21.3.3 正方形-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

21.3.3 第1课时 1 知识储备 1.对于一个平行四边形，如果它不仅有一组 相等，而且有一个角是 ,那么它就 是正方形 2.正方形的性质：(1)正方形的四个角都是 ;(2)四条边都 ；(3)对角线 ,并且每一条对角线平分 01基础练 心必备知识梳理口 知识点 正方形的性质 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是() A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且平分 2.如图，正方形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,OA=4, 则此正方形的面积为 A.4V2 B.16 C.32 D.64 3.【教材P86复习题T1(4)变式】如图，在正方 形ABCD的外侧作等边△AED,那么∠BEC 的度数为 () A.10 B.15° C.30° D.45° D 第3题图 第4题图 4.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上 的一点，PE⊥AD于点E,PE=4,则点P到 直线AB的距离为， 61八年级数学·下册 正方形 三方形的性质 5.如图，点E在正方形ABCD A 的边CD上，连接AE,BE.若 △ABE的面积为8，CE=3, 则AB的长为 ,BE的长 为 6.【教材P77练习T3变式】如图，在正方形AB CD中，点E,F分别在BC,CD上，且BE=CF. (1)求证：△ABE≌△BCF; (2)若AE与BF相交于点O,求∠AOB的度数， 02综合练 金关健能力提升一 7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,E,F是对角线AC上的两点，且 AE=CF,连接DE,DF,BE,BF.若AB= 4√2，AE=2,求四边形BEDF的周长. 第2课时 知识储备 +++++++ 1.有一个角是 的菱形是正方形 2.有一组邻边 的矩形是正方形 3.对角线 的菱形是正方形 4.对角线 的矩形是正方形. 01基础练 必备知识梳理 知识点 正方形的判定 1.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°， 如果添加一个条件，即可推出该四边形是正 方形，那么这个条件可以是 () A.∠D=90 B.AB=CD C.AD-=BC D.BC=CD 2.下列说法不正确的是 ( A.有一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 3.【新中考·条件开放】已知□ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加 一个条件： 使 得□ABCD为正方形 4.如图，用一张矩形纸片ABCD折出一个正方 形，只需把一个角沿折痕AE翻折上去，使 AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF 就是一个正方形，判断的依据是 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE∥ AC,DF∥AB.如果∠BAC=90°，那么四边形 AEDF是 形 正方形的判定 6.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,过点C作CE∥BD.过点D作DE∥ AC,CE,DE相交于点E.求证：四边形 CODE是正方形. 7.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,CE 平分∠BCD,BF∥CE,CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于 点O,点E,F在对角线BD上，且BE=DF, OE=OA.求证：四边形AECF是正方形 D 助学助教优质高效62 02综合练 膏关健能力捉升一 9.从下列四个条件：①∠ABC=90°；②AB= BC;③AC=BD;④AC⊥BD中，选择两个作 为补充条件，使口ABCD成为正方形，下列四 种情况，你认为错误的是 () A.①②B.①③ C.②③ D.③④ 10.如图，在△ABC中，∠ACB =90°，BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交AB于 点E,且BE=BF,添加一个 条件，仍不能证明四边形BECF为正方形 的是 () A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC-BF 11.【教材P77例6变式】如图， 正方形ABCD的面积为4， E,F,G,H分别为边AB, BC,CD,AD的中点，则四边 形EFGH的面积为 12.如图，在菱形ABCD中，E,O,F分别为 AB,AC,AD的中点，连接CE,CF,OE, OF. (1)求证：△BCE≌△DCF; (2)当AB与BC满足什么关系时，四边形 AEOF是正方形？请说明理由 63八年级数学·下册 03素养练 手李科老杀路方一 13.【教材P88复习题T15变式】如图，四边形 ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动 点，连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于 点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接 CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)猜想CE与CG之间的位置关系，并说明 理由； (3)若AB=√2，求CE十CG的值.∠DEO=∠CEF,∴.△ODE≌△FCE;(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下： △ODE≌△FCE,.OE=FE.又CE=DE,∴.四边形ODFC为平行四边形.又四边形 ABCD为菱形，.AC⊥BD,即∠DOC=90°..平行四边形ODFC为矩形.13.证 明：(1)，四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D.又AEBC于点E,AF⊥ CD于点F,.∠AEB=∠AFD=90°.∴.△ABE≌△ADF..AE=AF;(2).四边 形ABCD是菱形，..AD∥BC..∴.∠BAD=180°-∠B=120°.又∠AEB=90°，∠B= 60°，∴.∠BAE=30°.由(1)知△ABE≌△ADF,.∠BAE=∠DAF=30°.∴.∠EAF =120°-30°-30°=60°.∴.△AEF是等边三角形.∴.EF=AE=AF=4.过点A作 AH⊥EF于H,则FH= 2EF=2,∠AHF=90.AH=√4-2=2V3.∴SAs EF·AH=号×4X23=4V5.14.5 .1 第2课时菱形的判定 知识储备 1.相等2.垂直3.相等 基础练综合练素养练 1.A2.证明：DE∥AC,DF∥AB,.四边形AEDF为平行四边形，∠FAD= ∠EDA..'AD是∠BAC的平分线，∴.∠EAD=∠FAD...∠EDA=∠EAD.∴.AE =ED..平行四边形AEDF是菱形.3.C4.AD∥BC(答案不唯一)5.证明： 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..,∠EAC=∠ACB,∠AEF=∠EFC.又 O是AC的中点，.OA=OC..△AOE≌△COF..AE=CF.又AE∥CF,∴.四边形 AECF是平行四边形.又AC⊥EF,∴.□AECF是菱形.6.菱形四条边相等的四 边形是菱形7.证明：BD平分∠ABC,.∴.∠ABD=∠CBD.又∠A=∠C,BD= BD,∴.△ABD≌△CBD.∴.AB=BC,AD=CD.又AB=AD,∴.AB=BC=CD=AD ∴.四边形ABCD是菱形.8.①③⑤9.C10.(1)证明：.DE∥BC,EC∥AB,∴. 四边形DBCE是平行四边形..EC=DB.在Rt△ABC中，CD为边AB上的中线，∴. AD=DB=CD..EC=AD..四边形ADCE是平行四边形.又AD=CD,.平行四 边形ADCE是菱形.(2)18√311.(1)证明：，AE平分∠CAB,EF⊥AB,∠ECA =90°，∴.EF=EC,∠1=∠2，∠1十∠CEA=90°，∠2+∠AEF=90°.∴·∠CEA ∠AEF.又CD⊥AB,EF⊥AB,..CD∥EF.∴.∠CGE=∠AEF.,.∠CGE=/CEA. .CE=CG..CG=CE=EF.又.EF∥CG,.四边形CGFE是平行四边形.又，CG =EC,∴.□CGFE是菱形；(2)在Rt△ABC中，BC=10-8=6.设CE=EF= x,则BE=6-x.CE=FE,AE=AE,.Rt△ACE≌Rt△AFE.∴.AC=AF=8.. BF=AB一AF=10-8=2.在Rt△BEF中，BE=EF+BF,∴.(6-x)=x2+2 解得x=弩“菱形的边长是 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 知识储备 1.邻边直角2.(1)直角(2)相等(3)相等且互相垂直平分一组对角 基础练综合练素养练 1.A2.C3.C4.45.456.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AB= BC,∠ABE=∠C=90°.又BE=CF,.△ABE≌△BCF;(2)解：已证△ABE≌ △BCF,∴.∠BAE=∠CBF.,四边形ABCD为正方形，∴.∠ABE=90°.∴.∠ABOH ∠CBF=90°..∠ABO+∠BAE=90°.∴.∠AOB=90°.7.解：，四边形ABCD是 正方形，.AD=AB=4√2，AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠DOE=90°..BD= /AB+AD=/(42)2+(42)2=8..AC=8.OD=OB=4..OA=OC=4. AE=CF=2,∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-2=2.又OB=OD,∴.四边形 BEDF是平行四边形.又EF⊥BD,∴.四边形BEDF为菱形，DE=√OD+OE= /4十2=2W5..∴.四边形BEDF的周长为4DE=85. 第2课时正方形的判定 知识储备 1.直角2.相等3.相等4.互相垂直 基础练综合练素养练 1.D2.D3.∠BAD=90°（答案不唯一）4.有一组邻边相等的矩形是正方形 5.正方6.证明：CE∥BD,DE∥AC,.四边形CODE是平行四边形.正方形 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠DOC=90°，OD=2BD,OC=2AC,AC =BD.,.□CODE是矩形，OD=OC.,.矩形CODE是正方形.7.证明：.BF∥CE CF∥BE,.四边形BECF是平行四边形.，四边形ABCD是矩形，.∠ABC ∠BCD=90°，·BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠EBC=2∠ABC=45°， ∠ECB=2∠BCD=45.∠EBC-∠ECB,∠BEC=90.EB=EC.又口BECF □BECF是菱形..∠BEC=90°，.菱形BECF是正方形.8.证明：菱形ABCD .OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.BE=DF,∴.OB-BE=OD-DF,即OE=OF.又 OA=OC,.四边形AECF是平行四边形.又AC⊥EF,.□AECF是菱形..OA OE,OA=2AC,OE=EF,∴AC=ER.菱形AECF是正方形.9.B10.D 11.212.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.∠B=∠D,AB=BC=DC=AD. E,F分别为AB.AD的中点BE=?AB,DF=号AD.BE=DF.△BCE≌ △DCF(SAS).(2)解：当ABBC时，四边形AEOF是正方形.理由如下：.E,O F分别为AB,AC,AD的中点，∴.易得AE=OE=OF=AF,OE∥BC.,∴.四边形AE OF是菱形.，AB⊥BC,OE∥BC,.OE⊥AB.,,∠AEO=90°.，∴.菱形AEOF是正方 形.13.(1)证明：作EM⊥BC于M,ENCD于N,则四边形EMCN是矩形， ∠MEN=90°.·点E是正方形ABCD对角线上的点，.EM=EN.四边形DEFG 是矩形，∴.∠DEF=90°.∴.∠DEN=∠MEF=90°一∠FEN.在△DEN和△FEM (∠DNE=∠FME=90°， 中，EN=EM, .△DEN≌△FEM(ASA).∴.EF=DE.四边形 ∠DEN=∠FEM, DEFG是矩形，∴.矩形DEFG是正方形；(2)解：CE⊥CG,理由如下：，四边形 DEFG和四边形ABCD都是正方形，∴.DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°， .∠CDG+∠CDE= ∠ADE+∠CDE=90°..∠CDG=∠ADE.在△ADE和 AD=CD. △CDG中，∠ADE=∠CDG,∴.△ADE≌△CDG(SAS)..∴.∠CAD=∠DCG=45° DE-DG ∴.∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°.∴.CE⊥CG;(3)解：由(2)知，△ADE ≌△CDG,.∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√2AB=√2XW2=2. 模型构建专题（三）与正方形有关的几种几何模型 1.解：BE=AF.理由如下：四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90°= ∠D.∴.∠BAG+∠EAG=90°..AF BE,,∴.∠BGA=90°=∠ABG+∠BAG.,. ∠ABG=∠EAG.∴.△ABE≌△DAF.∴.BE=AF.2.(1)证明：如图1中，，四边 形ABCD是正方形，.∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD..'BF⊥AE,∴.∠AMF 90°..∠AFB十∠DAE=∠AED十∠DAE=90°，，∠AFB=∠AED.又∠BAF= ∠ADE,AB=AD,∴.△ABF≌△DAE(AAS).∴.BF=AE;(2)结论：PQ=AE.理 由：如图2中，AE⊥BF,PQ⊥AE,∠ANP=∠AMF=90°..BF∥PQ.:四边 形ABCD是正方形，∴.AD∥BC..四边形BFPQ是平行四边形.，BF=PQ.BE =AE,∴.PQ=AE.(3)连接PE.:四边形ABCD是正方形，AB=AD=8.PD =3,∴.PA=AD-DP=8-3=5.,PQ⊥AE,AN=NE,.PA=PE=5..'∠D= 90°，∴.DE=√PE-PD=√52-32=4..AE=√AD+DE=√82+4=4V5, .PQ=AE=4W5.3.(1)= (2)44.95.(1)证明：.四边形ABCD是正 方形，.AB=DA,∠BAD=90°.：BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠DGA=90°.∴ ∠ABF+∠BAF=90°.，∠BAF+∠DAG=90°，∴.∠ABF=∠DAG.∴.△ABF≌ ADAG..BF=AG.AF=DG..AF=AG+GF=BF+GF,..DG=BF+GF;(2) 解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=10,∠ABC=90°，，点E是BC的中点， BE=2BC=5.在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=V10+F=5V5.:BFLAE, SaE=ZAE·BF=号AB·BE∴BF=AB:BE-10X5 AE 5√/5 =2√5.在Rt△ABF中， AF=/AB-BF=/10-(2√5)2=45.由(1)可知：DG=AF=45,AG=BF= 2√5，∴.GF=AF-AG=2√5.在Rt△DGF中，DF=DG+GF= √/(45)2+(25)2=10.6.证明：在AB上截取BM=BE,连接ME.,·正方形 ABCD,.AB=BC,∠BCD=∠B=90°.BM=BE,∴.∠BME=∠BEM=45°. CF平分∠DCG,·∠FCG=2∠DCG=45°.∴∠AME=∠ECF=135°.：∠AEF= ∠B=90°，∴.∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠MAE=90°.∴.∠CEF=∠MAE..AB BC,BM=BE,.∴.AM=EC..△AME≌△ECF(ASA).∴.AE=EF.7.证明：过点 F作FH⊥BC,交BC的延长线于点H.:∠AEF=90°，∴∠AEB十∠FEH=90°.： ∠ABE=90°，.∠AEB+∠BAE=90°..∠BAE=∠FEH.又AE=EF,∠ABE= ∠EHF,.△ABE≌△EHF.∴.BE=HF,AB=EH=BC..BC-EC=EH-EC,即 BE=CH.∴.HF=CH..∠HCF=∠HFC=45°，∠DCF=45°..CF是正方形AB CD外角的平分线.8.解：延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.,四边形ABCD 是正方形，，.AB=AD,∠ABE=∠D=∠BAD=90°..∴.∠ABG=∠ABE=∠D 90..△ABG≌△ADF(SAS)..AG=AF,∠BAG=∠DAF.:∠DAF+∠BAE= 90°-45°=45°，∴.∠BAG+∠BAE=∠EAG=45°.∴.∠EAG=∠EAF.又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF(SAS)..EF=EG=BE+BG=BE+DF.设正方形的边长为x, 则CE=x-3,DF=x-4.∴.EF=BE+DF=x-1.在Rt△CEF中，CE+CF= EF2,∴.（x一3)十4=(x-1).∴.x=6..正方形的边长为6. 回归教材专题（二）中点四边形问题 1.B2.证明：设EF交BD于M,EH交AC于N.,AC⊥BD,∴.∠AOB=∠AOD =90°.E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，.EF∥AC,EH∥BD,EF= 2AC=GH,EH=2BD=FG.又AC=BD,.EF=GH=EH=FG.∴四边形EF