精品解析：2026年海南省文昌中学九年级中考一模数学试题

2026届海南省文昌中学中考模拟考试 数学科测试题（一） （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果5个红算筹记作，那么3个黑算筹应记作（ ） A. B. C. D. 2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 封关以来，海南自由贸易港平稳开局、成效明显，市场预期持续向好，封关三个月海南货物贸易进出口82010000000元，同比增长．数据82010000000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 若关于的分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 7. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 8. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 小明每走5米，顺时针转20°，则（ ） A. 小明不会回到原点 B. 小明会回到原点，路程小于80m C. 小明会回到原点，路程恰为90m D. 小明会回到原点，路程大于120m 11. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 12. 如图，的对角线，相交于点，平分交于点，且，，连接．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 写出不等式组的一个整数解为_____． 14. 新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 16. 如图，在正方形中，是边的中点，交边于点，连接，平分交于点．已知，则的值为_____，的值为____． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（A型）和基础平板（B型）．已知A型平板的单价比B型平板贵元．若采购台A型平板比采购台B型平板多花费元． （1）求A型平板和B型平板的单价； （2）若集训队共需配备10台平板电脑，且总采购预算不超过14400元，则最多能采购A型平板多少台？ 19. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，若要小杜能被摄像头识别，则他最少要下蹲_____； （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据：sin，cos，tan，sin，cos，tan） 20. 调查与统计 【项目背景】近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步作出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评价得分中，分别随机抽取了个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分，成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： 甲款软件名使用者打分为： ． 乙款软件名使用者打分在B等级的数据是： 甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表 软件 平均数 众数 中位数 甲款AI软件 97.5 a 98 乙款AI软件 97.5 99 b 根据所给信息，请完成以下所有任务． （1）上述表中_______；______； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中A组所占圆心角的度数为_______； （3）下列结论一定正确的是____（填写序号）． ①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组； ②得分分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款AI样本数据的满分一样多； （4）研究小组要从给甲款AI软件打100分的使用者（小红与小明在其中）中，随机抽取两人回访，则恰好抽中小红与小明的概率为______； （5）根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI更优，并说明理由． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）点在第一象限的抛物线上，请连接． ①若，且的最小面积为3，请求出t的取值范围； ②若，请求出点的坐标； （3）若、分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请求出n的取值范围． 22. 数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，分别是上的两点，连接，若，求证：； （2）如图2，在矩形中，，，是上的一点，连接，若，请求出的值； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交直线于E，垂足为，连接．若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届海南省文昌中学中考模拟考试 数学科测试题（一） （全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑． 1. 中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果5个红算筹记作，那么3个黑算筹应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，用正负数表示具有相反意义的量，根据题目给出的计数规则直接推导即可． 【详解】解：∵规则为红算筹记正，黑算筹记负，且5个红算筹记作 ∴3个黑算筹应记作． 2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察几何图形三视图可得． 【详解】解：由题观察可得，该几何图形为： 3. 封关以来，海南自由贸易港平稳开局、成效明显，市场预期持续向好，封关三个月海南货物贸易进出口82010000000元，同比增长．数据82010000000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将转变为的形式， 把小数点向左移动位，得到， 所以． 4. 若关于的分式方程的解为，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知分式方程的解求参数，将代入分式方程，求解的值即可． 【详解】解：由题意得 , 解得， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整式的运算，熟练掌握同类项的合并、同底数幂的乘除、幂的乘方运算法则是解题的关键．根据同类项的定义判断能否合并，再依据同底数幂的乘法法则、除法法则以及幂的乘方法则逐一分析选项，进而选出计算正确的选项． 【详解】解：对于选项，与不是同类项，不能合并，计算错误， 对于选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，计算错误， 对于选项，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，计算正确， 对于选项，根据幂的乘方法则，可得，计算错误． 故选：． 6. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】， 移项得 ， ． 7. 如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可． 【详解】解：根据“帅”位于点上，“相”位于点上可建立如图的直角坐标系， 所以“炮”位于点上． 8. 将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平行线的性质，结合已知的求出的度数，再根据折叠的性质得到，最后利用求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得， ∴，即，， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， 9. 如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等弦对等弧可得，利用圆周角定理求得的度数，进而求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ． 10. 小明每走5米，顺时针转20°，则（ ） A. 小明不会回到原点 B. 小明会回到原点，路程小于80m C. 小明会回到原点，路程恰为90m D. 小明会回到原点，路程大于120m 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知个多边形的外角和求出组成的多边形的边数，由此进行求解即可． 【详解】解：根据题意可知：组成的多边形边数=360°÷20°=18， ∴小明走的路程总和=18×5=90m， ∴小明会回到原点，所走的路程恰好是90m， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记多边形外角和是360度是解题的关键． 11. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，所以不等式的解集是或． 12. 如图，的对角线，相交于点，平分交于点，且，，连接．若，则的长为（　　） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据角平分线的性质得，根据三角形内角和定理得，即可得是等边三角形，再证得是的中位线，可求出的长度，即可求出的长. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点E是的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线，等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 写出不等式组的一个整数解为_____． 【答案】（或） 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集.最后在解集中找出一个整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：，即， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为1和2，任取一个即可． 14. 新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据新定义，比较与的大小，得到的值，再将等式整理为一元二次方程，求解得到的值． 【详解】解：， ， 根据新定义运算：当时，， 可得， 由题意得：， 整理得：， 因式分解：， 解得：，． 15. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 16. 如图，在正方形中，是边的中点，交边于点，连接，平分交于点．已知，则的值为_____，的值为____． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题可先利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质求出的长度；再结合角平分线的性质、勾股定理或构造全等三角形等方法求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴， ∵是中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∵平分，， ∴． 过点作于，于， ∵平分，， ∴．， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 综上，，． 三、解答题（本大题满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次化简绝对值、二次根式、乘方、负整数指数幂，再进行加减运算； （2）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：． 18. 某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（A型）和基础平板（B型）．已知A型平板的单价比B型平板贵元．若采购台A型平板比采购台B型平板多花费元． （1）求A型平板和B型平板的单价； （2）若集训队共需配备10台平板电脑，且总采购预算不超过14400元，则最多能采购A型平板多少台？ 【答案】（1）A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元 （2）最多能采购A型平板7台 【解析】 【分析】（1）设A型平板单价为元，B型平板单价为元，根据等量关系，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设能采购A型平板台，则采购B型平板台，根据题意，列出一元一次不等式，再根据实际意义即可求解． 【小问1详解】 解：设A型平板单价为元，B型平板单价为元， 根据题意得， 解得， 答：A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元； 【小问2详解】 解：设能采购A型平板台，则采购B型平板台． 根据题意得， 解得， 因为为非负整数，所以的最大值为7， 答：最多能采购A型平板7台． 19. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，若要小杜能被摄像头识别，则他最少要下蹲_____； （2）身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据：sin，cos，tan，sin，cos，tan） 【答案】（1）13.0 （2）能，证明见解析 【解析】 【分析】 (1)过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度； (2)过点B作的垂线分别交仰角、俯角线于点G，H，交水平线于点P，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点交水平线于点F，如图2， 则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴小杜下蹲的最小距离为， 答：小杜最少需要下蹲才能被识别； 【小问2详解】 解：能，计算如下： 过点B作的垂线分别交仰角、俯角线于点G，H，交水平线于点P，如图3， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 小若踮起脚尖后头顶超出点H的高度为， ∴小若能被识别． 20. 调查与统计 【项目背景】近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步作出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评价得分中，分别随机抽取了个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于分，成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： 甲款软件名使用者打分为： ． 乙款软件名使用者打分在B等级的数据是： 甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表 软件 平均数 众数 中位数 甲款AI软件 97.5 a 98 乙款AI软件 97.5 99 b 根据所给信息，请完成以下所有任务． （1）上述表中_______；______； 【数据分析与运用】 （2）求扇形统计图中A组所占圆心角的度数为_______； （3）下列结论一定正确的是____（填写序号）． ①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组； ②得分分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款AI样本数据的满分一样多； （4）研究小组要从给甲款AI软件打100分的使用者（小红与小明在其中）中，随机抽取两人回访，则恰好抽中小红与小明的概率为______； （5）根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI更优，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）② （4） （5）甲款软件更优，理由：因为甲、乙两款软件的平均数和中位数相同，而甲款软件的众数大于乙款软件的众数，所以甲款软件更优． 【解析】 【分析】（1）根据众数（一组数据中出现次数最多的那个数据）及中位数（将一组数据从小到大或从大到小依次排列，当数据个数为偶数时，最中间两个数的平均数就是中位数）的定义求解即可； （2）根据圆心角度数对应百分比得到圆心角度数即可； （3）按照题意所给数据得到甲乙两款AI样本数据的中位数、得分分以上的样本数据以及满分数据即可判断正误； （4）按照列举法得到抽取两人的所有情况，根据简单概率公式得到恰好抽中小红与小明的概率即可； （5）结合统计量的意义分析即可． 【小问1详解】 解：甲款 20 个打分数据： 其中100出现次数最多，因此众数； 乙款抽取20个样本，中位数为第10、11个数据的平均数． 由扇形统计图： A 组：个； B组 ：个； C组：个， 乙款B组数据：97,97,98,98,98,98（共6个）． 排序后，第 10、11 个数据均为98，因此中位数． 【小问2详解】 解：圆心角度数对应百分比， 即：． 【小问3详解】 解：①甲、乙款中位数均为98，不在A组 ，错误； ②乙款A、B组共有个数据；甲款A、B组：100出现6个、99出现3个，98出现2个，97出现3个，共14个；所以得分分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲款满分100共有6个，乙款只给出了A组数据总数8个，又乙款众数为99，则100数据不超过4个，甲乙两款AI样本数据的满分不是一样多，错误． 【小问4详解】 解：甲款打100分的使用者有6人（设为甲、乙、丙、丁、小红、小明），从中抽2人： 则有（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（甲，小红）、（甲，小明）、（乙，丙）、（乙，丁）、（乙，小红）、（乙，小明）、（丙，丁）、（丙，小红）、（丙，小明）、（丁，小红）、（丁，小明）、（小红，小明）共15种情况， 符合条件 (抽中小红、小明)的情况数：1种， 因此概率． 【小问5详解】 解：甲款软件更优， 理由：因为甲、乙两款软件的平均数和中位数相同，而甲款软件的众数大于乙款软件的众数，所以甲款软件更优． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）点在第一象限的抛物线上，请连接． ①若，且的最小面积为3，请求出t的取值范围； ②若，请求出点的坐标； （3）若、分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请求出n的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②P的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c的值，进而可求出顶点坐标即可得到答案； （2）①过点P作轴，交BC于点Q，求出解析式，由，得，得，得，开口向下，对称轴为，当的最小面积为3时，或，所以；②过点P作轴于点D，过点B作，交延长线于点E，可得四边形是矩形，当时，证明，得，解得，得P的坐标为；当时，证明，得，得，解得或（舍去），P的坐标为；当时，不存在． （3）由，得函数图象开口向下，对称轴为直线，当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，，解得，结合，得，解得，综合；另解：当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，得，由对称性关于对称轴的对称点为，结合，得，即得；当点N在对称轴的左侧，点M在对称轴的右侧时，不等式组，无解． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的表达式为， ， 抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：①过点P作轴，交BC于点Q， 令，则， ，又， 设解析式为， 把代入，得， 解得 解析式为， 即， ， ∴， 面积对应的函数图象开口向下，对称轴为， ∴对称轴在范围内， ∵， ∴， 解得或， ∴； ②过点P作轴于点D，过点B作，交延长线于点E， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 则， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简，得， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴P的坐标为； 当时， ∵，在的内部， ∴， ∴不存在． 综上，P的坐标为或． 【小问3详解】 解：， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 解得， ； 另解： Ⅰ、当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时， 由题意得， 解得， 关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 解得， ； Ⅱ、当点N在对称轴的左侧，点M在对称轴的右侧时， 由题意得， 该不等式组无解； 综上所述，． 22. 数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，分别是上的两点，连接，若，求证：； （2）如图2，在矩形中，，，是上的一点，连接，若，请求出的值； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交直线于E，垂足为，连接．若，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质得边角关系，结合垂直推出角相等，用证全等； （2）利用矩形性质与垂直，证，得相似比； （3）过点作的垂线，交于点，根据矩形性质及角度关系证明得到结论； （4）过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，作于点N，根据角度关系证明，求出长度，由得到点在以为直径的圆上，半径为，根据圆外一点到圆上一点的距离得到的最小值． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，， ． ， ． ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：四边形为矩形， ， ， ， ， 又， ， ． 【小问3详解】 证明：如图，过点作的垂线，交于点， 则， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 又， ． 又， ， ， ． 【小问4详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，作于点N，则 ， 由轴对称图形的性质可知， ，， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上，半径为， 当点在上时，的值最小， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $