20.1 第1课时 勾股定理-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

第二十章 20.1 勾股员 第1课时 知识储备 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边的 长分别为a,b,斜边长为c,那么 如图，用符号语言表述为： ,在△ABC中，∠C=90°， 。++++++ 01基础练 必备知识梳理·一 知识点一 勾股定理的认识与证明 1.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对应边分别是 a,b,c,若∠B=90°，则下列等式中成立的是 () A.a2+62=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.c2-a2=b2 2.【新课标·补充解题过程】 如图是由边长均为1的正方 形组成的网格，下面是勾股 定理的探索与验证过程，请 补充完整： .S1= ,S2= ,S3=5×5-4× .S1+S2=S3. 即 2十 2 3.如图是证明勾股定理的一种方法：用4个全 等的直角三角形拼成一个图形，请你利用等 面积法证明勾股定理的真实性， 19八年级数学·下册 勾股定理 理及其应用 勾股定理 知识点二利用勾股定理进行计算 4.已知直角三角形的两条直角边的长分别为3 和4，则斜边长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的 面积为 15 6.【教材P25例1变式】如图，根据所给条件分 别写出下列直角三角形中未知边的长 2 y= 7.(1)在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC= 4,则AB的长为 (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， AB=4,则BC的长为 8.【教材P25练习T1变式】在△ABC中，∠C= 90°，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c. (1)已知b=2,c=3,求a的值； (2)已知a:c=3:5,b=32,求a,c的值. 易错点考虑问题不全面而漏解 9.【分类讨论思想】若一个直角三角形的两边长分 别为12和5，则第三边的长是 【点拨】当直角三角形的斜边不确定时，应分类讨论， 即①5和12是直角边；②12是斜边，5是直角边. 02综合练 身关键能力提升一 10.（教材P26练习T2改编) 一题多变 (1)【改变条件】如图，所有的四边形都是正 方形，所有的三角形都是直角三角形，若 正方形A,B,D的面积依次为6,10,24， 则正方形C的面积为 () A.4B.6 C.8 D.12 S 第10(1)题图 第10(2)题图 (2)【改变图形】如图，以Rt△ABC的三边为 直径分别向外作三个半圆，面积分别为 S1,S2,S3.若S1=18π，S3=50π，则S2= ( A.8πB.20π C.30元 D.32π 11.如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，AC=12,BC=18,线 段AB的垂直平分线DE交 BC于D,交AB于E,则BD 的长为 A.8 B.10 C.13 D.15 12.下面各图中，不能证明勾股定理的是( 色欺门其 13.【新课标·数学文化】我国古代 数学家赵爽的“勾股圆方图”是 由四个全等的直角三角形与中 间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如 图所示).如果大正方形的面积是13，小正方 形的面积是1，直角三角形的两直角边长分 别为a,b,那么(a十b)2的值是 14.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10,CD ⊥AB,垂足为D,CD=8.求AC的长. 03素养练 净生升走鉴站有 15.【教材P32习题T14变式】如图，△ACB和 △ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE =CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边 DE上.求证：AE+AD=AB2 解题妙招 利用勾股定理求面积的常见图形 S S 作正方形 作等边三角形 S3=S1+S2 Ss=S1+Sz S 作半圆 作等腰直角三角形 S3=S1+S2 S=S1十Sg 助学助教优质高效20数学活动（一）纸张规格的奥秘 任务1：解： 长：宽 长：宽 A型 (精确到0.001) B型 (精确到0.001) A5 1.419 B5 1.412 A4 1.414 B4 1.416 A3 1.414 B3 1.415 A2 1.414 B2 1.414 Al 1.416 Bl 1.415 发现的规律：这些比值都接近1.414，而√2≈1.414，所以各种规格纸张的长与宽的比 约等于√2，即长：宽≈√2. 任务2：解：2023版初中八年级下册语文、数学、英语、生 物课本尺寸如下表： 类别 语文 数学 英语 生物 尺寸(mm) 184×260184×260 184×260 184×260 长：宽 1.413 1.413 1.413 1.413 发现的规律：2023版初中八年级下册语文、数学、英语、生物课本的长与宽的比也约 等于√2.任务3：解：长方形ABFE仍为长与宽的比值为√2的长方形.理由如下：设 AB=a则BC=2a.:E,F分别是边AD,BC的中点BF=号BC= 2a.长方 形ABFE的长与宽的比为A=”=2.任务4：解：长方形GHID仍为长与宽的 BE v② 2a 比值为√W2的长方形，理由如下：设AB=a,则AD=√2a.由折叠可知AB=AG=a,则 DG=AD-AG=√2a-a=HI,由折叠可知CI=HI=√2a-a,∴.DI=DC-CI=a (2a-a)=2a2a.0《②a。,a/2-DV2.…长方形GHID仍为长 与宽的比值为√2的长方形. 第十九章大单元整合与素养提升 典例导航 【例1】(1)①⑤⑥⑦(2)x1(3)①⑤(4)x1【例2】(1)解：原式=6√3+2√3 -123=一4√3；(2)解：原式=√25一（√6-2√6）=5+√6；(3)解：原式=3+2 +2W6+(/13)2-4+√9-/16=1+26， 考点过关 1.D2.A3.14(答案不唯一)4.25.126.C7.8138.(1)解：原式=23 -2-5+22=5+2；(2)解：原式=入√24×号+√8÷(25-5)=√36+ √48÷√3=10.9.解：x十y=2-√5+2十√5=4，x-y=2-√5-(2+√5)=-2√5， x·y=(2+5)(2-5)=-1,,(1)xy-xy=xy(x-y)=-1×(-25)=2V5; (2)x2+xy+y2=(x+y)2-xy=4-(-1)=16+1=17.10.√511.解：肇事汽 车当时超速了.理由如下：把d=32,f=2代入v=16df,v=16√32×2 128(km/h),,128>100,∴.肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.12.解：(1) 两个正方形的面积分别为18dm和32dm,.这两个正方形的边长分别为√18 3√2dm和√32=4√2dm.∴.原矩形木板的长为3√2+4v2=7√2(dm),宽为4√2 dm.∴.原矩形木板的面积为7√2×4√2=56(dm2).答：原矩形木板的面积为56dm2 (2)由题意可知，剩余的木料长为3√2dm,宽为4√2-3√2=√2(dm),,4<3√2<4. 5,1<√2<1.5，.从剩余的木料中截出长为1.5dm,宽为1dm的长方形木条，最多 能截出2块这样的木条.答：最多能截出2块这样的木条.13.解：(1)（答案不唯一） -5 5 /125 /5 V524·验证√54=V2-V24 n 尽X55√2；2②规律：N u为正整数≥2).证明：V十n”√ (n2-1)+n /n3 n n2-1 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理 知识储备 AC+BC=AB 基础练综合练素养练 1.C2.49之×2X313 AC BC AB3.证明：大正方形的面积可以表 示为(a+b)或2+4×2ab=2+2ab,.(a+b)2=2+2a6,即a2+6+2ab=2+ 16 2ab..a2+b=c2.4.C5.646.10√/217.(1)4√2(2)2√38.解：(1)在 △ABC中，∠C=90°，b=2,c=3,∴.a=√c2-b=3-2=√5；(2)设a=3.x,则 c=5x,.a2十b2=c2,∴.(3x)2十322=(5.x)2.解得x=8(负值舍去).∴.3x=24,5x 40,即a=24,c=40.9.13或/11910.(1)C(2)D11.C12.C13.25 14.解：.'CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△BCD中，BD=BC-CD 6.设AC=AB=x,则AD=x-6.在Rt△ACD中，AC=AD2+CD,即x2=(x-6) 十8，解得x答：AC的长为空.15.证明：连接BD,:△ACB与△ECD都是 等腰直角三角形，∴.∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=45°，EC=DC,AC=BC. .∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD.∴.∠ACE=∠BCD.∴.△AEC≌△BDC (SAS).∴.AE=BD,∠E=∠BDC=45°.∴.∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90° ∴.AD2+BD=AB,即AE+AD2=AB2 第2课时·勾股定理的应用 知识储备 直角 基础练综合练素养练 1.A2.C3.D4.C5.解：由题意，得∠ACB=90°，∴.AB=√AC+BC= /800十600=1000(m).∴.船从A到B所需的时间为1000÷200=5(min).答：船从 A到B所需的时间为5min.6.解：，∠ABD=120°，∠D=30°，∴.∠AED=120° 30°=90°.在Rt△BDE中，BD=520m,∠D=30°，.BE=7BD=260(m).DE= √/BD-BE=260√3≈450(m).答：另一边开挖点E离D约450m时，正好使A,C, E三点在同一直线上.7.D8.B9.810.解：超速.理由如下：在Rt△ABC中 AC=60m,AB=100m,由勾股定理可得BC=√AB-AC=√100-60=80 (m)...汽车速度为80÷4=20(m/s)=72(km/h)..72km/h>60km/h,∴.这辆小 汽车超速了.答：这辆小汽车超速了. 11.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB2-AC=√5-32=√I6=4 (cm).(2)由题意，知BP=tcm,①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合， BP=BC=4cm,.t=4;②当∠BAP为直角 时，如图2，BP=tcm,CP=(t一4)cm,AC=3 cm,在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2=32 (t-4)2.在Rt△BAP中，AB+AP2=BP, 即5+[3+1-4门=.解得1=翠当 C(P) 图1 图2 △ABP为直角三角形时，d=4或5， 模型构建专题（一）利用双勾股列方程 【例】解：过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.设BD=x,则CD=BC -BD=14-x.在Rt△ABD中，AD=AB-BD,在Rt△ACD中，AD=AC-CD, ∴.AB2-BD2=AC-CD,即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9..AD VAB-BD=15-g=12.∴Sr=2BC·AD=2×12×14=84. 1.D2.9.63.解：设AE=xkm,则BE=(25-x)km..DA⊥AB,BC⊥AB,. ∠A=∠B=90°.∴.DE2=AD+AE=102+x2,EC=BE+BC=(25-x)2+15. C,D两村庄到收购站E的距离相等，∴.CE=DE.,.CE=DE.∴.(25一x)2十15 =102十x2.解得x=15.答：收购站E到A站的距离是15km. 微专题二 1.B2.43.34.5 微专题三 1.1或2或3-√22.126cm2或66cm23. 解：(1)当CD在△ABC的内部时，如图1，，CD ⊥AB,∴.∠CDA=∠CDB=90°..CD=√3，AD D =1,..AC=CD+AD=2..AB=2AC,. 图2 AB=4..BD=4-1=3.∴.BC=√BD+CD √3+（√3）2=2√3；(2)当CD在△ABC的外部时，如图2，同理求得AC=2,AB= 4,∴.BD=5..BC=√CD+BD=√/(W3)2+52=2W7.综上所述，BC的长为2W3 或2√7. 第3课时利用勾股定理进行作图或计算 知识储备 一对应 一个点 基础练综合练素养练 1.(1)5(2)解 如图，点A即为所求.(3)C(4)(0,4)