, ∴, 在中由正弦定理得, 同理，,, ,, 由于, ∴ ， ∴ 三线共点. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 7大高频考点概览 考点01利用正余弦定理解三角形 考点02利用正余弦定理求三角形的周长与面积 考点03利用正余弦定理判断三角形的形状 考点04 解三角形中的最值与范围问题 考点05 解三角形的实际应用 考点06 解三角形的综合应用 考点07 解三角形中的探索性问题 ( 地 城 考点0 1 利用正余弦定理解三角形 ) 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（   ） A． B． C．或 D． 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（24-25高一下·江苏扬州·期末）在中，，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏徐州·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，则________． 9．（24-25高一下·江苏苏州·期末）记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 10．（24-25高一下·江苏南京·期末）直角中，，是线段上一点，，，设，则__________. 11．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在中，为边上一点，，且的面积为，则的值为______. 12．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为________. 13．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，． (1)求A； (2)若，的面积为，求a． 14．（24-25高一下·江苏苏州·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是线段的中点，求线段的长． 15．（24-25高一下·江苏徐州·期末）如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.    (1)求C； (2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求. ( 地 城 考点02 利用正余弦定理求三角形的周长与面积 )1．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知， (1)求角； (2)若，且AB边上的高为，求周长. 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 8．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角B的值； (2)若，，点D，E在边AC上，且BD是的角平分线，BE是的角平分线，求的面积. 9．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长. 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若为边上的一点，. （i）求； （ii）求的面积. ( 地 城 考点0 3 利用正余弦定理判断三角形的形状 )1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）将的每条边都增加相同的长度，得到，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·江苏扬州·期末）已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，，则（    ） A．是等腰三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形或直角三角形 D．是等腰直角三角形 6．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）（多选）已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则只有一解 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，则 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，满足，则的形状为_________. ( 地 城 考点0 4 解三角形中的最值与范围问题 )1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角的面积为，，则边的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.    5．（24-25高一下·江苏徐州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为_____. 6．（24-25高一下·江苏常州·期末）在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且. (1)若，求的长； (2)求的面积的最小值. 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知在中，角的对边分别为，，，D为边的中点. (1)若，证明：； (2)求BD的最大值. 8．（24-25高一下·江苏常州·期末）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 9．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 10．（24-25高一下·江苏南通·期末）在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设的内角，，所对的边分别为，，，向量，，//. (1)求角； (2)若，，为线段中点，求； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 12．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求线段长度的取值范围．                                                                                                                                                                                                                                                             ( 地 城 考点0 5 解三角形的实际应用 )1．（24-25高一下·江苏南京·期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（    ）米. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 6．（24-25高一下·江苏镇江·期末）我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 7．（24-25高一下·江苏镇江·期末）镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） ( 地 城 考点0 6 解三角形的综合应用 )1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）（多选）在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 2．（24-25高一下·江苏盐城·期末）（多选）在斜三角形中，，则（   ） A．角B为钝角 B． C．若，则 D．的最大值为 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）（多选）记的内角的对边分别为．已知是的最小内角，且为整数，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当，且也是整数时， D．面积的取值范围是 4．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，. (1)求； (2)若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 5．（24-25高一下·江苏泰州·期末）在中，，设分别为. (1)若. （i）求的值； （ii）求的最小值； (2)若，求的值. 6．（24-25高一下·江苏盐城·期末）如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）．    (1)若，求的值； (2)若，求四边形周长的最大值； (3)若，求． ( 地 城 考点0 7 解三角形的探索性问题 ) 1．（24-25高一下·江苏常州·期末）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补．如图，中，，，点是外接圆上的一个动点（点O，C在直线AB两侧），记，则． (1)若与的交点为，，求的值； (2)若，求的最大值； (3)若点满足，，求四边形的面积． 3．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，对应的边分别为，. (1)求角的大小； (2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式： ， 其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若. ①求的最小值； ②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为. (1)若为线段中点，求线段的长； (2)奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：；②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： (1)若，求； (2)已知， ①若，求的值； ②若，求S. 6．（24-25高一下·江苏南京·期末）某高一学生在周末发展数学兴趣，研究平面向量和解三角形的相关内容时，学习了以下定理，尝试解决一些问题. 塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB 上分别各取一点D，E，F，若有 ,则AD，BE，CF 三线共点. 角元塞瓦定理：如图1，设P 为△ABC 三边所在直线外任一点，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，则 . 角元塞瓦定理逆定理：如图1，在△ABC 的三边所在直线BC，CA，AB上分别各取一点D，E，F，若有则 ,则AD，BE，CF 三线共点. (1)如图1，在△ABC中，直线AP，BP，CP 分别交对边所在直线于点D，E，F，其中F，D满足 利用塞瓦定理，求点 E 在线段CA 上的位置；若 求 (2)利用塞瓦定理证明角元塞瓦定理； (3)如图2，过△ABC的内心Ⅰ分别作BC，CA，AB 的垂线，交以Ⅰ为圆心的圆于点D，E，F，利用角元塞瓦定理逆定理证明AD，BE，CF 三线共点. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $