第21章 四边形 学业质量评价-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

@●● ●●● 八年级数学·下册 ●●● ●●● ●●0 ●●0 第二十一章学业质量评价 ●●● ●●● ●●● ●●● 时间：120分钟 满分：120分 ●●● ●●● ●●● ●●0 题号 二 三 合计 ●●0 ●●● ●● 得分 ●●0 ●●0 ●●0 ●●● ●●0 一、选择题（每小题3分，共30分） ●● 1.正方形的内角和是 A.1809 B.270 C.360 D.540° 2.从多边形的一个顶点出发，可以画6条对角线，则这个多边形的边 数是 () A.6 B.7 C.8 D.9 尔 3.在口ABCD中，∠B=4∠A,则∠C的度数是 A.18° B.36 C.72 D.108° 4.下列说法中，正确的是 () A.相等的角一定是对顶角 B.四个角都相等的四边形一定是正方形 C.平行四边形的对角线互相平分 D.矩形的对角线一定垂直 5.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 1409 40y 40°40 6.如图，已知阴影部分是一个正方形，AB=4,∠ACB=90°，∠B= 45°，则此正方形的面积为 () A.16 B.8 C.4 D.2 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB边的 中点，且OE=a,则菱形ABCD的周长为 () A.16a B.12a C.8a D.4a 8.如图，P为口ABCD内任意一点，△PAB,△PBC,△PCD的面积分 别为3,4,5，则△PAD的面积为 () A.3 B.4 C.5 D.6 第二十一章第1页（共6页） 9.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,CE垂直平分DO, AB=1,则BE= () A 4 B.3 D.2 3 第9题图 第10题图 10.如图，菱形ABCD的边长为4，过点A,C作对角线AC的垂线，分 别交CB,AD的延长线于点E,F,AE=3,则四边形AECF的周长 为 () A.22 B.18 C.14 D.11 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.正六边形每个外角的度数是 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，CD是斜边AB的中 线，则∠BCD= 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，在□ABCD中，E,F分别是AB,DC上的点，请添加一个条 件，使得四边形EBFD为平行四边形，则添加的条件是 14.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点O的坐标是 (0,0),点B的坐标是(0,1)，且BC=√5，则点A的坐标是 15.如图，在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,D为斜边AB B 上一动点，DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则 线段EF的最小值为 三、解答题（共75分） 16.(6分)在学习完“平行四边形的判定”这一章节的知 识之后，老师在黑板上出了一道证明题，并讲解了证明过程： 如图，点E,F是□ABCD对角线BD上的两点，且BF=DE, 求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,① ∴.∠ABF=∠CDE. BF=DE,.② ∴.AF=CE,∠AFB=∠CED..③ .四边形AECF是平行四边形， 第二十一章第2页（共6页） (1)请补全老师板书的过程； (2)老师讲后问，这道题还有其他证明方法吗？小聪同学思考：老 师是从“边”的角度证明的，换个角度，应该也可以从“对角线” 这个角度证明，请你根据小聪的思路写出证明过程. 17.(6分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,BE ⊥AC于点E,CF⊥BD于点F.求证：BE=CF. 18.(6分)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，BE= 2DE,延长DE到点F,使得EF=2DE,连接CF.判断四边形 BCFE的形状，并证明. 19.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接 AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°. (1)求证：四边形ACFD是矩形； (2)若CD=13,CF=5,求矩形ACFD的面积. 第二十一章第3页（共6页） 5 20.(8分)如图，在□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分别为E,F, 且BE=DF. (1)求证：□ABCD是菱形； (2)若AB=5,AC=6,求☐ABCD的面积. 21.(8分)如图，正方形ABCD中，点P为对角线AC上的动点（不与 A,C重合)，PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接PD,EF (1)求证：EF=PD; D (2)若PD=13,PF=5,求PE的长. 6 第二十一章第4页（共6页） 22.(10分)如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，现有较大的直角 三角板，一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动，另一 边交射线DC于点Q. (1)如图1，当点Q在边DC上时，探究PB与PQ所满足的数量关 系.小明同学探究此问题的方法如下： 过点P作PE⊥DC于点E,PF⊥BC于点F, 根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE=PF, 再证明△PEQ≌△PFB,可得出结论 他的结论应是 (2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ 满足的数量关系，并证明你的猜想. 图1 图2 23.(11分)如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线. (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当△ABC满足怎样的条件时，四边形ADFE为正方形？请说 明理由. 0 第二十一章第5页（共6页） 24.(12分)如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm,折叠 纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ,过点E作EF∥AB 交PQ于点F,连接BF (1)求证：四边形BFEP为菱形； (2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P,Q也随之移动 ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P,Q分别在边BA,BC上移动，求点E在边AD上移 动的最大距离 C(O 图1 图2 第二十一章第6页（共6页）√2.∴.a-2a+1=2..a2-2a=1..3a2-6a=3..3a2-6a-1=2.24.解：(1)> >=(2)a十b≥2ab.理由如下：.a≥0，b≥0，.(a-√b)2≥0.∴.a十b 2√ab≥0.∴.a十b≥2√ab.(3)设垂直于墙的边长为am,平行于墙的边长为bm, 则篱笆的长度为(2a十b)m,长方形的面积可表示为abm,由题意，得ab=200,∴.2ab =400,∴.2a十b≥2√/2ab=2×√/400=40.∴.篱笆的长度至少为40m. 第二十章学业质量评价 1.B2.D3.D4.A5.C6.C7.C8.C9.D10.B11.1212.90 13.914.2m15.√516.解：.CD⊥AB,.∴.∠CDB=∠CDA=90°.在Rt△BCD 中，DC=√BC-BD=√/52-3=4.在Rt△ACD中，AD=√/AC-CD= √8-4=43，.AB=AD+DB=43+3.17.解：由题可知OA=6,OB=8, ∠AOB=90°，AC=AB..AB=√OA+OB=10..AC=10.∴.OC=AC-OA=4.. 点C的坐标为(4,0).18.解：能利用这两个图形得到勾股定理，理由如下：图1中的正 方形的面积=，图2中图形的面积=4×分b+(6一a),∴=Xab叶(6-a只.整 理得a2十b=c2.19.解：如图（答案不唯一）. 图1 20.解：(1)|a-√/48+(b-√12)2=0，.∴.a-/48=0,b-12=0..a=4√3，b =2√3.(2)分两种情况讨论：①当a,b为直角三角形的两条直角边时，∴.c= √a2+b2=√(4√3)2+(2√3)2=2√15；②当a为直角三角形的斜边时，.∴.c= √a-=√/(43)2-(23)2=6.综上所述，c的值为2√15或6.21.解：(1) ∠B=90°，∴.△ABC为直角三角形.又：AB=2,BC=4,∴.根据勾股定理，得AC= /AB2+BC=√22+42=2√5；(2).CD=W80,AD=10,∴.AD=102=100 CD2+AC=(80)2+(2√5)2=80+20=100..CD2+AC=AD2..△ACD为直 角三角形，且∠ACD=90,则S是m=S6c十S6m=7AB·BC+2AC·CD- 2×2X4+×25×80=4+20=24.故四边形ABCD的面积为24.22.解： (1)作PC⊥AB于C,则∠PCA=∠PCB=90°，由题意得：PA=120海里，∠A=30°， ∠BPC=45°.PC=2PA=60海里，△BCP是等腰直角三角形，.BC=PC=60 海里，PB=√PC十BC=60√2海里.答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之 间的距离为60，巨海里。(2)教助船A所用的时同为0=3（小时），教助船B所用 的时间为602-2V2(小时)，：3>22，“救助船B先到达.23.解：(1)在R 30 △ABC中，：∠ACB=90.∴AB=VAC+BC=5.:Sc=3×3X4=2X5X CD.CD-号，（2在R△ABD巾，AD=-=16-,在R△ADC中，AD =52-(6-x)2=-11十12x-x2,.16-x2=-11+12x-x2.解得x= 4·24.解：(1)当1=2时，BQ=2×2=4(cm),BP=AB-AP=8-2 9 ×1=6(cm).:∠B=90°，.PQ=√BQ+BP=√+6=2√13 (cm;(2)根据题意，得BQ=BP,即21=8-1，解得1=冬∴出发时 图1 间为氵s时，△PQB是等腰三角形.(3)分三种情况：①当CQ=BQ 时，如图1所示：则∠C=∠CBQ.:∠ABC=90°，∴.∠CBQ十∠ABQ= 90.“∠A+∠C=90∠A=∠ABQ.∴BQ=AQ=CQ=2AC 图2 ∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,∴.AC=√82+62=10(cm).∴.CQ =AQ=号AC=5cm.:BC+CQ=6+5=11(cm).t=11÷2=5.5(s):②当CQ= BC时，如图2所示：则BC+CQ=6+6=12(cm)..t=12÷2=6(s); ③当BC=BQ时，如图3所示：过点B作BE⊥AC于点E,则BE= AB,BC_6X8=4.8(cm).CE=√BC-BE=3.6cm.六CQ= AC 10 2CE=7.2cm..BC+CQ=13.2cm..t=13.2÷2=6.6(s).综上所B 图3 述，当运动时间为5.5s或6s或6.6s时，△BCQ为等腰三角形. 第二十一章学业质量评价 1.C2.D3.B4.C5.D6.B7.C8.B9.A10.A11.60°12.36° 23 13.DE/FB答案不唯-)14.(2.0)15.号 16.解：(1)AB∥CD△AFB≌ △CED(SAS)AF∥CE(2)连接AC交BD于点O,,四边形ABCD为平行四边 形，.∴.OA=OC.OB=OD.BF=DE,..BF-OB=DE-OD..'.OF=OE.又OA= OC,∴.四边形AECF为平行四边形.17.证明：.四边形ABCD为矩形，.OB= 2BD,OC=AC,AC=BD..OB=OC.:BE⊥AC.CF⊥BD,∴∠BEO=∠CFO =90°.又∠BOE=∠COF,∴.△BOE≌△COF..∴.BE=CF.18.解：四边形BCFE 是菱形.理由如下：D,E分别为AB,AC的中点，.DE为△ABC的中位线，∴.DE ∥BC,DE=2BC.:EF=2DE,EF=BC.·四边形BCPE为平行四边形.EP =2DE,BE=2DE,∴.EF=BE.∴.平行四边形BCFE为菱形.19.(1)证明：易证 △ADE≌△FCE(AAS).∴.AE=FE.又CE=DE,.四边形ACFD是平行四边形 :∠ACF=90°，∴平行四边形ACFD是矩形；(2)解：：四边形ACFD是矩形， ∠CFD=90°.CD=13,CF=5,.DF=VCD-CF=12..SE形An=CF·DF= 12X5=60.20.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.∠ABE=∠ADF.: AE⊥BC,AF⊥CD,.∠AEB=∠AFD=90°.又：BE=DF,.△AEB≌△AFD (ASA).∴.AB=AD.∴.平行四边形ABCD是菱形.(2)解：连接BD,交AC于点O. 四边形ABCD是菱形，AC=6.AC⊥BD,A0=OC=2AC=3,B0=D0.B0 -VAB-AO=4.∴BD=2B0=8.∴S平行随D=?AC·BD=24,21.(1)证 明：连接PB.,四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD.∠BAP=∠DAP.又AP= AP,∴.△ABP≌△ADP,.PD=PB..PE⊥AB,PF⊥BC,.∠PEB=∠PFB= ∠ABC=90°..四边形BEPF是矩形..PB=EF..EF=PD:(2)解：由(1)知： EF=PD=13,在Rt△PEF中，PE=√EF-PF=12.22.(1)PB=PQ(2)解： PB=PQ.证明如下：过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.∴∠PEC=∠PFC =∠ECF=90°..四边形PECF为矩形..P,C为正方形对角线AC上的点，.CA 平分∠DCB.CP平分∠ECF.∴.PF=PE.∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF十 ∠BPE=90°，∴.∠BPE=∠QPF.∴.△PQF≌△PBE(ASA)..PB=PQ. 23.(1)证明：点D是AB的中点，AD=7AB.:点E是AC的中点，点F是BC 的中点∴EF是△ABC的中位线.EF∥AB,EF=?AB.∴EF LAD.四边形 ADFE是平行四边形...AF与DE互相平分；(2)解：当△ABC满足∠BAC=90° 且AB=AC时，四边形ADFE为正方形.理由：，'∠BAC=90°，由(1)知四边形AD FE是平行四边形，.□ADFE是矩形.又，点D,E分别是AB,AC的中点，.AD= 2AB,AE=AC.又“AB=AC,·AD=AE.又矩形ADFE,矩形ADFE是正方 形.24.(1)证明：由折叠纸片的性质，得PB=PE,BF=EF,∠BPF ∠EPF.又，'EF∥AB,∴.∠BPF=∠EFP..∠EPF=∠EFP..EP= EF.BP=BF=EF=EP..四边形BFEP为菱形.(2)解：①四边形 ABCD是矩形，.∴.BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°..点 B与点E关于PQ对称，.CE=BC=5cm.在Rt△CDE中，DE √CE-CD=4(cm).∴.AE=AD-DE=5-4=1(cm).在Rt△APE中， AE=1 cm,AP=3-PB=3-EP,..EP2=12+(3-EP)2...EP=5 3 cm. “菱形BFEP的边长为号cm.②当点Q与点C重合时， A(P 如图2所示，点E离点A最近，由①知此时AE=1cm, 当点P与点A重合时，如图3所示，点E离点A最远，此 时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3(cm)..∴.点E在 图3 边AD上移动的最大距离为2cm. 阶段性学业质量评价（一） 1.A2.A3.D4.D5.B6.C7.C8.A9.D10.D11.3(答案不唯一) 12.(5,0)13.2π14.715.√216.(1)解：原式=6√3十√3-4√3=3w3;(2) 解：原式=2-6十3-1=√3-5.17.解：(1)：a=√3-2，b=√3+2，∴a+b=(W3 -2)2+(√3+2)2=14：(2)原式=(3-2)×(3+2)×(3-2+3+2)=(3-4) ×2√3=一2√3.18.解：小明的解答是错误的.理由如下：设a= 5,6=2c=8 因 为a<c<b,且a2+(=(号)+(8)P=100=4=2=6,∴由a,bc组成的三角形是 25 直角三角形.19.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AD∥BC, ∠B=∠D.∴.∠1=∠BCE.,AF∥CE,.∠AFB=∠ECB=∠1.在△ABF和 「∠B=∠D, △CDE中，∠AFB=∠1，.△ABF≌△CDE(AAS).(2)50°20.解：小明的说法 AB-CD, 24