20 回归教材专题(1) 利用勾股定理探索两点间的距离&模型构建专题(2) 利用勾股定理解决几何体中最短路径问题-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

2.C 3.AB 解：如图所示，线段AB,CD,EF即为所求 5.(-3,3√3)6.23一27.C8.<9.√210.解：(1)(2)图略11.解：(1) (Wm)2+1=n+1,S.=.0An=V0.(2)S+S+S+…+S。=()+ ()+()++()-1+2+3++9+10-5 4 20,2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 知识储备 1.a2十b2=c2直角三角形2.勾股数 基础练综合练素养练 1.A2.B3.C4.直角三角形5.是6.(1)解：a2+c2=(3)2+(W5)2=8,b =(2√2)2=8，.a2十c2=b..△ABC是直角三角形，∠B=90°；(2)解：设a=5x, 则b=12x,c=13x.:a2+6=(5x)2+(12x)2=169x2,c2=(13x)2=169x2,∴.a2+b =c2..△ABC是直角三角形，∠C=90°.7.D8.B9.5,12,138,15,17(答案 不唯一)10.B11.B12.C13.D14.m2+115.解：续写过程如下：∠ACD =90°，∴.AC2+CD2=AD.AC2+BC=AB2,CD=CB,..AD2=AB2..AD= AB.又：AC=AC,BC=DC,∴△ABC≌△ADC..∠ACB=∠ACD=90°.∴.△ABC 是直角三角形.16.解：(1)n2一12nn2+1(2)是直角三角形.证明如下：.a n2-1,b=2m,c=n2+1,.a2+b=(n2-1)2+(2m)2=(n2+1)2,c2=(n2+1)2.∴a2+ b=c2.∴.以a,b,c为边长的三角形是直角三角形. 第2课时勾股定理的逆定理的应用 知识储备 直角 基础练综合练素养练 1.正北2.不垂直3.解：B舰艇的航行方向是北偏东40°，理由如下：由题意，得OA =12×5=60(海里)，OB=16×5=80(海里).又.AB=100海里，602+802=1002，即 OB十OA2=AB.∴∠AOB=90°.：∠DOA=50°，∴.∠BOD=40°.答：B舰艇的航行 方向是北偏东40°.4.455.解：符合设计要求，理由如下：：∠DBC=90°，BC= 32cm,CD=40cm,∴.BD=√/CD-BC=√/402-32=24(cm).在△ABD中，AB =26 cm,AD=10 cm,BD=24 cm,.'AD2+BD2=102+242=262=AB2..'.AABD 是直角三角形，即∠ADB=90°.∴，∠ADB=∠DBC.∴AD∥BC..该尾翼模型符合 设计要求.6.C7.B8.解：连接AC.在Rt△ABC中，∠B=90°，∴.AC /AB2+BC=5.在△ACD中，AC+CD=(W5)2+12=6,AD=(√6)2=6，.AC 十CD=AD.∠ACD=90.5am=S8+5m=号X2X1+2×1X,5 =2+5 .9.解：(1)由勾股定理，得CD=√BC-BD=√/252-15= 2 20(m),.CE=CD+DE=20+1.6=21.6(m):(2)如图，由勾股定理 得BF=/DF2+BD=/(20-12)2+152=17(m),25-17=8(m),答 他应该往回收线8m.10.(1)证明：，'AC=300km,BC=400km,AB =500km,.AC+BC=AB2.∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB= 90°；(2)解：海港C受台风影响.理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于 点D.SAe=2AC·BC-号AB·CD.∴CD=ACBC_300X40 AB 500 =240(km). 240<250,∴.海港C受台风影响；(3)解：如图，当E℃=250 km,FC=250km时，正好影响海港C.CD⊥EF,.EF=2DE.在 Rt△CED中，由勾股定理，得ED=√EC-CD=√250-240 =70(km)..EF=140km.,.140÷20=7(h).答：台风影响该海港A ED E 持续的时间为7h. 回归教材专题（一）利用勾股定理探索两点间的距离 【例811√8+11下√185(1)5(2)y-为lx-x2l√(-)+(y-2y(3) 1-y3-y50,52-x4-x55,00,55,0 1.22./58 3.解：△ABC是等腰三角形，理由如下：.AB √(-1+3)2+(4-1)2=√13，BC=√(-3-1)+(1-1)2=4，AC= √(-1-1)+(4-1)F=√I3,∴AB=AC且AB2十AC≠BC..△ABC为等腰三 角形. 模型构建专题（二）利用勾股定理解决几何体中最短路径问题 【例】解：(1)①把前面和上面展开在一个平面上，如图①.MN=√(50+30)2+40= 40√5≈89.44cm;②把左面和上面展开在一个平面上，如图②.MN= /(50+40)2+302=30√10≈94.87cm;③把前面和右面展开在一个平面上，如图③. 4 0 40 图① 图② 图3 MN=√(40+30)+502=10√74≈86.02cm.(2)计算最短时间：.'86.0289 44<94.87,最短时间=86,02≈28.7s 1.C2.D3.D4.30 数学活动（二）利用勾股定理绘制图案 活动一：54活动二：2026活动三：解：这3个图形中面积关系满足S,+S2=S,论 证如下：在图①中：S= 2 8 ,S2= 2 8 ,S2= 2 +b=x(a十b)=c2 1×3a=3 8S+S:=S,故图①符合；在图@中，S,=2> 2 4 =×-8×-，+9=5 24 4 4 4c, ∴S+s=S,放图②符合：在图③中，：S+S=2()】+(台)）x+S 号(）广s+5,=日xa+6-)+5.a+=S+s,=S.故图③符 合. 活动四：1.D2.4.5 综合与实践（一）测量校园旗杆的高度 解：任务1：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1m,设旗杆的高度为xm,则绳 子的长度为(x+1)m.由图2可得，在Rt△ABD中，AB+BD=AD,即x2+5=(x 十1)2.解得x=12.答：旗杆的高度为12m:任务2：选取与旗杆底部B 位于同一水平面的G处，使测角仪位于G处时，测得FG=1.5m, ∠AFE=45°，BG=10.5m图上所有点均在同一平面内，AB,FG与 地面垂直任务3：96cm=0.96m,12-0.96=11.04(m).11.04÷45 ≈0.25(m/s),11.04÷50≈0.22(m/s).答：五星红旗升起的速度不小 G 于0.22m/s且.不大于0.25m/s. 第二十章大单元整合与素养提升 典例导航 【例】(1)证明：在△BCD中，.BD+CD2=122+162=400,BC=20=400,.BD2+ DC=BC..△BCD是直角三角形；(2)解：设AD=xcm,则AC=AB=(x十12) cm.在Rt△ADC中，AD+DC=AC,即r+162=(x+12).解得=4 ∴.△AB0 3 的周长为(4+12)×2+20=160 3 cm). 考点过关 1.A2.C3.2.44.-√55.解：(1)18(2)根据题意，得∠ADB=90°，AD=8 dm,CD=7dm,AB=10+7=17dm..BD=√AB2-AD=√/172-8=15(dm).. BE=BD-DE=15-6=9(dm).答：滑块B向左滑动的距离为9dm.6.C7.C 8.(1)证明：在△BCD中，BC2+CD=82+62=100,BD=102=100,.∴.BC+CD BD..△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°；(2)解：过A作AE⊥BD于点E. AB=AD=13m,BD=10mBE=DE=BD=5m在R△ABE中，由勾股定 理，得AE=VAB-BE=V1B-可-12(m.∴S=5w-5m=号×10X12 2×6×8=36(m).200×36=7200(元).答：此块空地全部种植花卉共需花费 7200元.9.11,60,6110.(1)证明：过C点、D点向x B 轴、y轴作垂线，垂足分别为M,N..C(a,b),D(b,一a) (a,b均大于0)，..OM=ON=a,CM=DN=b,. △OCM≌△ODN(SAS),.∴.∠COM=∠DON..'∠DON +∠MOD=90°，∴.∠COM+∠MOD=90°，即∠COD=O5D 90°.OC=OD=a十b,.△COD是等腰直角三角 图1 ) 形，.∠ODC=45°；(2)解：连接DA.在△OCB与△ODA中， OB=OA, ∠BOC=∠AOD=90°-∠COA,.△OCB≌△ODA(SAS).∴.AD=CB=1,∠OCE OC=OD. =∠ODA..OC=OD=2,.CD=2W2..AD2+CD2=1+8=9,AC2=9,.AD2+ CD=AC,.∴.∠ADC=90°，∴.∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°.回归教材专题（一） 利用勾股定理探索两点间的距离 教材P26练习T3变式与拓展 解题技巧 A(2,1),B(4,3),C为坐标轴上的点，且使 平面内有两点P(x1,y1),P2(x2,y2). 得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，求 (1)如图1，当P,P2纵坐标相同时，PP2=|x1一x2: 出C点的坐标 如图2，当P1,P2横坐标相同时，PP2=|y一· 【点拨】①点C在坐标轴上，故可能在x轴上，也可能在 P。 y轴上，设C点坐标为(0，y)或(x,0);②根据AB为等 腰三角形的底边，则AC=BC,故AC2=BC,然后根据 平面内两点之间的距离公式，利用勾股定理列方程求 图1 图2 点C的坐标. (2)如图3，PC=|x2-x1|,P2C=y2-y1|,由勾股 【答题模板】 定理，得P1P2=√(x2-x1)2十(y2-y) 解：(3)①当C点在y轴上时，设点C的坐标为 (0,y),根据题意，得AC=BC, 即AC2=BC. .22+( )2=42+( )2 图3 解得y=」 ,则，点C的坐标为( 【例】如图1，我们在“格点”直角坐标系中可以看 ②当C点在x轴上时，设点C的坐标为(x,0), 到，要求AB或DE的长度，可以转化为求 根据题意，得AC=BC,即AC2=BC」 Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长， .( )2+12=( )2十32 解：从坐标系中发现：D(一7,5)，E(4,一3)可得： 解得x= ,则，点C的坐标为( DF=15-(-3)|= ,EF=4-(-7)川= 综上所述，点C的坐标是()或(). 所以由勾股定理可得：DE= 【针对训练】 √DF2+EF2 1.在平面直角坐标系中，点P(1,√3)，则点P到 原点的距离为 4(x,y 2.在平面直角坐标系中，A(一2，一3)，B(1,4), iX 则线段AB的长是 3.已知一个三角形各顶点坐标为A(一1,4)， B(x2,y2 B(一3,1)，C(1,1),请判断此三角形的形状， 图1 图2 并说明理由. (1)在图1中，请用上面的方法求线段AB的 长：AB= (2)在图2中，设A(x1,y1),B(x2,y2),试用x1, x2,y1,y2表示：AC= BC= AB= (3)试用(2)中得出的结论解决如下题目：已知 31八年极数学·下册 模型构建专题（二） 利用勾股定理解决几何体中最短路径问题 【针对教材P44复习题T11】 解题技巧 利用勾股定理解决最短路径问题，解题的基本思 路和方法为：(1)定平面：化“立体”为“平面”，将立体 图形上两点间的距离转化为求平面内两，点间的距离 (2)定直角三角形：一般需根据题意构造直角三角形； (3)求最短距离：利用勾股定理求出最短路径长，最短 路径基本模型如下： 类型 图例 【针对训练】 圆柱 柜远☑ 1.如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底 B 问题 ☑“力 面周长是15m,高是8m,要从A点 环绕油罐建梯子，正好到达A的正 上方的B点，则梯子最短需要 长方体 A.12m B.13m C.17m D.20m 问题 2.如图，圆柱形杯子的高为蚂蚁4 阶梯 14cm,底面周长为32cm, 问题 在杯内壁离杯底5cm的点 B处有一滴蜂蜜，此时一只 B蜂蜜 【例】如图，一个长方体的长、宽、高如图所示， 蚂蚁正好在杯外壁，离杯上 只蚂蚁以3cm/s的速度从点M爬到点N,则 沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从杯外 最快需多长时间（结果保留一位小数）？ 壁A处爬到杯内壁B处的最短路程是() 【思路点拨】(1)将长方体 ←-40cmW A.10 cm B.12 cm C.15 cm D.20 cm 表面展开：长方体有三种30cm叫 3.如图，长方体的长为5cm,宽 展开方式：①把前面和上 为4cm,高为3cm,一只蚂蚁 面展开在一个平面上； 在长方体的表面爬行，从点A ②把左面和上面展开在一 爬到点B的最短路程是 个平面上；③把前面和右 A.8 cm B.4√5cm 面展开在一个平面上；(2)计算三种展开方式下 C.3√10cm D.√/74cm MN的长度；(3)比较MN的长度，求最短时间. 4.如图，有一个三级台阶，它 的每一级的长、宽、高分别 为24dm,3dm,3dm,点 A和点B是这个台阶上两个相对的端点，点 A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路 程是 dm. 助学助教优质高数32