第21章 数学活动-2025-2026学年八年级下册数学同步辅导（人教版）

数学 活动1黄金矩形 1.世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视 觉效果，都采用了黄金矩形的设计.黄金矩形 是可以通过折纸折叠出来的， 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1① 所示的方法折出一个正方形，然后把纸片 展平. 第二步：如图1②，把这个正方形折成两个相 等的矩形，再把纸片展平 第三步：折出内侧矩形的对角线AB,并把 AB折到图1③中所示的AD处 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出 DE,矩形BCDE(图1④)就是黄金矩形， M B M /D ③ ④ 图1 设MN=4.求证： (1)矩形BCDE是黄金矩形 (2)矩形MNDE也是黄金矩形 活动 活动2剪拼正方形 2.数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形” 实践活动，过程要求无损耗、无重叠. (1)如图2①所示，长方形纸片ABCD可看作 由2个全等的小正方形组成，E是AD的 中点，沿着BE,CE剪2刀，得到3块图案 ①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼 接成一个大正方形纸片BFCE.若AB=2, 则BF= 朱出 青出 B 4 ① ② ③ 图2 (2)如图2②所示，“十字形”纸片可看作由5 个全等的小正方形组成，已知点A,B在 正方形网格的格点上，C,D是纸片边上的 中点.沿着AB,CD将这个“十字形”纸片 剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持 ①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个 大正方形纸片.请在正方形网格中画出拼 接后的大正方形，并标注对应的编号， (3)如图2③所示，同学们从刘徽设计的“青朱 出入图”受到启发，将两个边长不等的正 方形纸片ABCD,GCEF剪拼成一个大正 方形纸片BQPG.P,M,N为剪痕与原正 方形边的交点，已知AB=4,EN=1. 则HQ= HN= 复习课 典例精析 【例1】如图21一1，以正方形ABCD的对 点D运动.规定其中一个点到达终点时，另一 角线AC为一边作菱形AEFC,E在AB的延长 点也随之停止运动，设Q点运动的时间为ts.若 线上，则∠FAB等于 ( P,Q两点同时出发、 A.22.5° B.45° C.30 D.135 (1)当四边形APQD为矩形时，求t的值. 思路分析：由四边形ABCD为正方形，得 (2)若PQ=BC,求t的值. ∠BAC=45°，且四边形AEFC为菱形，则AF 平分∠BAC,所以∠FAB=号∠BAC=2.5. 答案：A 图21-3 解：(1)AB∥CD,.∠A=∠D=90°. 由题意，得CQ=2tcm,AP=tcm, .'DQ=CD-CQ=(12-2t)cm, .四边形APQD为矩形，.AP=DQ, 图21-1 图21-2 .t=12-2t,解得t=4. 【例2】如图21一2所示，在正方形ABCD (2)如图21-4①所示，过点Q作QN⊥AB 中，点E在BC上，BE=3,CE=2,点P在BD 于点N,过点B作BH⊥CD于点H,则四边形 上，求PE与PC的长度和的最小值， BHQN为矩形，四边形ADHB为矩形， 解：连接AP,AE.,正方形ABCD关于BD ..CH=CD-DH=CD-AB=12-10= 对称，∴.PA=PC,在△PAE中，PA+PE>AE, 2(cm),QN=BH,QH=BN. 当点P在AE上时，PA十PE的值最小，等 又，PQ=BC,∴.Rt△BCH≌Rt△QPN 于AE.在Rt△ABE中，AE=√AB+BE= (HL),∴.PN=CH=2cm, √52+32=√34，.PA+PE的最小值为√34. .'.AB-AP-BN=AB-AP-QH=AB- AP-(CQ-CH)=2cm, 即PE与PC的长度和的最小值为√34. 点拨：求解四边形中线段长度和的最值问 10-1-(2t-2)=2,解得=10 3 题时，常通过转化思想逐步缩小题设与结论之 间的差距 【例3】如图21一3所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD,∠A=90°，AB=10cm,CD= 图21-4 12cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度向点 如图21一4②所示，作PE⊥CD于点E,作 B运动；点Q从点C出发，以2cm/s的速度向 BF⊥CD于点F,∴.∠EBF=60°」 设BM=x,则MF=BM=x,EM=√3x. .四边形ABCD是正方形， ·∠BAE=2∠BAD=45. ∴.AM=EM=√3x. .'AM+BM=AB=√3+1， .x十√3x=√3+1，解得x=1, ∴.BF=2x=2 ∴.AF=AB-BF=√3+1-2=3-1. 数学活动 1.证明：(1)根据题意，得BC=NC=MN=4, AB=AD,AC=号NC=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB=√/BC+AC=√4+2=2√5. .AD=2√5.∴.CD=AD-AC=2√5-2. 梁6 2 .矩形BCDE是黄金矩形， (2)由(1)知，NC=4,CD=2√5-2， .ND=NC+CD=4+2√5-2=2√5+2. 2 ∴.矩形MNDE也是黄金矩形. 2.解：(1)2√2 (2)如图a,b,展示了两种不同的拼法. 3 (3)43 复习课 【复习训练】 1.B2.C3.B4.D5.A 6.C7.B 8.D点拨：如图，连接AC交OB于点K,连 接AE,作AH⊥OC于H. ,四边形ABCO是菱形， ∴.AC⊥OB,AK=3, OK=4, ∴.OA=OC=5, .A、C关于OB对称， ∴.AE=EC, ..EC+ED=AE+ED, 根据垂线段最短可知：当A、E、D三点共 线，且与AH重合时，EC+ED的值最小， 最小值为AH的长， :号·AC·OK=号OC·AH, :AH-华∴EC+ED的最小值为器 9.54010.8 11.65°点拨：四边形ABCD是正方形， .∴.∠AOB=∠AOD=90°，OA=OB=OD= OC. .OE=OF, ∴.△OEF为等腰直角三角形， ∴.∠OEF=∠OFE=45°. .∵∠AFE=25°， ∴.∠AFO=∠AFE+∠OFE=70°， ∴.∠FAO=20° 在△AOF和△BOE中， (OA=OB, ∠AOF=∠BOE=90°， OF=OE, .△AOF≌△BOE(SAS). ∴.∠FAO=∠EBO=20°. .OB=OC, ∴.△OBC是等腰直角三角形， ∴.∠OBC=∠OCB=45, ∴.∠CBE=∠EBO+∠OBC=65°. 12.①③④点拨：如图，连 接CF.因为∠ACB= 90°，F为AB中点，所