精品解析：山东聊城市莘县多校2025-2026学年七年级第二学期期中学情调 （5月）数学试题

2025-2026学年第二学期期中学情调研 七年级数学试题 时间：120分钟 分值 ：120分 注意事项： 1． 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2． 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3． 非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分． 1. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方、积的乘方，解题的关键在于正确的计算． 根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式，幂的乘方、积的乘方等的运算规则求解即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 2. 某校从名学生中随机抽取名学生进行体育测试，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 被抽取的名学生的体育测试成绩是样本 C. 每名学生是个体 D. 样本容量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查．从名学生中随机抽取名学生进行体育测试，所以该调查方式是抽样调查；被抽取的名学生的体育测试成绩是样本；每名学生的体育测试成绩是个体；样本容量是． 【详解】解：A选项：从名学生中随机抽取名学生进行体育测试，这种调查方式是抽样调查，故A选项错误； B选项：从名学生中随机抽取名学生进行体育测试，被抽取的名学生的体育测试成绩是样本，故B选项正确； C选项：每名学生的体育测试成绩是个体，故C选项错误； D选项：从名学生中随机抽取名学生进行体育测试，样本容量是，故D选项错误．   故选：B ． 3. 小杰同学选择用扇形统计图分析居民接种疫苗针数的情况．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序被打乱）： 接种疫苗的针数 人数 ①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，； ②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，； ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比． 制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照制作扇形统计图的标准流程对给出的步骤排序即可． 【详解】解：制作扇形统计图的正确流程为： 第一步 先计算各部分人数占总人数的百分比，对应步骤②； 第二步 根据百分比计算各部分扇形对应的圆心角度数，对应步骤①； 第三步 根据圆心角度数画出扇形，并标注各部分名称和百分比，对应步骤③； ∴正确排序为． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 点到直线的垂线段就是点到直线的距离 C. 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，点到直线的距离，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意； B、点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； C、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 结合全民健身的热潮，小美同学在做仰卧起坐时发现身体与地面形成的夹角可以通过几何知识计算，如图，若躯干线段平行于地面支撑线，手臂辅助线平行于腿部线，已知，则身体扭转形成的角度的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质得，，从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选B． 6. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 7. 若a，b是正整数，且满足8个相加 8个相乘，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意化简等式左右两边，运用同底数幂的运算性质，对比指数即可得到a与b的关系． 【详解】解：由题意得，左边是8个相加，可得， 右边是8个相乘，可得， ∴． 8. 如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出直线，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角，先证明，得到，再根据三角形的外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：（同位角相等，两直线平行），由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故选D． 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质（互补角）、三角形外角性质，解题关键是利用平行线求出．根据平行线先求出，再借助三角形外角与内角的关系计算即可． 【详解】解：如图，， ， ， ， 故选：B． 10. 李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据酒的总数量不变，结合两种装酒情况分别列方程即可得到方程组． 【详解】解：∵共有个酒坛，每个酒坛装斗酒时剩余斗，总酒量为斗 ∴总酒量满足 ． 再根据第二种装酒情况列方程： 每个酒坛装斗酒时，空出个酒坛，且有个酒坛仅装斗，因此装满斗的酒坛数量为 个． 总酒量等于所有装满斗的酒量加上仅装的斗，因此： 移项整理得 ． 综上可得方程组 ． 二、填空题：本题共5小题，每小题 3分，共 15分． 11. 剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查两直线平行的性质、折叠的性质以及矩形的性质，重点在于利用已知条件找到角度之间的关系． 由，，根据两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后由折叠的性质，可得的度数，进而再利用两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ， 由折叠的性质可得， ∴． 故答案为：． 13. 有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________． 【答案】1.2×10-8 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.000000012=1.2×10-8． 故答案为：1.2×10-8 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 14. 已知关于，的方程组的解满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点①②得，，结合已知可得，即可求解． 【详解】解： ①②得， ∵ ∴， 解得： 故答案为： ． 15. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再将所求式子变形为，计算同底数幂的乘法、负整数指数幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 75分．解答应写出文字说明、过程或演算步骤． 16. 解二元一次方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解； （2）①得，再根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【小问1详解】 解： ②，得：③ ①③，得， 解得：， 将 代入③得： ， 解此一元一次方程得，， ∴方程组的解为： 【小问2详解】 解： ①，得： ， ③， ③②，得， 将代入③，得， 解得：． ∴方程组的解为： 17. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题零次幂，绝对值，乘方，负整数次幂化简，同底数幂乘除法的运算，熟练掌握以上知识点的运算法则是解题的关键， （1）先利用零次幂，绝对值，乘方，负整数次幂化简，然后再计算即可得到答案； （2）整数指数幂和同底数乘除的运算法则计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，． （1）与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： 因为， 所以（__________）． 因为， 所以______（等量代换）， 所以（__________）． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线，熟练掌握平行线性质和判定，三角形内角和定理，是解题的关键． （1）根据平行线和性质与判定定理解答； （2）根据角平分线定义得，可得，运用三角形内角和定理求出，即得． 【小问1详解】 解：，理由如下： 因为， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 19. 教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）人． 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比，用乘以抽取学生中最喜爱羽毛球运动的学生数的百分比即可得到答案； （2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （3）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的总人数为（人）， ∴， 即， “羽毛球”对应扇形的圆心角为， 故答案为：， 【小问2详解】 随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 20. 根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；任务二：抽调熟练工4名，招聘新工人2名，此方案应付工资较低 【解析】 【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组解答即可求解； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意可得，即得，进而求出的值，再算出每种方案每月应付工资，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得，， 解得， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得，， 整理得，， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种方案： ①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元； ∵， ∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低． 21. 阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为 解得：．∴，∴原方程组的解为． （1）若方程组的解是，则方程组的解是__________． （2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 解得：，∴，解这个二元一次方程组即可． 【小问1详解】 ∵方程组的解是， ∴， 解得： ； 【小问2详解】 对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． 22. 如图，已知，，垂足分别为H，F，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再证明，可得，从而可得结论. 【详解】证明：， ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴， ∴. 23. 小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 （1）如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 （2）如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 （3）如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，平角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合反射角等于入射角，得出，再根据平行线的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （2）同理得，再根据平角的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）先根据反射角等于入射角，平角的性质以及三角形内角和性质，得出，，再把数值代入计算，又因为，，故，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，． 【小问2详解】 解：，过程如下： 如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：依题意，如图所示： 则， ∴ ∵， 则， ∴， 则， ∴， 过点作， ∵反射光线与入射光线平行， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中学情调研 七年级数学试题 时间：120分钟 分值 ：120分 注意事项： 1． 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2． 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3． 非选择题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分． 1. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校从名学生中随机抽取名学生进行体育测试，下列说法正确的是（ ） A. 该调查方式是普查 B. 被抽取的名学生的体育测试成绩是样本 C. 每名学生是个体 D. 样本容量是 3. 小杰同学选择用扇形统计图分析居民接种疫苗针数的情况．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序被打乱）： 接种疫苗的针数 人数 ①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，； ②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，； ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比． 制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 点到直线的垂线段就是点到直线的距离 C. 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 5. 结合全民健身的热潮，小美同学在做仰卧起坐时发现身体与地面形成的夹角可以通过几何知识计算，如图，若躯干线段平行于地面支撑线，手臂辅助线平行于腿部线，已知，则身体扭转形成的角度的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 7. 若a，b是正整数，且满足8个相加 8个相乘，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出直线，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题 3分，共 15分． 11. 剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 12. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则______°． 13. 有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________． 14. 已知关于，的方程组的解满足，则_________． 15. 已知，则________． 三、解答题：本题共 8 小题，共 75分．解答应写出文字说明、过程或演算步骤． 16. 解二元一次方程组 （1）； （2）． 17. 计算题 （1）； （2）． 18. 如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，． （1）与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： 因为， 所以（__________）． 因为， 所以______（等量代换）， 所以（__________）． （2）若平分，，求的度数． 19. 教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 20. 根据情境信息，探索并完成任务： 我为车间设计招聘方案 素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？ 21. 阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为 解得：．∴，∴原方程组的解为． （1）若方程组的解是，则方程组的解是__________． （2）仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 22. 如图，已知，，垂足分别为H，F，．求证：． 23. 小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 （1）如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 （2）如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 （3）如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $