重庆市教科院巴蜀实验学校2025-2026学年度九年级下学期 中考数学模拟测试（三）试题

**基本信息** 以真实情境为载体，分层考查抽象能力、运算推理与数据意识，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|30/45|函数应用、几何综合|结合科技前沿情境，设计多问问题链，发展创新意识与模型观念|

数学 模拟测试卷（三） (全卷共三个大题，满分：150分测试时间：120分钟) 题号 二 三 总分 得分 参考公式，艳物线)=am+s+ca≠0)的顶点坐标为(-么4a。少)，对称轴为=一品 2a’4a 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在对应括号内 1.下列各数中，无理数是() A.-1 B.√2 c号 D.0 2.下图是由5个相同的小正方体组成的一个立体图形，其俯视图是( 2题图 3.下列运算正确的是( A.a3+a3=a5 B.a÷a=a4 C.(a3)4=a7 D.a2.a4=a6 4.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多 边形的边数是() A.8 B.9 C.10 D.12 2026数学 模拟测试卷（三）第1页（共12页） 5.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料， 也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、·、癸烷（当碳 原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…)等，甲烷的化学式为 CH4,乙烷的化学式为C2H。,丙烷的化学式为C3H。…,其分子结构模型如图所示，按照 此规律，十六烷的化学式为( ① 团④ ①® ① @-©① ⑧-⊙-© @-©-©-©-@ @ ④ ① ④ ① 甲烷 乙烷 丙烷 5題图 A.C16H32 B.CIsH33 C.CIH2 D.CicH36 6.已知△ABC~△DEF,AB:DE=1:2.若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为( A.27 B.18 C.36 D.9 7.按如图所示的程序计算，若开始输入的值为√2，则最后输出的结果是( NO 输入n 计算n(n+1) YES 输出结果 7題图 A.14 B.16 C.8+52 D.14+2 2026数学 模拟测试卷（三）第2页（共12页） 8.如图，在⊙0中，∠ABC=36°，∠CAD=20°，则∠AD0的度数为() A.34° B.28° C.56° D.39° D 8题图 9题图 9.如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC边上一点，F为CD延长线上一点，M为线段 EF的中点，连接AM并延长交边CD于点G.若BE=DF,DG=2,则EF的长为() A子m B名网 c9v2四 D号5® 10.对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在 这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换.已知两个依次排列的整式为 x+a,x-1,对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是x+a,a+1,x-1, 对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去.下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含x的一次项，则a的值为-3； ②当x=2时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则。+6a2+9a-1=0; ③第2026次作差变换得到的整式串之和为2x+2027a+2025. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2026数学 模拟测试卷（三）第3页（共12页） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在对的横线上 1.已知反比例函数y=产的图象经过点（(2，-3)，则k的值为 12.如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作 DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB= ∠CFA,CF=1,则BF=: 13.在一个不透明的盒子里有三个分别写有3,4,5数字的小 12题图 球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字 记为m,然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字记为n,则m+n的值 为偶数的概率是· 14.若三角形的三边长为a、b、c,且满足(a-3)2+1b-41=√c-5+√5-c,则该三角形 的面积为 15.如图，AE为⊙0的直径，B,C两点分别位于AE的左右两侧，已 知AD∥BC,连接CD交⊙O于点F,∠DAF=∠ACD,连接AF.若 AB=3,CD=25,coB=号，则@0的半径为 ,CF的长 15题图 度为 l6.若一个四位自然数M=abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足a+d=b +c+6,则称这个四位数M为“一帆风顺数”.例如：四位数2149，·2+9=1+4+6， ∴.2149是“一帆风顺数”.则最大的“一帆风顺数”是二；对于“一帆风顺数”M= ba,记P(M)=c,若P(W)为整数，且6c-d=a-1,则清足条件的M的最小值 为 2026数学 模拟测试卷（三）第4页（共12页） 三、解答题（本大题共9个小题，17~18每小题8分，19~25每小题10分，共86分）解答 时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将 解答过程书写在对应的位置上， 5x-2<3(x+1)① 17.解不等式组：3赵-2≤+，2 2 ②. 3 8.如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，点E为BD上一点. (1)尺规作图：在平行四边形ABCD的内部作∠DCF,使得∠DCF=∠BAE,CF交BD 于点F,连接AF,CE;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，证明：四边形AECF为平行四边形.（请完成下面的填空） 在平行四边形ABCD中， ①，且AB∥CD, .∴.∠ABE=∠CDF ,·∠DCF=∠BAE .△ABE≌△CDF(ASA), ②，且LAEB=∠CFD. .180°-∠AEB=180°-∠CFD, 18题图 2026数学 模拟测试卷（三）第5页（共12页） 即③， .AE∥CF, 又，AE=CF, .四边形AECF为平行四边形（④）（填写推理依据） 19.为普及人工智能知识，激发学生科技兴趣，某中学开展了人工智能通识课程教育竞赛 活动.现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分）进行整理、描述 和分析（成绩用x表示，共分成四组：A.60≤x<70;B.70≤x<80;C.80≤x<90;D.90 ≤x≤100)，下面给出了部分信息： 抽取的20名七年级学生在C组中的所有竞赛成绩：85,80,86,87,89,87,87,89 抽取的20名八年级学生的所有竞赛成绩：62,63,75,78,77,82,80,83,85,85,85,86， 88,90,89,93,95,93,96,97. 七年级学生竞赛成绩条形统计图 七、八年级学生竞赛成绩统计表 人数（人） 10 年级 平均数 中位数 众数 9 七年级 84.5 87 3 八年级 84.1 85 B C D >组别（组) 19题图 (1)请填空：a= ,b= 并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的竞赛成绩更好？请说明理由 (写出一条理由即可)； (3)若该校七年级有1000人，八年级有800人，估计该校七、八年级竞赛成绩不低于 90分的学生共有多少人？ 2026数学 模拟测试卷（三)第6页（共12页） 20先化简，再求值：(-1(5-2)-(5x-8)+“4÷(层-其中 (2)'+(m-30 2026数学模拟测试卷（三）第7页（共12页） 21.为承龙马精神，喜迎马年新春，某潮玩手办店购进了含有骏马元素的甲、乙两种文创产 品.已知每件甲种文创产品的进价比每件乙种文创产品的进价少16元，且用6000元 购进乙种文创产品的数量是用4320元购进甲种文创产品的数量的名 (1)求甲、乙两种文创产品每件的进价各是多少元？ (2)该手办店购进甲种文创产品150件，购进乙种文创产品90件.已知每件甲种文创 产品的售价为1.8a元，每件乙种文创产品的售价在其进价的基础上增加a%.若该 店将此次购进的甲、乙两种文创产品全部销售完，可获得利润为2520元，求α的值. 2026数学 模拟测试卷（三）第8页（共12页） 22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,AC=6,点D为AC的三等分点（靠近C 点)，M为边BC的中点，连接AM.点P沿折线D→A→M方向运动，到达点M时运动停 止，连接CP,MP.记点P运动的路程为x(0<x<9),△CPM的面积为y (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出这个函数的一条性质： (3)结合函数图象，当y≥6时，直接写出自变量x的取值范围： 13 12 11 10 9 7 6 3 2 1 012345678910 22题图 2026数学 模拟测试卷（三）第9页（共12页） 23.秋冬时节，万州高峡平湖水天一色，景色宜人.某个周末，小明和小华相约去南滨公园 游玩.四边形ABCD是南滨公园的步道路线，点B在点A的正东方向，点D在点A北偏 西30°方向，同时点D在点B西北方向300√2米处.点C在点B的北偏东60°方向，且 点C在点D的南偏东75°方向， (1)求AB的长（结果保留根号）； (2)小明和小华同时从公园B点出发前往点D,小明选择路线为B→A→D,步行的速 度为每分钟80米；小华选择的路线B→C→D,慢跑的速度为每分钟140米，请通过 计算说明小明和小华谁先到达点D.（参考数据：2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45) A 23题图 2026数学 模拟测试卷（三）第10页（共12页） 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(4,0),点B(-1, 0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P分别作PD∥y轴交直线AC于 点D,PE⊥AC交x轴于点E.点M,N分别为直线AC上的两点（点M在点N上 方)，MN=√2，连接PM,BN,当2PE-PD取得最大值时，求点P的坐标及此时PM +BN的最小值； (3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+4沿射线AC方向平移2√2个单位长度得到新抛物 线，点Q为新抛物线上一点.若∠QCA=∠CA0-ㄥBC0,直接写出所有满足条件 的点Q的坐标 图1 图2 24题图 2026数学 ‘模拟测试卷（三)第11页（共12页） 25.如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=30°，点D为边BC上一点，连接AD,将AD绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE,连接BE, (1)如图1，若BE⊥AD于点F,CD=25,求BD的长； (2)如图2，点M为线段BE的中点，连接AM,DM.求证：BD=AM+√5DM; (3)如图3，若AB=3,点N为靠近点B的三等分点，点P为平面内任意一点，BP=BN, 连接NE.当NE+PE的值最小时，直接写出△BPC的面积. B D D 图1 图2 D 图3 备用图 25题图 2026数学 模拟测试卷（三）第12页（共12页）模拟测试题（三） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 B C D A C 题号 6 1 8 9 10 答案 B C A C D 8.解析：连接AO、CO. :∠ABC=36°，∠CAD=20°，.∠AOC=2∠ABC=72°，∠COD=2∠CAD=40°， ∴∠40D=∠A0C+∠C0D=112,:0A=0D,∠A0D=)80°-∠A0D)=34 D D C B 8题 9题 9.解析：连接AF,EG,可证△ABE≌△ADF(ASA), ∴.AE=AF,,M为EF中点，AM⊥EF,.GE=GF. 设BE=DF=x,则EG=FG=DF+DG=x+2,CE=BC-BE=5-x,在Rt△CEG 中，CE+CG=BG,6-+3=(+2，x-与.在R△CEF中， EF=CE+CF2 10.解析：初始整式串为x+a,x-1,整式串之和为2x+a-1: 第1次变换得到的整式串是x+a,a+l,x-l,整式串之和为2x+2a: 第2次变换得到的整式串是x+a,x-1,a+1,-x+a+2,x-1,整式串之 和为2x+3a+1: 第3次变换得到的整式串是x+a,a+1,x-1,x-a-2,a+1,x-1,-x+a+2, -2x+a+3,x-1,整式串之和为2x+4a+2: 故第n次变换得到的整式串之和为2x+(n+1)a+n-1. ①由题得(x-1)(-x+a+2)=-x2+(a+3)x-a-2,,不含x的一次项，.a+3=0,解 得a=-3,故①正确： ②当x=2时，由题得(2+a)(a+1)-(2-1)=3,整理得a2+3a=1,则 a+6a3+9a2-1=a2(a2+3a）+3a3+9a2-1=3a3+10a2-1=3aa2+3a+a2-1=a2+3a-1=0, 因此d+6@+90-1-。+60+90-l-0,故②正确： a ③：第n次变换得到的整式串之和为2x+(+1)a+n-1,∴.当n=2026时，整式串 之和为2x+2027a+2025,③正确， 故选D. 二、填空题 题号 11 12 13 14 15 16 答案 6 3 6 VZ, 9827,7346 15.解析： 连接EF,则∠AEF=∠ACD,,∠DAF=∠ACD,∴∠DAF=∠AEF ·∠AFE=90°，∴.∠DAE=∠DAF+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°， :AD∥BC,∴.AE⊥BC.连接BE,则∠ABE=90°，可证 ∠AEB=∠ABC,cos∠AEB=cos∠ABC=号∴sinAEB=22 31 8=3,六在R△1BE中，A服=2am-2 “⊙0的半径为号AE=8V2 可证AC=AB=3,∠DAC=∠4CB=∠ABC,∴cos∠DAC=号sin DAC=2, 3 过C作CH⊥AD交于H,则AH=AC.cos∠CAH=1,CH=4C.sin∠CAH=2互， 在Rt△CHD中，DH=VCD2-CH=2, ∴.AD=AH+DH=3,∠DAF=∠ACD, ∴.△DAF~△DCA, 欲=器∴嘉=5解得DF=3, 故CF=DC-DF= 2 15题图 16.解析：9827,7346 .a+d=b+c+6,.d=b+c-a+6, 又，bc-d=a-1,∴.bc-(b+c-a+6)=a-1, 整理得(b-1)(c-1)=6,1≤a,b,c,d≤9且a,b,c,d互不相等，均为整数， b=2,b=7,b=3b=4 1c=7'c=2'1c=4'c=3 :PM=100a+106+c二b+c-a+6_101a+96-6-14a+b+3a+2b-6为整数， 7 7 7 ∴.3a+2b-6为7的倍数，又1≤3a+2b-6≤37，.3a+2b-6=7,14,21,28,35, ∴.3a+2b=13,20,27,34,41. 当3a+2b=13时，没有符合题意的： 当3a+2b=20时，没有符合题意的： 当3a+2b=27时，a=7,b=3,c=4,d=6; 当3a+2b=34时，没有符合题意的： 当3a+2b=41时，a=9,b=7,c=2,d=6. 故满足条件的M的最小值为7346. 三、解答题 17. 解：解不等式0，得x< 解不等式②，得x2号 不等式①②的解集在数轴上表示如 图： 内2寸02124>x 3 18.解：(1) (2)①AB=CD:②AE=CF;③∠AEF=∠CFE:④一组对边平行且相等的四边 形为平行四边形 19.解：(1)填空：a=87,b=85 人数（人） (2)答：七年级竞赛成绩更好，因为七 10个 9 年级的平均数84.5大于八年级的平均数84.1 8 7 (3)解：1000x6+800×6=540(人) 20 20 答：估计七、八年级竞赛成绩不低于90 分的学生共有540人. 组别（组） 20.解：原式 =5x-5x-2x+2-5x2+8x+x4-.2x-4-x (x-22x(x-2) =x+2+4-x-4 (x-2)2x(x-2 =x+2+(4-.x(x-2) (x-22x-4 =r+2 x-2 x2-4-x2 x-2 4 r-2 x-=21=3 当x=3时，原式=324 4 21.解：(1)设每件乙种文创产品的进价为x元，则甲种文创产品的进价为 (x-16)元. 根据题意，得6000-4320x5 xx-1661 解这个方程，得x=40. 经检验，x=40是原方程的解且符合题意. ,.x-16=24. 答：每件甲种文创产品的进价为24元，乙种文创产品的进价为40 元 (2)根据题意，得1501.8a-24)+90×40a%=2520. 解这个方程，得a=20. 2x+4,0<x≤4 13 2.解：（1)y=12x+108 +5,4<r<9 11 10 9 (2)当0<x<4时，y随x的增大而增大： 当4<x<9时，y随x的增大而减小 87 (3)1≤x≤6.5 6 012345678910 23.(1)解：过点D作DE⊥BA交BA的延长 线于点E,如图①， 在Rt△BDE中，BD=30OW2,∠DBE=45°， DE-BE=BD=300m. 30 在RtAADE中，DE=300,∠ADE=30°， 图① 4E=DE-:tan30°=300x5 =100W3m, .AB=BE-AE=(300-100N5m. D 答：AB的长为(300-100W5)m. 75 (2)解：过点B作BF⊥CD交CD于点F,如图②， 30 600 ∠CDE=75°，∠BDE=45°， .∠BDC=∠CDE-∠BDE=30°， 图② ∠DBC=90°+60°-45°=105°， .∠DBF=60°， 在R△BDF中，BD=302m,DF=BDx cos330=300N5x5-1505m, BF-BDxsin303001502m, 在RtABCF中，∠CBF=∠DBC-∠DBF=45°， .CF BF =150v2m,BC=2BF =300m 小明走的路线长：S本=AB+AD=300-100W5+200W3=(300+100W5)m, 小华走的路线长：S本华=BC+CD=(300+150W2+150W6)m. 小明所需时间：4a-5=300+1005.591分钟. 80 80 小华所需时间：=140 S4年_300+150W2+150W6≈6，.28分钟， 140 5.91<6.28, 答：小明先到达点D 24.解：(1)，抛物线y=ax2+bx+4过点4A(4,0),点B(-1,0), [16a+4b+4=0 ,a=-1 a-b+4=0， b=3 ∴.y=-x2+3x+4. (2)对于y=-x2+3x+4,令x=0,则y=4, .C(0,4),又A(4,0), ..A0=C0=4,.∴.∠OAC=∠OCA=459 ,PE⊥AC交x轴于点E, ∴.∠PEA=90°-∠CAB=45°， 延长PD交x轴于点H,则PE=√PH 设P(m,-m2+3m+4④)，则D(m,-m+4),H(m,0), .PD=-m2+3m+4-（-m+4)=-m+4m, PH=-m2+3m+4, 5nE-m-22ne-m-2pm-P04m+8=--1j9, 0<m<4,又-1<0， ∴.当m=1时，√2PE-PD有最大值，此时P1,6). 将P(1,6)沿射线MN方向平移√2个单位长度得到P',即向右平移1个 单位长度，向下平移1个单位长度， ∴.p'(2,5),Pp=2=MN, ,PP'∥MN,.四边形MNPP为平行四边形，.PM=P'N ∴(PM+BN)=(P'N+BN)=P'B=V[2-(-1]+5=V34 (3)A(4,0),B(-1,0),C(0,4),∠04C=∠0CA=45 ∴将抛物线y=-+3x+4=-(-)+空沿射线4C方向平移25个单 位长度，即向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线 y', y+2++2=（++9=-+8 在x轴上取点KL,0),连接CK,则 ∠KCO=∠BCO, lex :y=-4x+4 Q为新抛物线上一点，且 ∠QCA=∠CAO-∠BCO, 又，∠ACK=∠OCA-∠KCO, ∴.∠QCA=∠ACK 联立直线CK和抛物线y得y4r+4 by=-x2-x+8 .x=4或x=-1（舍)，.Q(4,-12) 过A作AK'∥y轴使得AK'=AK,K'在第一象限，则K(4,3), ∴.∠ACK'=∠ACK 1 联立直线CK·和抛物线y得 y=-4+4 v=-x2-x+8 心3+265或x3-265(舍)，23+265131-v26 8 32 -3+V265131-V265 综上，满足条件的点2的坐标为(4-12)或8 32 25.解：(1)AC和BE交于Q,连接DE,Dg :AD=AE,∠DAE=60°， ∴.△ADE是等边三角形， ∴ED=EA,又，BE⊥AD, .AF=DF(三线合一)， ∴BD=BA,OA=QD B ,AB=AC,∠ABC=30°， BD=AC,∠C=∠ABC=30,∠BAD=∠BDA=080-ABC75, ,∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=120°，，∴.∠OAD=∠BAC-∠BAD=45°， QA=QD,∴.∠QDA=∠QAD=45°， ∴.∠AQD=180°-∠QAD-∠QDA=90°，∴.∠CQD=180°-∠AQD=90°， 在Rt△CDQ中，∠CQD=90,∠C=30°，CD=25, D0-cD=5,c0-D-Dg=3, .BD=AC=CO+AO=CO+DO=3+3 (2)过点B作BF∥AE交AM延长线于点F, ∴.∠FBM=∠E, :M为BE中点， H ∴.BM=EM, 在△FBM和△AEM中， B ∠FBM=∠E BM=EM ∠BMF=∠EMA ∴.△FBM≌△AEM(ASA) ∴BF=AE=AD, .∠DAE=60°， 在△ABE中，∠BAD+∠ABE+∠AEM=180°-∠DAE=120°， 又∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°， ∴.∠DAC=∠ABE+∠AEM, .∠FBA=∠ABE+∠FBM,∠FBM=∠AEM, ∴.∠DAC=∠FBA, 在△ABF和△CAD中， BF=AD ∠FBA=∠DAC BA=AC ∴.△ABF≌△CAD(SAS), .∠BAF=∠C=30°，AF=CD, ∴∠FAC=∠BAC-∠BAF=90°. 过D作DH⊥AC于点H,则∠CHD=∠FAC=90°， ∴.HD∥AM 在Rt△CDH中，∠C=30°， HD=ICD=LAF=AM,CH=-DH-DH, 2 2 tan30° ,∴.四边形AMDH是平行四边形， ∴.DM=4AH, BC=2·AC.cosC=V5AC, .BD=BC-CD=3AC-CD=3(AH+CH)-CD, .BD=3(AH+3DH-2DH =3AH+DH, ∴.BD=√5DM+AM. (3)点P的轨迹为以B为圆心，BN长为半径的圆 过点C作GC⊥BC交BA延长线于点G, 则CG=AG=AC=AB=3,点E始终在∠AGC的角平分线上， 延长GC至点N',使得GN'=GN=5, 故CN'=2,点N和点N'关于GE所在直线对称， 连接BN交⊙B于点P,交∠AGC的角平分线于点E', 此时NE+PE=N'E+PE有最小值PN', 在Rt△BCW中，BN'=√BC2+NC2=√i, 过点P作PH⊥BC交于点H, 则PH=BP.sin∠CBW'=1x 故Sr=号BCPH=x5x25_3圆 1 2 2 3131 办 D Er N