备考信息导航演练（三）-【衡水真题密卷】2026年高考数学备考信息导航演练（B版 低难度）

2025一2026学年度备考信息导航演练 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知A,B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合.若A={x∈Z一x2+ 3x+4>0},B={x∈Zx≤2}，则AB的子集个数为 A.7 B.8 C.15 D.16 2.已知复数z1=1十2i,z2= 一则？在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知命题p:Hx∈Z,x2∈N,则命题p的否定为 A.]x∈Z,x2tN B.Hx∈Z,x2度N C.VxtZ,x2∈N D.xZ,x2N 4.已知数列a.的通项公式为a。=,则a)的前”项和S, A.20-n-1 2+1-n-2 C.2”-n+1 2"+1-n+2 B D. 2" 2 2n e*11 5.已知函数f(x)= e+1一王一2，则f)的所有零点之和为 A.-2 B.0 C.2 D.4 6.已知函数f(x)=sin(wx十o)的部分大致图象如图所示，则f(π)= 数学试题（三）第1页（共4页） 备考信息 班级 3 姓名 A.0 c.-2 D 2 得分 7.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为2，平面&过直线AG,且与平面ABCD的夹角为 O,则当0分别取得最大值、最小值时，平面a截正方体ABCD-EFGH的截面面积之 比为 3 A.3 33 C.3 3 B.2 0.2 8.某商店店庆，每个在店内消费达到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了 n(n≥3)个盲盒，其中m(1≤m<n一1)个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这n个 盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由 下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一 个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为1.抽奖者乙 在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的 盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为p?,则 A.p1p2 B.PP2 C.i<p2 D.无法确定p1与p2的大小关系 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>b>0>c,则 11 A.b2<ab a<6 B.- C.2a>3b D.4<b c 10.已知双曲线E与焦点在y轴上的椭圆C的离心率之积为1，点P(2,2)是其公共点， 若E的渐近线方程为y=士x,则 A.E的实轴长为2 BC的离心率为号 C.C的长轴长为2√/10 D.C与E的焦距相同 11.已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(f(x)-x5一3x3)=5,则 A.f(-1)=-3 B.f(x)是奇函数 C.f(x)+f(-x)=2 D.不等式f(x一1)>5的解集是(2，十∞) 导航演练 数学试题（三）第2页（共4页） B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知sime+）-2sina,则1ana= 13.已知向量a=2,b=10,若b在a上的投影向量为一2a,则a与b的夹角为 5 14.已知A(一3,0)，B(3,0)两点，若直线x+my+3=0上存在点M,使得MA= 2MB,则m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式 分别制作100件产品，产品质量情况如表所示： 质量情况 制作方式 合计 优良品 合格品 AI智能 80 20 100 手工 60 40 100 合计 140 60 200 (1)记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为1，p2,求p1,p2的估计值. (2)根据小概率值α=0.01的卡方独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质 量有差异？ n (ad-bc)2 附：x=a+b)c十d)a十c)b+d,其中n=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(15分)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PBC. (2)若PA=AB=BC=2AD,求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值. B 数学试题（三）第3页（共4页） 备考信息 17.(15分)已知数列{am},a2 -6,an-an+1=3anan+1. (1)证明： 为等差数列，并求a的通项公式 an 1 1 1 令ba,Tm为b的前n项之积，正明b1T1千b,T,T6,元十. an+1 6T.< ln(+1). 18.(17分)已知抛物线C:y2=2px（p>0),焦点为F,对于抛物线上一点P,记PF|=d, d的最小值为1. (1)求C的方程. (2)若O为坐标原点，直线PF与C的另一个交点为Q,设直线OP,OQ的斜率分别为 k1,k2,求k1·k2的值 (3)将点P向上平移d个单位长度，得到点A,记点A到直线l:x十y=0的距离为r, 证明：以A为圆心，r为半径的圆始终经过定点. 19.(17分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2A=1-2 sin Asin B. (1)证明：a=b. (2)设AC边上的中点为D (1)若c=2,BD=3,求C (i)记∠CBD=0,求0的最大值. 导航演练 数学试题（三）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025一2026学年度备考信息导航演练数学（三）】 一、选择题 1.B【解析】因为集合A={x∈Z一x2+3x+4> 2次元，k∈Z,甲u=1十6k,ke乙.又国为4=20 0}={x∈Z-1<x<4}={0,1,2,3},集合B= 3，所以三所以”1，所以F(x) {x∈Zx|≤2}={x∈Z-2≤x≤2}={-2， -1,0,1,2},可得AUB={-2,-1,0,1,2,3),A ++2小=m+》所以f) ∩B={0,1,2},由Venn图可知A*B即在AUB sm+2）-n号 2π3 中去掉A∩B的元素，可得A*B={-2,-1,3}, 21 所以A*B的子集个数为28=8. 7.A【解析】设平面a∩平面ABCD-l,易知CG 22(1-i) 2.A【解析】依题意，千；ū十)1-D=1 ⊥平面ABCD,所以CG⊥I,过，点C作CK⊥1于 点K,连接GK,又CG∩CK=C,所以l⊥平面 一i,则2=1十i,所以之2在复平面内对应的点为 CKG,可得l⊥GK,则∠GKC即为平面a与平面 (1,1),位于第一象限. 3.A【解析】命题p:Hx∈Z,x2∈N的否定为 ABCD的夫角0.设CK=d,则tan0=CG_2。 dd' “3x∈Z,x2fN”. 4B【解标】候题忘S十层+十十 2”则 若d-0,则an0一十0,0，交.结合两平面夫角 1 12,3 的取位范国，可假超d=0,则0取得最大位受， 2”十2，两式作差， 此时平面a即为平面ACGE,则截面面积为 22+2+…+” -++安+ 22m+1=1 S四逸形ACGE=4√2；易知d=CK≤AC=2√2，所以 当d=2√2时，0取得最小值，连接BD,此时BD 1 n 20一20所以5，=22-”-2-”二3 2” ∥L,则BD∥平面a,设BF,DH的中点分别为 e1 M,N,则平面a必过M,N,连接AN,NG,GM, 5.B【解析】因为f(x)十f(-x)=e十1一元 MA,则截面面积为Sm边形AMN=2√6，所以截面面 1+e+1-1=e 1 2e+1十x-2。+1+。+1 一1=0，所 积之比为 3 以∫(x)为奇函数，根据奇函数图象的对称性，可 知f(x)的所有零点之和为0. 6D【解标】因为f)的因泉过点0，），所以 Ni-- 5加g-复向因可知，点09》在成区同内，所以 g-经+2x∈五因为f)的因象注点（后0小 8.A【解析】设事件A为“抽奖者甲中奖”，事件B 所以m(赁2=sn(经）=6，由因 为“甲最初选中的盲盒有奖”，则P(B)=m, 可知，点（0在或区网内，所以。十=x 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的盲盒有 奖，则剩余n一2个盲盒中有m一1个有奖，甲更 数学答案（三）第1页（共4页） B 2026 备考信息导航演练（三） 换盲盒后中奖的概率为P(AB)=m一 1-2,若甲先 f(x)=x5+3x3+1.对于A,f(-1)=-1-3 十1=-3，故A正确；对于B,f(一x)=一x5 选中的盲盒无奖，则剩余n一2个盲盒中有m个 3.x3+1≠-f(x),所以f(x)不是奇函数，故B 有奖，则更换盲盒后中奖的概率为P(A|B) 错误；对于C,f(x)十f(-x)=x5十3x3十1- n-2因此D=PA)=P(AB)P(B)+P(AB)· x5-3x3+1=2,故C正确；对于D,f(x)=x5+ 3x3+1在R上单调递增，且f(1)=1十3+1= P(B)=mn-m 5,所以由f(x-1)>5=f(1),得x-1>1,即x n2-2n: >2,故不等式f(x-1)>5的解集是(2，十∞)， 由乙碰掉的盲盒无奖，知剩余n一1个盲盒中有m 故D正确」 个有奖，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则p2= 三、填空题 于是2=n-1D m P2 n2-2n =1+。1 >1,所以 n2-2n1 121【限折】ne+)-受n。-se)-2× p1>p2: sina,故sina=cosa,解得tana=1. 二、选择题 π 9.ABD【解析】对于A,由0<b<a,得b2<ab,故 13.3 【解析】因为b在a上的投影向量为a·b。 A正确：对于B:由0b<a,得。<方，故B正确) a·b 4a 一2a,所以a·b=-10,所以cos(a, 5 对于C,若a=0.5,b=0.4,则2a>3b不成立，故 a·b-101 C错误：对于D,由c<0,得1<0，又0<b<a,得 b)=Ta6-2X10-2又a,b)e[0,时， >。，故D正确 所以(a,b)=2n 3 c c 14.(-∞，一√3]U[3,十o∞)【解析】设点M(x,y), 10.BC【解析】由双曲线E的渐近线方程为y= 可徒E的方程为若-1，周的-1 则由MA|=2|MB|,可得√(x+3)2+y= 2W(x-3)2十y2,整理得(x-5)2十y2=16,故 1+) 点M在圆心为(5,0)，半径r=4的圆上运动，又 =√2，所以椭圆C的离心率为 2,故 点M在直线x十my十3=0上，则圆心到直线的距 B正确；由于E过点P(22).所以a 42 =1, 离d=5+3<4,解得m≥5或m≤-5，所以 √/1+m 且a1=b1,所以a1=√2，c1=2,故E的实轴长为 m的取值范围为(-o∞，-√3]U[3,十o∞). 2,2,核距为4，故A错误：设C的方程为 x2 四、解答题 b号 80 =1,又C的离心率为-二，所以a:=2cb 15.解：1)由题表可得p-100=0.8, (2分) 2a2 60 p:=100=0.6. (4分) =c2,则C:22十2 。=1,由于C也过点P(2, (2)零假设H。:AI智能与手工制作的产品质量 2),所以1+4 c+c1,所以a:=0,c=5,故 无差异， X2-200×(80×40-20×60)2_200 C的长轴长为2/10，焦距为2√5，故C正确，D 100×100×140×60 21≈9.524， 错误， (10分) 11.ACD【解析】令f(x)-x5-3x3=C,则f(C) 因为9.524>6.635=x0.01, =5,令x=C,则f(C)-C5-3C3=C,即C5十 所以依据小概率值α=0.01的卡方独立性检验， 3C3十C一5=0.根据幂函数的性质可知，函数 我们推断H。不成立，即能认为AI智能与手工 g(C)=C5十3C十C-5在R上单调递增，且 制作的产品质量有差异，此推断犯错误的概率不 g(1)=0,则C=1,所以f(x)-x5-3x8=1,即 超过0.01. (13分) 数学答案（三）第2页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 16.(1)证明：由于PA⊥平面ABCD,ADC平面 1 1 又a2= ABCD,故PA⊥AD, (1分) 6则。=6,1=3. 又AB⊥AD,AB∩PA=A,AB,PAC平面 故1是以3为首项，3为公差的等差数列， a PAB,故AD⊥平面PAB, (3分) (4分) 由于AD∥BC,则BC⊥平面PAB, 所以 =3+3(n-1)=3m,则a.-3元 1 又BCC平面PBC,故平面PAB⊥平面PBC. (6分) an (5分) (2)解：由于PA⊥平面ABCD,ABC平面 (2)因为bn= an+1 n ABCD,故PA⊥AB,则PA,AD,AB两两垂直， 故以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为 则T=bb,bh三×名X3 3X…X”+1 n x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， n+1, 1 所以.T。-(n+1)n+D’ (8分) 令函数f(x)=lnx-x+1,0<x<1, 求导得fc)}11>0. x 所以f(x)在(0,1)上单调递增，则f(x)<f(1) =0,即lnx<x-1, 设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1), n D(0,2,0),C(1,1,0), n+1n∈N“, 取x= 则P元=(0,2，-1)，BD=(-1,2,0),C元= (-1,1,0), (8分) 则片是出 设平面BPD的法向量为m=(x1,y1,之1)，则 (12分) m·PD=0,12y1-之1=0， 所以TaD+天nn+ 1 n 即 m·BD=0,-x1+2y1=0, In(n+1)-Inn, 取y1=1,则x1=2,之1=2，故平面BPD的一个法向 1 11 1 量为m=(2,1,2), 则T+bT:十b,元++T.<1n2-ln1 设平面CPD的法向量为n=(x2,y2,22),则 +1n3-ln2+ln4-1n3+.+ln(n+1)- n·Pi=0即2：=0， In n=In(n+1). (15分) n·CD=0,-x2十y2=0, 18.(1)解：如图所示： 取x2=1,则y2=1,z2=2,故平面CPD的一个 法向量为n=(1,1,2), (10分) 设平面BPD与平面CPD的夹角为0，(12分) 则cos0=|cos(m,n)|=mn m·n 2+1+4 7√6 (14分) /4+1+4×/1+1+4 18, 即平面BPD与平面CPD夹角的余弦值为7,5 18· (15分) 17.证明：(1)由题意知，an≠0，am一aw+1=3amam+1 设点P(xy),则PF=x+ 2, (2分) 左右同时除以a,a中1，得，1一1=3. (2分) an+l an 因为≥0，所以PF最小值为号-1，则p-2, 数学答案（三）第3页（共4页） B 2026 备考信息导航演练（三） 故C的方程为y2=4x. (4分) (2)解：由题意可知，直线PQ斜率不为0，设直线 (份)+3-4 4-a2 =0 (8分) PQ:x=ty+1,P(xi,y),Q(z2,y2), 23a 联立 x=ty+1, 整理得y2一4ty一4=0，(7分) 解得a=b=2, y2=4x, 则yy2=-4,又k1·,=y, 1 则△ABC为等边三角形，故C-T 3 (9分) TIx2 4=4yi,xg (iⅱ)在△CDB和△ADB中由正弦定理可得， -行所以1·： =16 三一4 4 a 16y1y2)2y1y 1 BD BD 2 sin C sin 0'sin A sin(B-0)' (10分) (10分) sin A (3)证明：设P停）则d-+1,放A。 两式联立可得，snC= sin0sin(B-0),又sinC= sin(π-A-B)=sin(π-2A)=sin2A,故 装++1小 (11分) sin 2A sin A 2sin Acos A 即 sin 0 sin(A-0, sin 0 所以++1将两A(一 sin A sin(A-0)' +61-=0++分 sin 0=2cos Asin(A-0), sin 0=2cos A sin A cos 0-2cos2A sin 0, 化简得++(3-)少8+21-0十 tan 0-2sin Acos A sin 2A 1+2 cos2A cos 2A+2' (13分) ,(15分) 因为2A=A+B∈(0，π)， 3-x一y=1, 所以令y= osx+2x∈(0，r), sin x 2 1 则2y=sinx-ycos x=√y2+1sin(x-9),其 令2(1-y)=1, 解得x=y=2' 1 y 1 x2+(1-y)2=2 中cos9= 2+1 sin = y2+1 所以以A为圆心，r为半径的圆始终经过定点 2y 则sin(x-p)= y2+1 ∈[-1,1]， (层》 (17分) 19.(1)证明：由于cos2A=1-2 sin Asin B, 部密≤厚。 则2 sin Asin B=1-cos2A=2sinA,(2分) 故当y=。 因为A∈(0，π)，所以sinA>0,则sinB =sin A, (15分) 又B∈(0，π)，则A=B或A十B=π（舍去）， 因为xe0,a.所以一吾c(←誓）， 故a=b. (4分) (2)解：(i)因为c=2,BD=√3，a=b,∠CDB+ ∠ADB=π， 则在△CDB和△ADB中，由余弦定理可得， 敢当21-号，即A-时m0有最大的号此 3 (）+3-a 故日的最大值为骨 时0=刀， (17分) coS∠CDB+coS∠ADB B 数学答案（三）第4页（共4页）