20 数学活动(2) 利用勾股定理绘制图案&综合与实践(1) 测量校园旗杆的高度-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

数学活动（二） 利用勾股定理绘制图案 【背景材料】勾股定理是人类最伟大的十个科学 发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在 我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则 弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾 股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽 弦图”，流传至今 活动一：如图1是小明绘制的一株美丽的勾股 树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，若正方形A,B,C,D的边 长分别是3,5,2,4，则最大的正方形E的面积 是 图1 图2 活动二：有一个边长为1的正方形，经过一次 “生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形， 活动四：【拓展应用】 其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形， 1.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC 再经过一次“生长”后，变成了如图2，如果继续 =90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向 “生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”.请你算出 外作四个正方形，其面积分别记为S,S2,S, “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方 S4.若S2=40,S3=58,S4=62,则AD的长为 形的面积和是 () 活动三：如图①②③，直角三角形的两直角边长 A.7 B.5 C.4 D.6 为a,b,斜边长为c,以直角三角形的三边长为 直径或边，分别向外部作半圆和等边三角形.这 些图案的面积分别为S1,S2,S3,猜想S1,S2,S3 之间的关系，并进行推理论证.（注：在图③中 S,,S2为阴影部分的面积，S;为直角三角形的 第1题图 第2题图 面积) 2.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的 三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 S1,S2,S3.若S3十S2一S1=18,则图中阴影部 S Ss 分的面积为 图① 图② 图③ 33八年极数学·下册 综合与实践（一）测量校园旗杆的高度 活动 卷尺方案 测角方案 方案 方案 示意图 图1 图2 ①如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直 ① 到地面， 实施 ②用卷尺测出多出的一段绳子BC的长度； 过程 © ③如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在 地面的点D处，用卷尺测出BD的距离. 测量 ①BC=1m; ① 数据 ②BD=5m. ② ①图上所有点均在同一平面内； ① 备注 ②AB与地面垂直. ③ 任务一：请根据卷尺方案中的数据帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度； 任务二：请小组合作利用测角方案，设计一种能求出旗杆高度的方案； 解决 任务三：该校礼仪队要求旗手在不少于45s且不超过50s的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至 问题 顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96cm,求五星红旗升起的平均速度的取值范围 (计算结果精确到0.01). 助学助教优质高数344 0 40 图① 图② 图3 MN=√(40+30)+502=10√74≈86.02cm.(2)计算最短时间：.'86.0289 44<94.87,最短时间=86,02≈28.7s 1.C2.D3.D4.30 数学活动（二）利用勾股定理绘制图案 活动一：54活动二：2026活动三：解：这3个图形中面积关系满足S,+S2=S,论 证如下：在图①中：S= 2 8 ,S2= 2 8 ,S2= 2 +b=x(a十b)=c2 1×3a=3 8S+S:=S,故图①符合；在图@中，S,=2> 2 4 =×-8×-，+9=5 24 4 4 4c, ∴S+s=S,放图②符合：在图③中，：S+S=2()】+(台)）x+S 号(）广s+5,=日xa+6-)+5.a+=S+s,=S.故图③符 合. 活动四：1.D2.4.5 综合与实践（一）测量校园旗杆的高度 解：任务1：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1m,设旗杆的高度为xm,则绳 子的长度为(x+1)m.由图2可得，在Rt△ABD中，AB+BD=AD,即x2+5=(x 十1)2.解得x=12.答：旗杆的高度为12m:任务2：选取与旗杆底部B 位于同一水平面的G处，使测角仪位于G处时，测得FG=1.5m, ∠AFE=45°，BG=10.5m图上所有点均在同一平面内，AB,FG与 地面垂直任务3：96cm=0.96m,12-0.96=11.04(m).11.04÷45 ≈0.25(m/s),11.04÷50≈0.22(m/s).答：五星红旗升起的速度不小 G 于0.22m/s且.不大于0.25m/s. 第二十章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)证明：在△BCD中，.BD+CD2=122+162=400,BC=20=400,.BD2+ DC=BC..△BCD是直角三角形；(2)解：设AD=xcm,则AC=AB=(x十12) cm.在Rt△ADC中，AD+DC=AC,即r+162=(x+12).解得=4 ∴.△AB0 3 的周长为(4+12)×2+20=160 3 cm). 考点过关 1.A2.C3.2.44.-√55.解：(1)18(2)根据题意，得∠ADB=90°，AD=8 dm,CD=7dm,AB=10+7=17dm..BD=√AB2-AD=√/172-8=15(dm).. BE=BD-DE=15-6=9(dm).答：滑块B向左滑动的距离为9dm.6.C7.C 8.(1)证明：在△BCD中，BC2+CD=82+62=100,BD=102=100,.∴.BC+CD BD..△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°；(2)解：过A作AE⊥BD于点E. AB=AD=13m,BD=10mBE=DE=BD=5m在R△ABE中，由勾股定 理，得AE=VAB-BE=V1B-可-12(m.∴S=5w-5m=号×10X12 2×6×8=36(m).200×36=7200(元).答：此块空地全部种植花卉共需花费 7200元.9.11,60,6110.(1)证明：过C点、D点向x B 轴、y轴作垂线，垂足分别为M,N..C(a,b),D(b,一a) (a,b均大于0)，..OM=ON=a,CM=DN=b,. △OCM≌△ODN(SAS),.∴.∠COM=∠DON..'∠DON +∠MOD=90°，∴.∠COM+∠MOD=90°，即∠COD=O5D 90°.OC=OD=a十b,.△COD是等腰直角三角 图1 ) 形，.∠ODC=45°；(2)解：连接DA.在△OCB与△ODA中， OB=OA, ∠BOC=∠AOD=90°-∠COA,.△OCB≌△ODA(SAS).∴.AD=CB=1,∠OCE OC=OD. =∠ODA..OC=OD=2,.CD=2W2..AD2+CD2=1+8=9,AC2=9,.AD2+ CD=AC,.∴.∠ADC=90°，∴.∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°.