21 模型构建专题(3) 与正方形有关的几种几何模型-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

OE,OA=2AC,OE=EF,∴AC=ER.菱形AECF是正方形.9.B10.D 11.212.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.∠B=∠D,AB=BC=DC=AD. E,F分别为AB.AD的中点BE=?AB,DF=号AD.BE=DF.△BCE≌ △DCF(SAS).(2)解：当ABBC时，四边形AEOF是正方形.理由如下：.E,O F分别为AB,AC,AD的中点，∴.易得AE=OE=OF=AF,OE∥BC.,∴.四边形AE OF是菱形.，AB⊥BC,OE∥BC,.OE⊥AB.,,∠AEO=90°.，∴.菱形AEOF是正方 形.13.(1)证明：作EM⊥BC于M,ENCD于N,则四边形EMCN是矩形， ∠MEN=90°.·点E是正方形ABCD对角线上的点，.EM=EN.四边形DEFG 是矩形，∴.∠DEF=90°.∴.∠DEN=∠MEF=90°一∠FEN.在△DEN和△FEM (∠DNE=∠FME=90°， 中，EN=EM, .△DEN≌△FEM(ASA).∴.EF=DE.四边形 ∠DEN=∠FEM, DEFG是矩形，∴.矩形DEFG是正方形；(2)解：CE⊥CG,理由如下：，四边形 DEFG和四边形ABCD都是正方形，∴.DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG=90°， .∠CDG+∠CDE= ∠ADE+∠CDE=90°..∠CDG=∠ADE.在△ADE和 AD=CD. △CDG中，∠ADE=∠CDG,∴.△ADE≌△CDG(SAS)..∴.∠CAD=∠DCG=45° DE-DG ∴.∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°.∴.CE⊥CG;(3)解：由(2)知，△ADE ≌△CDG,.∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√2AB=√2XW2=2. 模型构建专题（三）与正方形有关的几种几何模型 1.解：BE=AF.理由如下：四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90°= ∠D.∴.∠BAG+∠EAG=90°..AF BE,,∴.∠BGA=90°=∠ABG+∠BAG.,. ∠ABG=∠EAG.∴.△ABE≌△DAF.∴.BE=AF.2.(1)证明：如图1中，，四边 形ABCD是正方形，.∠BAD=∠ADE=90°，AB=AD..'BF⊥AE,∴.∠AMF 90°..∠AFB十∠DAE=∠AED十∠DAE=90°，，∠AFB=∠AED.又∠BAF= ∠ADE,AB=AD,∴.△ABF≌△DAE(AAS).∴.BF=AE;(2)结论：PQ=AE.理 由：如图2中，AE⊥BF,PQ⊥AE,∠ANP=∠AMF=90°..BF∥PQ.:四边 形ABCD是正方形，∴.AD∥BC..四边形BFPQ是平行四边形.，BF=PQ.BE =AE,∴.PQ=AE.(3)连接PE.:四边形ABCD是正方形，AB=AD=8.PD =3,∴.PA=AD-DP=8-3=5.,PQ⊥AE,AN=NE,.PA=PE=5..'∠D= 90°，∴.DE=√PE-PD=√52-32=4..AE=√AD+DE=√82+4=4V5, .PQ=AE=4W5.3.(1)= (2)44.95.(1)证明：.四边形ABCD是正 方形，.AB=DA,∠BAD=90°.：BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠DGA=90°.∴ ∠ABF+∠BAF=90°.，∠BAF+∠DAG=90°，∴.∠ABF=∠DAG.∴.△ABF≌ ADAG..BF=AG.AF=DG..AF=AG+GF=BF+GF,..DG=BF+GF;(2) 解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=10,∠ABC=90°，，点E是BC的中点， BE=2BC=5.在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=V10+F=5V5.:BFLAE, SaE=ZAE·BF=号AB·BE∴BF=AB:BE-10X5 AE 5√/5 =2√5.在Rt△ABF中， AF=/AB-BF=/10-(2√5)2=45.由(1)可知：DG=AF=45,AG=BF= 2√5，∴.GF=AF-AG=2√5.在Rt△DGF中，DF=DG+GF= √/(45)2+(25)2=10.6.证明：在AB上截取BM=BE,连接ME.,·正方形 ABCD,.AB=BC,∠BCD=∠B=90°.BM=BE,∴.∠BME=∠BEM=45°. CF平分∠DCG,·∠FCG=2∠DCG=45°.∴∠AME=∠ECF=135°.：∠AEF= ∠B=90°，∴.∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠MAE=90°.∴.∠CEF=∠MAE..AB BC,BM=BE,.∴.AM=EC..△AME≌△ECF(ASA).∴.AE=EF.7.证明：过点 F作FH⊥BC,交BC的延长线于点H.:∠AEF=90°，∴∠AEB十∠FEH=90°.： ∠ABE=90°，.∠AEB+∠BAE=90°..∠BAE=∠FEH.又AE=EF,∠ABE= ∠EHF,.△ABE≌△EHF.∴.BE=HF,AB=EH=BC..BC-EC=EH-EC,即 BE=CH.∴.HF=CH..∠HCF=∠HFC=45°，∠DCF=45°..CF是正方形AB CD外角的平分线.8.解：延长CB至点G,使BG=DF,连接AG.,四边形ABCD 是正方形，，.AB=AD,∠ABE=∠D=∠BAD=90°..∴.∠ABG=∠ABE=∠D 90..△ABG≌△ADF(SAS)..AG=AF,∠BAG=∠DAF.:∠DAF+∠BAE= 90°-45°=45°，∴.∠BAG+∠BAE=∠EAG=45°.∴.∠EAG=∠EAF.又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF(SAS)..EF=EG=BE+BG=BE+DF.设正方形的边长为x, 则CE=x-3,DF=x-4.∴.EF=BE+DF=x-1.在Rt△CEF中，CE+CF= EF2,∴.（x一3)十4=(x-1).∴.x=6..正方形的边长为6. 回归教材专题（二）中点四边形问题 1.B2.证明：设EF交BD于M,EH交AC于N.,AC⊥BD,∴.∠AOB=∠AOD =90°.E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，.EF∥AC,EH∥BD,EF= 2AC=GH,EH=2BD=FG.又AC=BD,.EF=GH=EH=FG.∴四边形EF模型构建专题（三）与正 模型一正方形中十字模型 【针对教材P77练习T3】 D 模 型 展 示 图1 图2 模 正方形ABCD中， 在图1的基础上，将 型 若AM⊥BN,则 AM,BN按图2进行平 解 AM-BN. 舒 移，则EF=HK, 结 在正方形的对边分别取点并连接，所得的两条 论 线段若垂直，则相等；反之亦成立 1.如图，ABCD是一个正方形花园，E,F是它的 两个门，要修建两条互相垂直的路BE和 AF,这两条路等长吗？为什么？ 2.在正方形ABCD中，E,F分别在CD,AD上 (均不与端点重合)，连接AE, (1)特例感知：如图1，连接BF,若BF⊥AE, 垂足为M,求证：BF=AE; (2)类比探究：如图2，过AD上一点P(不与 点F重合)作PQ⊥AE,垂足为N,交BC 于Q,判断线段PQ与AE的数量关系，并 证明你的结论； (3)拓展运用：在(2)的条件下，若N是AE的 中点，AB=8,PD=3,请直接写出PQ 的长。 方形有关的几种几何模型 图1 图2 模型二 正方形中过对角线交点的直角问题 【针对教材P88复习题T16】 模型展示 助学助教优质高数 64 正方形ABCD中，O为两条对角线的交 模 点，点E,F分别在边AB,BC上.若∠EOF为 型 直角，OE,OF分别与DA,AB的延长线交于点 解 G,H,则△AOE≌△BOF,△AOG2△BOH, 读 △OGH是等腰直角三角形，且Sg拉形OEBF 1 3.【课本再现】 (1)如图1，点O是正方形ABCD对角线的交 点，同时，点O是正方形A1BCO的一个 顶点，且这两个正方形的边长相等，两个 正方形重叠的部分为四边形EBFO,则 AE BF(填“>”“=”或“<”)， S四边形EBFO S四边形ABCD; 【拓展延伸】 (2)如图2，正方形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,点E是边AB上一点，连接 OE,过点O作OF⊥OE,交BC于点F,若 四边形OFBE的面积是4，则线段AB的 长为 图1 图2 模型三正方形中的三垂直问题 【针对教材P81习题T16】 4.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A,分 别过点B,D作BE⊥I于点E,DF⊥I于点 F,若BE=4,DF=5,则EF的长为 5.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上任意 一点，BF⊥AE于点F,DG⊥AE于点G (1)如图1，求证：BF十GF=DG; 65八年极数学·下册 (2)如图2，E为BC的中点时，连接DE,DF, 若AB=10,求DF的长度， D G 图1 图2 模型四正方形中的“角平分线十垂直”模型 【针对教材P88复习题T15】 D 模 E6 B 展 G 示 (AH=CE) (BH=BE) 图1 图2 模 在正方形ABCD中，点E在射线CB上， 型 EF交外角∠DCG的平分线（图1）或其所在直 解 线（图2）于点F,且AE⊥EF,则有AE=EF 读 6.如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上 任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形的 外角∠DCG的平分线CF于点F. 求证：AE=EF. 7.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中 点，∠AEF=90°，且AE=EF.求证：CF是正 方形ABCD外角的平分线. 模型五正方形中的半角模型 图1：A 模 型 G 展 图2： 示 图1中，正方形ABCD,∠EAF=45°，则： 模 ①EF=BE十DF;②FA平分∠DFE 型 图2中，正方形ABCD,点E在CB的延长线 解 上，点F在DC的延长线上，∠EAF=45°，则： 读 ①EF=DF-BE;②FA平分∠DFE. 8.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点 F在CD上，连接AE,AF,EF.若∠EAF= 45°，BE=3,CF=4,求正方形的边长. 45 助学助教优质高效66