《第23章 一次函数》 知识点分类解答题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以一次函数概念为起点，通过“概念—图象性质—方程不等式联系—实际应用”逻辑链整合知识，覆盖核心素养中抽象能力、模型意识与推理能力的训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数的概念|4题|定义辨析、关系式确定|从正比例函数到一次函数，构建概念生成链| |图象与性质|16题|表达式求解、交点面积、平移对称|性质推导与几何直观结合，强化空间观念| |与方程（组）、不等式|4题|图象解方程组与不等式|代数关系几何化，培养推理意识| |实际问题与一次函数|12题|经济、几何、物理建模|从实际情境抽象函数模型，发展应用意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第23章一次函数》 知识点分类解答题专题提升训练（附答案） 一、一次函数的概念 1．已知与成正比例，且时． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 2．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值． 3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 4．将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 二、一次函数的图象与性质 5．已知一次函数，当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)求这个一次函数图象与轴交点的坐标． 6．已知一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求a的值； (2)求k、b的值 7．已知是一次函数． (1)求m的值； (2)求该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； (3)将该一次函数的图象关于轴对称后的直线记为，求直线对应的函数表达式． 8．已知直线与相交于轴上的点A处，且直线与互相垂直． (1)求点A的坐标； (2)求，的值． 9．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 10．在平面直角坐标系中，已知直线经过点和． (1)求直线的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于0，直接写出的取值范围． 11．将直线进行平移，得到直线．若直线经过点，且是由原直线向上平移个单位，再向右平移个单位得到，求的值． 12．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 13．如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 14．直线交x轴于点A，交y轴于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)如图1，点C是y轴正半轴上一点，若是以为底的等腰三角形，求点C的坐标； (3)如图2，点D是x轴上一点，，求点D的坐标． 15．等腰三角形的周长为12． (1)写出底边长与腰长的函数解析式__________． (2)写自变量的取值范围：__________． (3)请在给出的表格中填入4组值，利用描点法画出与的函数图象． 16．小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角，入射光线上一点关于反射面的对称点在反射光线的反向延长线上．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，请用两种不同的方法求的值． 17．已知在同一坐标系内，一次函数，与的图象相交于同一点，求k的值． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于A、B两点， (1)填空：点A的坐标（______，______），点B的坐标（______，______）； (2)画出函数的图象； (3)求的面积． (4)当时，直接写出x的取值范围______． 19．如图，直线：与直线：相交于点，直线，分别与轴交于，两点． (1)求，的值，并结合图象写出关于，的方程组的解； (2)为轴负半轴上的一点，且的面积为9，求点的坐标； (3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，．若线段的长为4，求出的值． 20．如图，直线的函数解析式为；且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线，交于点C． (1)求直线的函数解析式： (2)求的面积： (3)在直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 三、一次函数与方程（组）、不等式 21．如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点B，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为____；当时，x的取值范围为____； (3)将直线沿y轴正方向向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点D，当时，求t的值． 22．如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出关于x的不等式组解集是______， (3)若点C坐标为，比较与的大小． 23．某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． (1)【知识回顾】自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 6 a 4 3 2 1 2 b 4 5 6 … ①表中a的值为________，b的值为________； ②以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象，并观察图象写出该函数的一条性质：________； (2)【迁移探究】在函数的图象所在坐标系中，作的图象，交的图象于点A，B（A在B的左侧），结合图象，解答下列问题． ①请求出方程组的解； ②不等式的解集为________． 24．【活动回顾】本册教材页中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式：的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． (1)【解决问题】如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． (2)如图，观察图象，两条直线的交点坐标为__________，方程的解是__________，不等式的解集是__________． (3)【拓展延伸】如图，直线和相交于点，分别与轴相交于点和点，请你结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是_________． 四、实际问题与一次函数 25．根据振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，瓶中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同：水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高．资料表明，频率是水位高度的一次函数，已知某水瓶乐器的水位高度为时，频率为；水位高度为时，频率为． (1)求与之间的函数表达式； (2)当水位高度为时，求此时水瓶乐器的频率． 26．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 27．某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优惠 (1)分别写出甲、乙两商场的收费y（元）与所买电脑台数x之间的关系式； (2)学校到哪家商场购买电脑更合算？ 28．某面包店加工甲、乙两种面包．每天加工甲种面包的数量是每天加工乙种面包数量的2倍，加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天． (1)求该面包店每天加工甲、乙两种面包的数量分别是多少份（列方程解答）？ (2)为提升品质与效率，该面包店对烘焙设备进行升级．升级后，每天加工甲种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份，且每天加工乙种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份．受原材料库存和烤箱容量的限制，面包店对加工计划有如下要求： ①为了避免原材料浪费和烤箱超负荷，甲种面包和乙种面包每天的加工数量之和不超过252份；②为了保证产品类型配比均衡，每天加工乙种面包的数量不低于每天加工甲种面包数量的一半．已知每售出1份甲种面包可获利8元，每售出1份乙种面包可获利12元，且每天加工的甲、乙两种面包当天全部售出．不考虑其他成本，当取何值时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 29．某光伏电站研发团队在光照强度恒定的实验条件下，监测电池板的累计发电量y（单位：）与发电时间x（单位：）之间的关系．实验开始时，电量计量仪已有初始读数3，此后在恒定功率下发电．测得数据如下表： 发电时间 0 10 20 30 40 50 累计发电量 3 6 9 12 15 18 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．根据实验条件，累计发电量y（单位：）与发电时间x（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_________函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）； (2)根据以上判断，求y关于x的函数表达式； (3)小明在查看实验记录时发现一组数据，当发电时间为时，累计发电量为，请判断该记录是否合理？并说明理由． 30．盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 31．如图，直线：与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，另一直线：过点，与轴交于点． (1)求点的坐标和的表达式； (2)若动点从点开始以每秒个单位的速度向轴正方向移动．设点的运动时间为秒． ①当点在运动过程中，请直接写出的面积与的函数关系式； ②求出当为多少时，的面积等于； 32．如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 33．数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 34．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在点E的右侧，满足的面积为，点Q为直线上一动点，请求出的最大值； (3)如图3，将直线向下平移4个单位得到直线，直线与x轴交于点F，连接，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出直线与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 35．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 36．如图①，平面直角坐标系中，为原点，点A坐标为，轴，点在轴上，一次函数的图象经过点、． (1)点C的坐标为________，点B的坐标为________； (2)如图②，直线经过点，且与直线交于点，与关于直线对称，连接并延长，交射线于点，当时，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，以、、、为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：与成正比例， 设， ， 当时，， ， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）解：把代入得， 解得：． 2．解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴， ∴函数解析式为， ∴当时，． 3．（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 4．（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 5．（1）解：将，代入， 得． ∴， ∴一次函数解析式为：． （2）解：当时，得 解得：    ∴这个一次函数的图像与轴交点的坐标为． 6．（1）解：将点代入函数得：， 即； （2）解：由（1）知，， 将点和点代入函数得： 解得． 7．（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 由得， 由得或， ∴． （2）解：∵， ∴一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴该一次函数的图象与y轴的交点为， ∵当时，，解得， ∴该一次函数的图象与x轴的交点为， ∴该一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为． （3）解：∵直线l与一次函数的图象关于y轴对称，且一次函数的图象过点，， ∴直线l过点，， 设直线l的解析式为， ∴，解得， ∴直线l的解析式为． 8．（1）解：当时， 解得：， 即； （2）解：∵直线与互相垂直， ∴， ∴， ∵直线与相交于轴上的点A处， ∴将点代入得， 即， 解得：． 9．解：（1）函数图象经过原点， 令，， 代入得：， ； （2）函数的图象平行于直线， ， ； （3）这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大， 且， 且， ． 10．（1）解：∵直线经过点和 ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由题意得，当时，恒成立， ∴对于一切都成立， 令， 可得随着的增大而增大， 当时，， ∴满足对于一切都成立时，则； 由题意得，当时， 恒成立， ∴对于一切都成立， 令， 可得随着的增大而减小， 当时，， ∴满足对于一切都成立时，则， 综上：的取值范围为． 11．解：设平移后的直线的解析式为， ∵ 直线经过点， ∴， 整理得：． 12．（1）解：当时，，即，， 当时，，即，， ∴， ∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， ∴， 即； （2）解：设，则， 将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， 在中，在中， ∴， 解得：， 即， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图： ∵， ∴，， 即点C的坐标为、； 以为腰，点A为顶角顶点，如图： 同理可得点C的坐标为、； 以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于， 设 ∵， ∴， 解得：， 即， 设， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，点C的坐标为、、、、、． 13．（1）解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． （3）解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． 14．（1）解：当时，；当时，； 则，； （2）解：设， 则． 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）解：如图2，当点D在x轴负半轴上时， 可得， ， ， 则； 由对称性可知，当点D在x轴正半轴上时，， ∴点D的坐标为或． 15．（1）解：由等腰三角形的定义可得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 列表如下： 4 3 2 1 图象如下： 16．解：方法一：根据题意，点关于轴的对称点在反射光线的反向延长线上，因此、、三点共线． 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，即． 方法二(特殊值法)：∵为反射光线上任意一点， ∴不妨设点，重合，则， ∴． 17．解：由题意得：， 解得：， 交点坐标为， 把代入得：， 解得． 18．（1）解：当时，， 解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：根据点A的坐标为，点B的坐标为，画出图象如下： （3）解：的面积为； （4）解：当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当时，． 19．（1）解：点在直线：上， 把，代入，得， 解得． 点在直线：上， 把，代入，得， 解得． 两直线的交点坐标即为对应方程组的解， 方程组的解为； （2）解：对于直线：， 令，则， 解得， 点． 设点，则的长为， ， 解得， 点的坐标为． （3）解：直线与交于点，与交于点， 线段的长为， 即， 解得或． 20．（1）解：设直线的函数解析式为， 将、代入，得， 解得：， 直线的函数解析式为； （2）解：联立两直线解析式组成方程组， 解得：， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， ； （3）解：存在． 当点P在x轴上方时， ， ， ， ， ， ， 点P的坐标为； 当点P在x轴下方时， ， ， ， ， ， ， ， 此时点P的坐标为； 综上所述：在直线上存在点或，使得面积是面积的3倍． 21．（1）解：直线与轴交于点， ， 解得：， 直线与轴交于点， ， 解得：． （2）解：联立， 得：， ， 解得：， ， 方程组的解为， 当时，即， 由函数图象可知， 解得：． （3）解：直线沿轴正方向平移个单位， 得， 令，得， 解得：， ， ， ， 由得： ， 解得：． 22．（1）解：与x轴交于点， 关于x的方程的解是， 的图象与x轴交于点， 结合函数图象可得，关于x的不等式的解集； （2）解：根据图象可得的解集为， 可得的解集为 的解集为； （3）解：和两直线交于点， 结合函数图象可得， 当时，； 当时，； 当时，． 23．（1）解：①当时，， 所以； 当时，， 所以； ②画出该函数的图象，如下图： 该函数图象的最低点为或函数的最小值为1或当时，y随x的增大而减小或函数图象关于对称（答案不唯一）； （2）解：①如图所示，当时，有方程组， 解得， 当时，有方程组， 解得； 综上，原方程组的解为或； ②结合①中方程组的解，函数的图象在的图象下方的部分对应的范围是， 所以不等式的解集为． 24．（1）解：由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知，两条直线的交点坐标为，方程的解是，不等式的解集是， 故答案为：，，； （3）解：由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， 由函数图象可知，当时，；当时，， ∴不等式组的解集是． 25．（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 答：此时水瓶乐器的频率为． 26．（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 27．（1）解：由题意知，每台电脑原价6000元. 甲商场：第一台按原价收费，其余每台优惠， ，（且x为整数）， 乙商场：每台优惠， （且x为整数）， （2）解：当时，，解得; 当时，，解得; 当时，，解得. 当购买5台时，两家商场收费相同；当购买超过5台时，甲商场更合算；当购买少于5台时，乙商场更合算. 28．（1）解：设该面包店每天加工乙种面包份，则每天加工甲种面包份. 根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：该面包店每天加工甲种面包100份，乙种面包50份； （2）解：升级后，每天加工甲种面包的数量为份，每天加工乙种面包的数量为份. 根据题意列不等式组： ， 解第一个不等式得： ， 解第二个不等式得： ， 因此不等式组的解集为， 设每天获得的总利润为元， 根据题意得： ， ∵， 随的增大而增大， 当时，取得最大值， ， 答：当时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大，最大利润是2360元． 29．（1）解：描点如下： 由图象可知，这些点在一条直线上，故二者可能是一次函数关系； （2）解：设关于的函数表达式为． 将点代入， 得， 解得． ∴关于的函数表达式为． （3）解：不合理，理由如下： 依题意，当时，， ∴小明记录不合理． 30．（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克 总配送费 化简得 即当时， 函数关系式为． （2）把代入， 得(元) 该包裹重量，属于第三档当时， 总配送费为 化简得 令， 得方程 ∴ 解得 答∶该包裹重量是26千克． 31．（1）解：点为直线上一点， ，解得， 点的坐标为， 把点的坐标代入，得，，解得， 的表达式为； （2）解：①由题意可知，到轴的距离为， 令可得，解得， 点坐标为， 在中，令可得，解得， 点坐标为； ， 当在、之间时，则， ； 当在的右边时，则， ； 令可得或， 解得或， 即当的值为秒或秒时的面积等于． 32．（1）解：令直线的函数解析式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故点，再将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 综上，的值为，直线的解析式为． （2）解：令形成矩形的中心点为，点坐标为 ∵点在直线上， 令点坐标为， ∵、， 则，，， 对结果进行分类讨论： ①当为对角线，时， 此时点为、中点， 即点， 由，根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得或， 当时，， 由为中点，即、横坐标之和、纵坐标之和除以为点的横、纵坐标， 可得，， 解得，， 故此时； 当时，， 由为中点， 可得，， 可得，， 故此时； ②当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； ③当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、B横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； 综上，点的坐标为，，，． 33．（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又 轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 34．（1）解：∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线， 当时，， 解得， ∴， ∴， 联立直线和直线得，， 解得， ∴， ∴， ∵点P为直线上一点，设， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得， ∴， 如图，连接， ∵， ∴轴，且 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 如图，取的中点，连接，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段的延长线上时，取得最大值，即的长度， ∴， ∴的最大值为； （3）解：∵将直线向下平移4个单位得到直线， ∴直线的表达式为， ∴当时，， 解得， ∴， 如图，当点M在右边时，过点F作且，过点G作轴于点N，连接，取中点H，作直线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点H是的中点， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 如图，当点M在左边时，过点F作且，过点G作于点N，过点B作于点I，连接，取中点H，作直线， 同理可证，， ∴，， ∴点G的横坐标为， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 同理可得，直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 综上所述，直线与y轴交点的坐标为或． 35．（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 36．（1）解：如图，设点C的坐标为， 代入中， 解得， ∴ 设点B的坐标为，代入中， 解得， ∴； （2）解：如图，过点D作轴于点， 在中，， ∴，    ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线l的解析式为，则 ， 解得， ∴直线l的解析式为． （3）解：可以形成平行四边形． 如图，， ∴点， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为 设点， ，分情况讨论： ①当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：， ， ∴点．    ②当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：,   ， ∴．    ③，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分得： ， 解得：， ， ∴．      综上，点P的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $