21 大单元整合与素养提升-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

第二十一章大单元 01典例导航 【例1】如图，在六边形ABCDEF中，AF∥BE∥ CD,ED∥AB,∠A=110°，∠ABC=100°. (1)六边形ABCDEF内角和的度数是 (2)求∠C,∠D的度数； (3)若一只蚂蚁从AB的中点出发沿A一B一C 一D一E一F-A的方向运动到AB的中点 停止，蚂蚁一共转过了 度 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是 斜边AB的中点，F是CD的中点，过点C作 CE∥AB交BF延长线于点E. (1)求证：△CEF≌△DBF; (2)求证：四边形ADCE是菱形； (3)若BC=4,菱形ADCE的面积为6，求AB 的长； (4)当△ABC满足什么条件时四边形ADCE是 正方形？请说明理由. 71八年极教学·下册 整合与素养提升 02考点过关 考点一四边形及多边形 1.(2025·眉山)如图，直线1与 正五边形ABCDE的边AB, DE分别交于点M,N,则∠1+ ∠2的度数为 A.216°B.180°C.144 D.1209 2.(2025·凉山州)已知一个多边形的内角和是 它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶 点处可以引对角线 () A.6条B.7条C.8条 D.9条 考点二平行四边形的性质与判定 3.(2025·贵州改编)如图，在□ABCD中，AB =3,AD=5,∠ABC=60°，以点A为圆心， AB长为半径画弧，交BC于点E,则EC的长 为 () A.5 B.4 C.3 D.2 R 第3题图 第4题图 4.如图，a,b是两条平行线，则甲、乙两个平行四 边形的面积关系是 () A.无法确定 B.S甲>Sz C.S甲=Sz D.S甲<Sz 5.(2025·湖北)如图，平行四边形ABCD的对 角线交点在原点.若A(一1,2)，则点C的坐 标是 () A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 第5题图 第6题图 考点三三角形的中位线和直角三角形斜边上 的中线 6.(2025·扬州)如图，在△ABC中，点D,E分 别是边AB,BC的中点，点F在线段DE的 延长线上，且∠BFC=90°.若AC=4,BC= 8,则DF的长是 考点四矩形的性质与判定 7.(2025·内蒙古)如图，AB- D CD是一个矩形草坪，对角线 AC,BD相交于点O,H是 BC边的中点，连接OH,且OH=20m,AD =30m,则该草坪的面积为 () A.2400m B.1800m C.1200m D.600m2 8.(中考·泸州)已知四边形ABCD是平行四 边形，下列条件中，不能判定□ABCD为矩形 的是 () A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC BD 9.(2025·青海)如图，在△ABC中，点O,D分 别是边AB,BC的中点，过点A作AE∥BC 交DO的延长线于点E,连接AD,BE. (1)求证：四边形AEBD是平行四边形： (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形 状，并证明. 考点五菱形的性质与判定 10.(2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性 质是 () A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直D.对角相等 11.(2025·湖南)如图，在四边形ABCD中，对 角线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四 边形ABCD的周长为 () A.6 B.9 C.12 D.18 第11题图 第12题图 12.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°， DF⊥CD,垂足为D,若AB=6cm,则CF= cm. 13.(2025·凉山州)如图，四 边形ABCD是菱形，对角 B 线AC,BD相交于点O,E 是边CD的中点，过点E 作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC =12,BD=16,则FG的长为 助学助教优质高效72 考点六正方形的性质与判定 14.如图，在正方形ABCD中，∠DAF=25°， AF交对角线BD于点E,则∠BEC的度数 为 B 15.(2025·广安)如图，E,F是正方形ABCD 的对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF, 连接AE,AF,CE,CF (1)求证：△ADE≌△CBF; (2)若四边形AECF的周长为4√34，求EF 的长 73八年级数学·下册 03素养提升 16.综合与实践 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学 们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的 小伙伴们准备了如图1所示的正方形AB CD,连接对角线BD,在BD上取一点P,连 接PA,延长AD至点E,连接PE,交CD于 点F,且PA=PE 【观察发现】 (1)如图1，小明连接了PC,小伙伴们发现 了PE与PC之间存在一定的关系， 其数量关系为 ,位置关系为 图1 图2 【探索猜想】 (2)如图2，小明连接了CE,小伙伴们发现 了PA和CE之间存在一定的数量关系， 请帮助小明和小伙伴们探究PA和CE 之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，小明将正方形ABCD改为菱形 ABCD,当∠BAD=60°时，请直接写出 PA与CE之间的数量关系. 图3GH是菱形..·EF∥AC,EH∥BD,,.∠EMO=∠AOD=90°，∠ENO=∠AOD= 90°.∴.∠FEH=360°一90°×3=90°.又菱形EFGH,,.菱形EFGH是正方形.3.C 4.AB=CD5.126.20 数学活动（三）矩形中的折叠模型 1.A2.D3.A4.(10,3)5.456.3 难点强化专题（二）特殊四边形中线段的最值问题（选用） 1.32.1.2【例】解：连接BN,连接BM交AC于N',连接DN'..四边形ABCD 是正方形，.点B与点D关于直线AC对称..DN=BN..DN+MN=BN+MN ∴.当B,N,M共线，即N与N'重合时，DN+MN有最小值，BM的长即为DN+MN 的最小值.CD=4,DM=1,.CM=CD-DM=4-1=3.在Rt△BCM中，BM √BC+C=√4+3=5.故DN+MN的最小值是5.3.134.√2 综合与实践（二）设计校园停车位 解：任务1：图1设计的停车位是矩形，图2设计的停车位是平行四边形，理由如下：在 图1中，AB⊥AD,CD⊥AD,.AB∥CD..AB=CD,.四边形ABCD是平行四边 形.，AB⊥AD,.∠BAD=90°..平行四边形ABCD是矩形；在图2中，∠G 120°，∠H=60°，，∴.∠G+∠H=180°，.EG∥FH,,EG=FH,,∴.四边形EFHG是 平行四边形.∴.图1中停车位的形状是矩形，图2中停车位的形状是平行四边形：任 务2：①设置垂直停车位时，，空地长32m,宽14m,垂直停车位长6m,宽2.5m,通 道宽度不小于3.5m,∴.14÷2.5=5.6，即按照车位的宽度来设置停车位可以设置5 个.又32÷(6十3.5)≈3（列），即按照车位的长度来设置停车位可以设置3列，∴.当设 置垂直停车位时，最多可以设置5×3=15（个）；②设置倾斜停车位 时，过点G作GP⊥FH于P,过点H作HQ⊥EF交EF的延长线于 Q,如图所示：：四边形EFHG为平行四边形，倾斜线长6m,倾斜线 之间的距离为2.5m.∴.HF=GE=6m,GH=EF,GH∥EQ,GP=2. 5m.∴.∠HFQ=∠GHF=60°.在Rt△HFQ中，∠FHQ=90° ∠HFQ=30°，∴.FQ=。HF=3m,由勾股定理，得HQ=/HF-FQ=3√3≈3× 1.73=5.19(m).在Rt△GHP中，∠HGP=90°-∠GHF=30°，∴.GH=2HP,由勾 股定理，得GH-HP=GP,即(2HP)-Hp=2.53.HP=53 6 (m).∴.GH= 2HP=5y3≈5×1.73≈2.88(m..每行设置的停车们位是：(32-3)÷2.88≈ 10(个).5.19十3.5十5.19=13.88<14，.可以设置两行倾斜停车位，共有10×2 20(个).答：学校该空地应选择倾斜停车位布置方式，最多可以设置20个停车位， 第二十一章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】解：(1)720°(2)，AF∥BE,∠A=110°，.∠ABE=180°-110°=70°.. ∠ABC=100°，.∴.∠CBE=100°-70°=30°..DE∥AB,∴.∠BED=∠ABE=70°.又 CD∥BE,∴.∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°，∠D=180°-∠BED=180°-70 =110°.(3)360【例2】(1)证明：F是CD的中点，.CF=DF.CE∥AB交BF 延长线于点E,∴.∠CEF=∠DBF,∠ECF=∠CDB..△CEF≌△DBF(AAS); (2)证明：由(1)得△CEF≌△DBF,∴.CE=DB.,∠ACB=90°，D是斜边AB的中 点，.CD=DB=AD..CE=AD.又CE∥AD,.四边形ADCE是平行四边形. CD=AD,∴.平行四边形ADCE是菱形；(3)解：连接DE,则DE⊥AC.BC⊥AC DE∥BC,CE∥DB,.四边形BCED是平行四边形.∴.DE=BC=4.:S菱形cE= 2×4AC=6,…AC=3.∴AB=V√AC+BC=V3+4=5.∴.AB的长是5；(4) 当AC=BC时，四边形ADCE是正方形.理由如下：：AC=BC,D是AB的中点， ∠ADC=90°.由(2)知四边形ADCE是菱形，∴.菱形ADCE是正方形. 考点过关 1.C2.B3.D4.C5.C6.67.C8.D9.(1)证明：点O,D分别是边 AB,BC的中点，∴.OD是△ABC的中位线..OD∥AC.AE∥BC,.四边形AEDC 是平行四边形.∴AE=CD.点D是边BC的中点，∴.BD=CD.∴.AE=BD..四边 形AEBD是平行四边形：(2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形.证明如下： AB=AC,点D是BC边上的中点，∴.AD⊥BC..∠ADB=90°.由(1)可知，四边形 AEBD是平行四边形，∴.平行四边形AEBD是矩形.10.A11.C12.4√313.5 14.70°15.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC,BC∥AD..∠ADE ∠CBF..DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS)；(2)解：连接AC交BD于点O., 四边形ABCD是正方形，BD=10,AC⊥BD,AC=BD,OA=OC=AC..OA= OC-OB=OD=2BD=5.:DE-BF,OF=OE.·四边形AECF为平行四边形。 又BD⊥AC,.四边形AECF是菱形.，四边形AECF的周长为4AF=434,∴.AF =/34.在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF=√AF2-OA2=W/(/34)-5=3. EF=2OF=6,即EF的长为6.16.解：(1)PE=PCPE⊥PC(2)CE=√2PA.理 由如下：由(I)知，PE=PC,PE⊥PC,△PEC是等腰直角三角形..CE=√2PE, PA=PE,..CE=2PA.(3)CE-PA.