数学（江苏南通卷）学易金卷：2026 年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学模拟卷以真实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何等核心知识，通过基础题、综合题、探究题梯度设计，考查抽象能力、推理意识和应用意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|倒数、科学记数法、三视图、函数图像|结合春秋假旅游数据（第2题）、手机支架角度计算（第5题），体现生活应用| |填空题|6/22|二次根式、弧长公式、矩形折叠|第16题动态几何探究线段关系，培养空间观念| |解答题|9/98|方程不等式、几何证明、概率统计、项目化学习|第23题小球滚动速度探究（项目化）、第25题抛物线与直线定点问题，考查创新意识与模型观念|

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11. 12. 13. 14. 15 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) 甲款AI满意度评分条形统计图 乙款AI满意度评分扇形统计图 人数y 20% 5 A 4321 0 20% 6 m% OD C B A分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) B 0 C 22.(10分) V45 3.4nm 文30 E 5m 图0 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) ↑v(m/s) 3 ! 1- 77777777777777777777 12 34 5 t(s 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) E y D D W D M C B M B C M (图1) (图2) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) M M =1 B N: 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.的倒数是(    ) A. B. C. D. 2.为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”年春假期间南通市共接待游客人次，实现旅游总收入亿元数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列几何体中，主视图为三角形的是(    ) A. B. C. D. 4.把函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得到的图象一定经过点(    ) A. B. C. D. 5.如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为(    ) A. B. C. D. （第5题） （第6题） 6.如图，菱形的对角线，，交点为，点在上，且，过点作交于点则的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的直径，，是上两点，连接，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. （第7题） （第8题） （第9题） 8.如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点连结若，则的长为    ． A. B. C. D. 10.已知二次函数，当时，若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 或 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是        ． 12.如图，，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，圆心角，则的长为          结果保留 13.已知，则代数式的值为          ． 14.如图，周日下午八年级某班小明想到站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为 假设公交车的速度是小明速度的倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到站之间的距离最大为           （第14题） （第15题） 15.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点落在点的位置，若，则点的横坐标是      ． 16.如图，在中，，点在线段上不与，重合，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为          ；若，为常数，则          用含的代数式表示． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本题10分）解方程：； 解不等式组；． 18.（本题10分）如图，、分别在正方形对角线、边上，给出以下信息：；；从上面三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题． 你选择的条件是______，结论是______填序号； 证明你构造的命题． 19. （本题10分）深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游图，彰显了大国科技实力如图，一圆环被条线段分成个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． 火星探测模型放在区域的概率是        ； 求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率请用树状图或列表法表示． 20.（本题10分）本小题分为了了解赋能新课堂的效果，某区对甲、乙两款的使用满意度进行了评分测试，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，且为整数，分为四个等级：非常满意，；满意；良好；不满意，下面给出了部分信息． 甲款评分数据中，组包含的所有数据为：，，，，，，； 乙款评分数据中，组包含的所有数据为：，，，，，，，，． 甲、乙两款满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 乙款 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中______ ，______ ． 根据以上数据分析，你认为哪款产品更受用户喜爱？请说明理由写出一条理由即可； 在此次测试中，有名教师对甲款进行评分，名教师对乙款进行评分，请通过计算，估计其中对所调查的人非常满意的用户人数共有多少？ 21.（本题10分）如图，内接于，，连接，过点作的切线，与的延长线交于点． 求证：； 若，，求图中阴影部分的面积． 22.（本题10分）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能机翼如图所示的简化设计图横截面如图中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点在上，点在上，米，米线段与水平线成角，线段与水平线成角请求出图中、和这三段支撑构件的长度结果取整数． 参考数据：，． 23.本小题12分 【项目化学习】 【项目主题】 探究小球从斜面顶端由静止滚下，继而在水平面上滚动直至停止的过程中，速度随时间的变化情况． 【驱动任务】探究在整个实验过程中小球滚动的速度与时间之间的关系． 【研究步骤】 搭建斜面与水平面的实验装置如图，让小球从斜面顶端由静止滚下； 测量小球在实验装置上滚动的时间、速度及距离水平面的高度，记录部分数据如下表： 小球滚动的时间 小球滚动的速度 小球到水平面的高度 数据分析，形成结论． 【模型建立】 如图，在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象，并根据图象说明速度随时间的变化情况； 【问题解决】 求小球在水平面上滚动的过程中，速度与时间之间的函数表达式； 请直接写出小球滚动时到水平面的高度的估计值． 24.本小题13分 在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，在正方形纸片 中，点 是边 上一动点不与端点重合折叠正方形纸片，使点 与点 重合，折痕分别交边 、 于点、， 的对应边为 ， 与 交于点 探究 的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 先从简单的、特殊的情况开始研究：若 ，点 恰好是边 的中点，则           ； 【一般化探究】 对正方形的边长一般化处理，并改变点 的位置：如图，若 ，求 的周长用含 的代数式表示； 【拓展性延伸】 通过的解决，可猜想出 的周长与边 的等量关系．但由于边长的一般化及点 位置的不确定，会导致 、 、 的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想 的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 25.本小题13分 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在轴上，且对称轴为直线． 求抛物线的函数表达式； 过对称轴上的点引直线，对称轴除外，两直线分别与抛物线有唯一交点，，求的度数； 若的条件中的点在直线上运动，试探究直线是否过某个定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.的倒数是(    ) A. B. C. D. 2.为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”年春假期间南通市共接待游客人次，实现旅游总收入亿元数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列几何体中，主视图为三角形的是(    ) A. B. C. D. 4.把函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得到的图象一定经过点(    ) A. B. C. D. 5.如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，菱形的对角线，，交点为，点在上，且，过点作交于点则的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的直径，，是上两点，连接，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点连结若，则的长为    ． A. B. C. D. 10.已知二次函数，当时，若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 或 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是        ． 12.如图，，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，圆心角，则的长为          结果保留 13.已知，则代数式的值为          ． 14.如图，周日下午八年级某班小明想到站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为 假设公交车的速度是小明速度的倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到站之间的距离最大为           15.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点落在点的位置，若，则点的横坐标是      ． 16.如图，在中，，点在线段上不与，重合，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为          ；若，为常数，则          用含的代数式表示． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本题10分）解方程：； 解不等式组；． 18.（本题10分）如图，、分别在正方形对角线、边上，给出以下信息：；；从上面三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题． 你选择的条件是______，结论是______填序号； 证明你构造的命题． 19.（本题10分）深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游图，彰显了大国科技实力如图，一圆环被条线段分成个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． 火星探测模型放在区域的概率是        ； 求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率请用树状图或列表法表示． 20.（本题10分）本小题分为了了解赋能新课堂的效果，某区对甲、乙两款的使用满意度进行了评分测试，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，且为整数，分为四个等级：非常满意，；满意；良好；不满意，下面给出了部分信息． 甲款评分数据中，组包含的所有数据为：，，，，，，； 乙款评分数据中，组包含的所有数据为：，，，，，，，，． 甲、乙两款满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 乙款 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中______ ，______ ． 根据以上数据分析，你认为哪款产品更受用户喜爱？请说明理由写出一条理由即可； 在此次测试中，有名教师对甲款进行评分，名教师对乙款进行评分，请通过计算，估计其中对所调查的人非常满意的用户人数共有多少？ 21.（本题10分）如图，内接于，，连接，过点作的切线，与的延长线交于点． 求证：； 若，，求图中阴影部分的面积． 22.（本题10分）为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能机翼如图所示的简化设计图横截面如图中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点在上，点在上，米，米线段与水平线成角，线段与水平线成角请求出图中、和这三段支撑构件的长度结果取整数． 参考数据：，． 23.本小题12分 【项目化学习】 【项目主题】 探究小球从斜面顶端由静止滚下，继而在水平面上滚动直至停止的过程中，速度随时间的变化情况． 【驱动任务】 探究在整个实验过程中小球滚动的速度与时间之间的关系． 【研究步骤】 搭建斜面与水平面的实验装置如图，让小球从斜面顶端由静止滚下； 测量小球在实验装置上滚动的时间、速度及距离水平面的高度，记录部分数据如下表： 小球滚动的时间 小球滚动的速度 小球到水平面的高度 数据分析，形成结论． 【模型建立】 如图，在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象，并根据图象说明速度随时间的变化情况； 【问题解决】 求小球在水平面上滚动的过程中，速度与时间之间的函数表达式； 请直接写出小球滚动时到水平面的高度的估计值． 24.本小题13分 在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，在正方形纸片 中，点 是边 上一动点不与端点重合折叠正方形纸片，使点 与点 重合，折痕分别交边 、 于点、， 的对应边为 ， 与 交于点 探究 的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 先从简单的、特殊的情况开始研究：若 ，点 恰好是边 的中点，则           ； 【一般化探究】 对正方形的边长一般化处理，并改变点 的位置：如图，若 ，求 的周长用含 的代数式表示； 【拓展性延伸】 通过的解决，可猜想出 的周长与边 的等量关系．但由于边长的一般化及点 位置的不确定，会导致 、 、 的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想 的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 25.本小题13分 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在轴上，且对称轴为直线． 求抛物线的函数表达式； 过对称轴上的点引直线，对称轴除外，两直线分别与抛物线有唯一交点，，求的度数； 若的条件中的点在直线上运动，试探究直线是否过某个定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)。 1 2 3 4 6 7 8 9 10 B A B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分)。 11.x≤2026 12.10π 13.18 14.120 15昌 16.BC=CF2Vn2+1-2 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 17.（10分) 【解析】(1)x2-4x-1=0, x2-4x=1' x2-4x+4=1+4 (x-2)2=5(3分) x-2=±V5 X1=2+5X2=2-V5:(5分) 第1页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2x<X+1① 2)X-12x-2② 3 由①得，x<1,(7分) 由2期x ,(9分) 故不等式组的解为：x<1（10分) 18.(10分) 【解析】(1)条件：①②， 结论：③.(4分) (2已知EP分别在正方形对角线BD边CD上，BE=BC:EFLBD求证：DE=CF(5分) 证明：.EF L BD, .∴.∠BEF=∠BCF=90° 'BE=BC'BF=BF .△BEF≌△BCF(HL)'(7分) .∴.EF=FC' :EF分别在正方形对角线BD边CD上， 第2页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠EDF=45° ∴.∠DFE=45, (9分) .∴.ED=EF' ∴DE=CF· (10分) 19.(10分) 【解析】(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中火星探测模型放在区域①的结果有1种， “火星探测模型放在区域①的概率为4· (4分) 故答案为：子 (2)列表如下： ① ② ③ ④ ① (①，( (①，( (①，( ② (②， (②， (②， ③ (③，( (③， ③ ④ (④，( (④，（ (④，( 共有12种等可能的结果，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的结果有：（①，(，（①，(， (②，'（②，'（③，（③，"（④，（④，共8种，(7分） :·火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率为2号 8=2 (10分) 第3页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(10分) 【解析】(1).甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88 =87+88=87.5分.(2分) ∴. 02 乙款A和D组人数均为：20x20%=4'C组人数为：20-4-4-9=3 :乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了5次，(3分) .b=871（4分) 故答案为：87.5,87； (2)甲款Ar更受用户喜爱，(5分)理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是85，但甲款评分数据的中位数为87.5比乙款的中位数86高，所以 甲款AI更受用户喜爱（答案不唯一）；(7分) (3)·有280名教师对甲款Ar进行评分，300名教师对乙款A进行评分， ·280x5+300x20%=130(人. 20 答：估计其中对所调查的人非常满意的用户人数共有130人.(10分) 21.(10分) 第4页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)证明：连接OC, B D :CD是oO的切线， ∴.∠OCD=90 (2分) .AC=AC'∠ABC=45, :∠AOC=2∠ABC=90,(3分) ∴.∠AOC+∠OCD=180 .OA∥CD:(5分) (2)解：过点A作AF⊥DC交DC于点F: B A D 0 第5页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,OA=OC'∠AOC=901 .∴.∠OAC=45°1 ∴.∵∠BAC=75 .∠BA0=∠BAC-∠0AC=75°-45°=30，(7分) .AO DC' .∴.∠D=∠BAO=30° 在Rt△AFD中， .∵AD=8 .'.AF=-AD=4. ∴.'OA=OC'∠OCD=90°=∠AOC=∠AFC' :.四边形OAFC是正方形，(8分) .'.OA=AF=4' 若∠BAC-75,AD-8,5E-5n-5ac0f方4448.(0分》 22.（10分) 第6页，共1页 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】作AN⊥DC于点N,BP⊥CD于点P,可得矩形ABPN,矩形BEFP,矩形AEFN, 4 V459 3.4m P B 文361 D E 5m 图② ∴.AN=BP=EF=5m,NP=AB=3.4m,∠N=∠BPC=90°，2分) .'∠NAD=45°， ∴.ND=AN=5m,AD=5V2≈7(m),(4分) ,∠PBC=30° .BC=5 -10≈6(m),pC=5×tan30≈3(m),(8分) c0s30°V3 ∴.CD=NP+PC-ND=3.4+3-5≈1(m): 答：AD约长7m,BC约长6m,CD约长1m.(10分) 23.（12分) 第7页，共1页 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度V(m/s)与时间t(s)之间关系 的图象， ◆v(m/s) 3 (3分) 2345t(s) 当0≤t<1时，V随t的增大而增大；当1≤t≤4时，v随t的增大而减小；(5分) (2)由题意，当小球在水平面滚动的过程中，设V=kt+b, 由题意可得： k+b=3 2k+b=2 k=-1 解得b=4' .V=-t+4,(8分) .∴小球在水平面滚动的过程中，速度V与时间t的函数表达式为V=-t+4(1≤t≤4)；10分)》 (3)由表格可得，小球滚动0.7s时到水平面的高度h约为23.4cm,(13分) 第8页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(13分) 【解析】(1)..正方形纸片ABCD,AB=8,点P恰好是边CD的中点， ∴AB=BC=CD=DA=8,PD=PC=)CD=4,∠A=∠B=∠C=∠D=90·, 设BM=X,则CM=BC-BM=8-X, .x2=8-x2+16′(3分) 解得x=5, .∴.BM=5' 故答案为：5；(4分)》 (2.)正方形纸片ABCD,AB=a,CP= 3a, :AB=BC=CD=DAa,PD=CD-PC=号a,∠A=∠B=∠·， 设BM=x,则CM=BC-BM=a-X, x2=a-x2+6a2, 9 解得x-5a,(7分) 9 54 ∴.CM=a- a 根据折叠的性质，得∠ MP, D=∠ t, 第9页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠MPC=90°-∠ I, ∴△ MPC一， MC _PC PD QD 4 1 .5 9 。 3 QD' 解得DQ=号a,(9分) 12 a 故aDPQ的周长为：PQ+DQ+DP=5a+号a 2 +2a=2a, 62 3 故△DPQ的周长为2a；(9分) B)解：正方形纸片ABCD,AB=a,CP=1a, n AB=BC=CD=DA=a,PD=CD-PC-a,∠A=∠ B=∠°， 设BM=x,则CM=BC-BM=a-x, x2=ax2+2a2, n 解得x-+1。 a 、2n2 CM=a-n+1a1a(0分 2n2-a= 2n2 第10页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 根据折叠的性质，得∠ MP, ∠ D=∠ ∴.∠MPC=90°-∠ ∴△ MPC一， .MC_PC PD QD n-1 QD' 解得DQ=2 a,(12分) +1 PQ=1 2n-1,2-n2+1 1an7≥ a a n(n+1 敌eD0的长为P0D0Dp式7a+7aa-2a2AB 故△DPQ的周长为2AB.(13分) 25.(13分) 【解析】(1)解：.抛物线的对称轴为直线x=4, .X= b=4,(1分) 2 ..b=2 第11页，共1页 学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意知，抛物线的顶点坐标为4.0， 1 ∴.将b=2,点4,0代入抛物线的表达式y=-x2+bx+c中， 4 得-1x16+4x2+c=0, 4 ∴.c=-4(3分) :抛物线的函数表达式为y子x+2x4:(4分) (2)解：如下图，设直线PA与x轴交于点C,直线PB与x轴交于点D, M D 设过点P4,1的直线表达式为y=kx-4+1, 令y=kx-4+1与y=-1x2+2x-4相等， 4 即-1x2+2x-4=kx-4+1.(6分) 4 得x2+k-2X-4k+5=0. .两直线分别与抛物线有唯一交点A,B, ·令上述方程的判别式为0， 两直线分别与抛物线有唯一交点，可转化为该一元二次方程有两个相等的实数根， 第12页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即k-22-4x}×5-4k=0, 4 解得k2=1, k=±1 (8分) 当k=1时，则AP的解析式为y=x-3, 方程2x2+k-2x4k+5-0,即2x-X*1=0, 4 解得：x1=X2=2,则A2,-1, 当k=-1时，BP的解析式为y=-x+5, 方程x2+k-2x-4k+5=0,即1X2-3x+9=0, 4 解得：x1=x2=6,则B6,-1, 如图，连接AB, M: ∴.AB=6-2=4,PA=V(4-22+1+12=22,PB=V6-4+-1-12=2V2, ..AB2=PA2+PB2, ∴△APB是等腰直角三角形，且∠APB=90°， 第13页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即∠ AP;(9分) (3)解：直线AB过定点4，-1， ~点p在直线，1上运动时，设点A血存m+2m-4 直线PA的表达式为yk,x-m- 4m2+2m-4, 令y=kxm子㎡2+2m-4与y子x2+2x4相等， 得kxm-子m+2m4子x+2x4 4 整理，得x2+4k,-2x-m2+4k1m-8m=0 由△=0：得m2+4k1-2m+4k1-22=0 即m+2k,-2=0 k",(0分 :直线PA的表达式为xm子m+2m4,整建，得) 4 4mx4m2-4, 4 1m2-10 把点P,1代入上式，得= m-4 1n2-10 同理，设点Bn-子+2m4,得 n-4 m2-105n2-10 2 ∴t= m-4 第14页，共1页 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 整理，得mn=4m+n-20. 设直线AB的表达式为y=k2x+b2k20, 特点Amm-2m-4点ga-+2n-4代入 k,m+b,=-子m+2m-4 k2n+b2=-1n 1n2+2n-4, 4 解 k,=-mn2, 4 b2 4mn-4, 直线AB的表达式为y-子mm+2k+号m4m*n4-x+a3 当x=4时，y=-1等式恒成立， :.定点坐标为4，-1(13分) 第15页，共1页2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][CI[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11. 12 13 14. 15 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(10分) D E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) 甲款AI满意度评分条形统计图 乙款AI满意度评分扇形统计图 人数y > 65 20% 0 A 43 20% 2 B c m% OD C B A分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) B A D 0 22.(10分) 45 3.4m 30 5m 图0 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) ◆v(m/s) ￥ 3 2 - 77777777777777777 012 3■ 4 5 t(s 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) ® E A D A QD N N B M B M C M (图1) (图2) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) M M 1 B W 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.的倒数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，的倒数是，故选B。 2.为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”年春假期间南通市共接待游客人次，实现旅游总收入亿元数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.下列几何体中，主视图为三角形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】分别判断每个选项中的主视图是否满足条件即可； 【详解】、主视图为，是三角形，故此选项正确； B、主视图为，是矩形，故此选项错误； C、主视图为，是圆，故此选项错误； D、主视图为，是矩形，故此选项错误； 故选A． 【点睛】此题考查简单空间图形的三视图，解题关键在于掌握图形的判别． 4.把函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得到的图象一定经过点(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得到的图象的解析式为， 当时，，故A错误，C正确； 当时，，故B，D错误． 故选：． 根据一次函数图象平移的法则解答即可． 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 5.如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，过点作，  ，  两直线平行，同位角相等，  ，  ，  故选：． 由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 6.如图，菱形的对角线，，交点为，点在上，且，过点作交于点则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：菱形的对角线、交于点， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， ． 故选：． 如图，菱形的对角线、交于点，点在边上，且，过点作交于点若，，则的面积为 此题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是熟练掌握菱形的性质． 7.如图，是的直径，，是上两点，连接，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接，如图所示，  是的直径，  ，  ，  ，  ，  ，  故选：． 连接，则，求出的度数，则由同弧所对的圆周角相等可得的度数． 此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 8.如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：连接，过点作交于点，  ，，，  ，，  ，  ，  故选：． 【思路】连接，过点作交于点，根据，，，得出，，解直角三角形求出，即可求解． 该题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 9. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点连结若，则的长为    ． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查反比例函数的图象与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 分别过点、作轴的垂线，垂足为、，由可得，，从而得到点的坐标，进一步算出点的坐标，最后使用勾股定理计算出的长． 【详解】解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， 轴，轴， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， 由勾股定理可得，． 故选：． 10.已知二次函数，当时，若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D  【解析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，当时，得出二次函数的开口向下，且对称轴对称轴，即越靠近对称轴的所对应的函数值越大，又因为，是抛物线上两点，且，列式，解出或，即可作答． 【详解】解：二次函数，当时，． 二次函数的开口向下，且对称轴， 则越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ，是抛物线上两点，且， ， 整理得， ， 则或， 解得或， 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是        ． 【答案】  【解析】解：由被开方数是非负数， ， ， 的取值范围是：， 故答案为：． 【思路】二次根式有意义，求解不等式得到的取值范围即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负数是解题的关键． 12.如图，，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上的两点，圆心角，则的长为          结果保留 【答案】  【解析】利用弧长公式直接计算即可． 【详解】半径，圆心角， ， 故答案为：． 本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键． 13.已知，则代数式的值为          ． 【答案】  【解析】解：， ． 故答案为：． 14.如图，周日下午八年级某班小明想到站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为 假设公交车的速度是小明速度的倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到站之间的距离最大为           【答案】  【解析】解：设小明到 站之间的距离为 ，小明的速度为 ，则公交车到 站之间的距离为 ，公交车的速度为 ， 根据题意得： ， 即 ， 解得： ，  小明到 站之间的距离最大为 ． 故答案为： ． 【思路】设小明到 站之间的距离为 ，小明的速度为 ，则公交车到 站之间的距离为 ，公交车的速度为 ，利用时间 路程 速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 15.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点落在点的位置，若，则点的横坐标是      ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识．首先过点作于，由四边形是矩形与折叠的性质，易证得是等腰三角形，然后在中，利用勾股定理求得，的长，然后由平行线分线段成比例定理求得的长，即可得点的横坐标． 【解答】 解：过点作于，交轴于点， 四边形是矩形， ， ， 根据题意得：，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ，， ，， ， ， ， ， 点的横坐标为：． 故答案为． 16.如图，在中，，点在线段上不与，重合，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，则与的数量关系为          ；若，为常数，则          用含的代数式表示． 【答案】   【解析】解：， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； 作，交于点，交于点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：不合题意舍去， 故． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.本小题10分解方程：； 解不等式组；． 【答案】，    【解析】解：，  ，  ，  ，  ，  ，；  ，  由得，，  由得，，  故不等式组的解为：， 先移项，再利用配方法求解即可；  分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，解一元二次方程组，熟知以上运算法则是解题的关键． 18.本小题10分 如图，、分别在正方形对角线、边上，给出以下信息：；；从上面三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题． 你选择的条件是______，结论是______填序号； 证明你构造的命题． 【答案】  已知、分别在正方形对角线、边上，，，求证：， 证明：， ， ，， ≌， ， 、分别在正方形对角线、边上， ， ， ，   【解析】解：条件：， 结论：． 已知、分别在正方形对角线、边上，，，求证：， 证明：， ， ，， ≌， ， 、分别在正方形对角线、边上， ， ， ， ． 条件：，结论：； 根据证明≌，则，再根据正方形的性质可得，即可得证． 本题主要考查命题与定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，理解题意是解题的关键． 19.本小题10分 深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游图，彰显了大国科技实力如图，一圆环被条线段分成个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内． 火星探测模型放在区域的概率是        ； 求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率请用树状图或列表法表示． 【答案】解：：． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的结果有：，，，，，，，，共种， 火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率为． 【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中火星探测模型放在区域的结果有种， 火星探测模型放在区域的概率为． 故答案为：． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的结果有：，，，，，，，，共种， 火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中火星探测模型放在区域的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20.本小题10分 为了了解赋能新课堂的效果，某区对甲、乙两款的使用满意度进行了评分测试，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析评分分数用表示，且为整数，分为四个等级：非常满意，；满意；良好；不满意，下面给出了部分信息． 甲款评分数据中，组包含的所有数据为：，，，，，，； 乙款评分数据中，组包含的所有数据为：，，，，，，，，． 甲、乙两款满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 乙款 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中______ ，______ ． 根据以上数据分析，你认为哪款产品更受用户喜爱？请说明理由写出一条理由即可； 在此次测试中，有名教师对甲款进行评分，名教师对乙款进行评分，请通过计算，估计其中对所调查的人非常满意的用户人数共有多少？ 【答案】   甲款，理由如下：   因为两款的评分数据的平均数相同都是，但甲款评分数据的中位数为比乙款的中位数高，所以甲款更受用户喜爱答案不唯一  人  【解析】解：甲款评分数据排在第和第位的数分别是和，  分．  乙款和组人数均为：，组人数为：，  乙款评分数据出现次数最多的是，出现了次，  ，  故答案为：，；  甲款更受用户喜爱，理由如下：  因为两款的评分数据的平均数相同都是，但甲款评分数据的中位数为比乙款的中位数高，所以甲款更受用户喜爱答案不唯一；  有名教师对甲款进行评分，名教师对乙款进行评分，  人  答：估计其中对所调查的人非常满意的用户人数共有人． 根据中位数、众数的定义作答即可；  从中位数、众数任选一个特征量分析即可；  根据用样本估计总体的思想求解即可． 本题考查的是众数，中位数，用样本估计总体，熟记众数及中位数的定义是解题的关键． 21.本小题10分 如图，内接于，，连接，过点作的切线，与的延长线交于点． 求证：； 若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】连接， 是的切线， ， ，， ， ，     【解析】证明：连接， 是的切线， ， ，， ， ， ； 解：过点作交于点， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， ． ，， 四边形是正方形， ， 若，，则． 连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题； 过点作交于点，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题． 本题考查扇形面积的计算，三角形的外接圆与外心，切线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22.本小题10分 为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能机翼如图所示的简化设计图横截面如图中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点在上，点在上，米，米线段与水平线成角，线段与水平线成角请求出图中、和这三段支撑构件的长度结果取整数． 参考数据：，． 【答案】约长，约长，约长．  【解析】解：作于点，于点，可得矩形，矩形，矩形，  ，，，  ，  ，，  ，  ，，    答：约长，约长，约长． 作于点，于点，利用的三角函数值与的长可得和的长；利用的三角函数值及的长可得及的长，整理可得的长度． 本题考查解直角三角形的应用．构造和所在的直角三角形解决线段长的问题是解决本题的关键． 23.本小题12分 【项目化学习】 【项目主题】 探究小球从斜面顶端由静止滚下，继而在水平面上滚动直至停止的过程中，速度随时间的变化情况． 【驱动任务】 探究在整个实验过程中小球滚动的速度与时间之间的关系． 【研究步骤】 搭建斜面与水平面的实验装置如图，让小球从斜面顶端由静止滚下； 测量小球在实验装置上滚动的时间、速度及距离水平面的高度，记录部分数据如下表： 小球滚动的时间 小球滚动的速度 小球到水平面的高度 数据分析，形成结论． 【模型建立】 如图，在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象，并根据图象说明速度随时间的变化情况； 【问题解决】 求小球在水平面上滚动的过程中，速度与时间之间的函数表达式； 请直接写出小球滚动时到水平面的高度的估计值． 【答案】 ，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小    合理即可  【解析】解：在平面直角坐标系中，补全小球在整个实验过程中滚动的速度与时间之间关系的图象， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 由题意，当小球在水平面滚动的过程中，设， 由题意可得： ， 解得， ， 小球在水平面滚动的过程中，速度与时间的函数表达式为； 由表格可得，小球滚动时到水平面的高度约为． 根据表格画图即可； 根据题意，当小球在水平面滚动的过程中，设，将，代入即可求解； 观察表格即可得解． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 24.本小题13分 在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，在正方形纸片 中，点 是边 上一动点不与端点重合折叠正方形纸片，使点 与点 重合，折痕分别交边 、 于点、， 的对应边为 ， 与 交于点 探究 的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 先从简单的、特殊的情况开始研究：若 ，点 恰好是边 的中点，则           ； 【一般化探究】 对正方形的边长一般化处理，并改变点 的位置：如图，若 ，求 的周长用含 的代数式表示； 【拓展性延伸】 通过的解决，可猜想出 的周长与边 的等量关系．但由于边长的一般化及点 位置的不确定，会导致 、 、 的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想 的周长与边 的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)5  (2)解：∵正方形纸片 ， ， ， ∴ ， ， ， 设 ，则 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 根据折叠的性质，得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 故 的周长为： ， 故 的周长为 ；   (3)解：∵正方形纸片 ， ， ， ∴ ， ， ， 设 ，则 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 根据折叠的性质，得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 故 的周长为： ， 故 的周长为 ．   【解析】  根据题意，得 ， ， ，设 ，则 ，根据勾股定理得到 ，解方程即可． 解：正方形纸片 ， ，点 恰好是边 的中点，  ， ， ， 设 ，则 ，  ， 解得 ，  ， 故答案为：；  设 ，则 ，得到 ，解得 ，则 ，证明 ，求得 ， ，解答即可；  设 ， ，则 ， ， ，设 ，则 ，则 ，解得 ，则 ，仿照第二问的解题思路解答即可． 25.本小题13分 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在轴上，且对称轴为直线． 求抛物线的函数表达式； 过对称轴上的点引直线，对称轴除外，两直线分别与抛物线有唯一交点，，求的度数； 若的条件中的点在直线上运动，试探究直线是否过某个定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)解：抛物线的对称轴为直线， ， ． 由题意知，抛物线的顶点坐标为， 将，点代入抛物线的表达式中， 得， ． 抛物线的函数表达式为；   (2)解：如下图，设直线与轴交于点，直线与轴交于点， 设过点的直线表达式为， 令与相等， 即． 得． 两直线分别与抛物线有唯一交点A，B， 令上述方程的判别式为0， 两直线分别与抛物线有唯一交点，可转化为该一元二次方程有两个相等的实数根， 即， 解得， ． 当时，则的解析式为， 方程，即， 解得：，则， 当时，的解析式为， 方程，即， 解得：，则， 如图，连接， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， 即；   (3)解：直线过定点， ∵点在直线上运动时，设点， 直线的表达式为， 令与相等， 得， 整理，得， 由，得， 即， ， 直线的表达式为，整理，得， 把点代入上式，得． 同理，设点，得． ， 整理，得． 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得 解得 直线的表达式为， 当时，，等式恒成立， 定点坐标为．   【解析】  根据对称轴为直线，得出，将，点代入抛物线的表达式，由待定系数法即可求解；   设直线与轴交于点，直线与轴交于点，设过点的直线表达式为，根据两直线分别与抛物线有唯一交点，，得出，进而求得，，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且，即可求解；   设点，得出直线的表达式为，将抛物线与直线的表达式联立，结合一元二次方程根的判别式求解，得出直线的表达式为，把点代入，由点的纵坐标为，求出含参的横坐标，进而根据由点的横坐标相等求解，利用待定系数法求得，，再结合的值进行化简，得出，得出当时，，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $