命题大赛 四川省金堂中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 以神舟二十号发射、武大樱花等真实情境为载体，融合数列、导数等核心知识，通过基础题、综合题、创新题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|数列（1,6,8）、导数（2,4,5,7）、函数性质（5,9）|单选第2题结合神舟发射考查瞬时速度，体现科技前沿；多选第10题以樱花图案为背景构建数列模型，渗透文化传承| |填空题|3题15分|导数几何意义（12）、函数零点（13）、数学文化（14）|第14题角谷猜想设置双空，考查递推关系与雹程步数，强化数学抽象与创新意识| |解答题|5题77分|导数应用（15,19）、数列与不等式（16）、立体几何（17）、解析几何（18）|第19题导数综合题融合切线方程与不等式证明，第17题立体几何三问层层递进，考查空间观念与逻辑推理|

四川省金堂中学校高二下期期中考试数学命题细目表 整体难度：适中 考试范围：数列,函数与导数,空间向量与立体几何 四川省金堂中学校高二下期期中考试数学命题细目表 题号 难度系数 详细知识点 1 0.85 等差数列定义判断与前n项和计算 2 0.80 导数物理意义：瞬时速度的计算 3 0.75 等比数列的性质与符号判断 4 0.60 导函数对称性与原函数对称性关系、导数单调性与原函数渐近性判断 5 0.55 奇函数性质、导数构造函数判断单调性与不等式比较 6 0.65 等差数列前n项和性质与中项公式应用 7 0.40 函数极值点与导数单调性、分类讨论参数范围 8 0.50 数列递推关系与周期数列判断应用 9 0.55 三次函数拐点（对称中心）性质、函数零点判断、导数切线方程 10 0.50 递推数列通项求解、等比数列求和、数列单调性判断 11 0.55 Sn与an递推关系、等比数列判断与性质、等比数列求和 12 0.70 导数几何意义、切线倾斜角与导数关系、二次函数恒成立 13 0.40 分段函数、直线与圆位置关系、方程根个数与参数范围 14 0.35 新定义数列（角谷猜想）、逆向递推求所有可能取值 15 0.65 导数求函数单调区间、闭区间上函数最值求解 16 0.55 直线与圆位置关系、等差数列通项、裂项相消求和与放缩证明不等式 17 0.45 空间直角坐标系建立、线面角向量求解、点位置判断、点到直线距离最值求解 18 0.50 轨迹方程求解、直线与抛物线相交、弦长公式、中垂线性质、定值证明 19 0.25 导数判断函数单调性、导数切线方程性质、利用导数证明不等式 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省金堂中学校高二下期期中考试 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列满足，记前项和为，若，则（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 2．神舟二十号载人飞船已于2025年4月24日17时17分在酒泉卫星发射中心成功发射，顺利将陈冬、陈中瑞、王杰三名航天员送入太空，发射取得圆满成功，已知飞船发射t秒后，其高度（单位：米）为，则飞船发射后第10秒时，飞船爬高的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列中， A． B．±4 C．4 D．16 4．设函数在定义域上的导数值均存在，其导函数为，关于这两个函数的图象，有如下两个命题： 命题：若的图象关于直线对称，则的图象也关于直线对称； 命题：若是减函数，且其图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近，则函数是增函数，且其图象向右方无限延伸时也会存在一条平行或重合于轴的直线，使得的图象与无限趋近. 下列判断正确的是（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则(    ) A．f(4)＞ef(3) B．f(﹣4)＞e2f(﹣2) C．e2f(4)＜f(2) D．ef(﹣4)＞f(﹣3) 6．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（  ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数有唯一极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．数列满足：，若，，则（    ） A．1 B． C．5 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．， B．的值是19 C．函数有三个零点 D．过只可以作两条直线与图象相切 10．武汉大学的樱花不仅以其景色秀美而蜚声国内,同时也是日本军国主义者侵华历史的见证。而今樱花的品种,是历代武大师生引种、驯化,栽培的成果,烂漫樱花与早期建筑相映成景,成为校园内最具特色的景观，烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满校园，.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图： 图①将樱花抽象后，得樱花数，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数，以此类推.假设第n个图的樱花数是，设数列的前n项和为.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D．数列的前n项和为 11．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数的值为____. 13．已知函数，若关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围为______. 14．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数）， ①若，则使得至少需要 步雹程；②若；则m所有可能取值的和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）求在区间[1，4]上的最大值和最小值． 16．已知是等差数列的前n项和，数列是等比数列，恰为与的等比中项，圆，直线，对任意，直线都与圆C相切. （1）求数列的通项公式； （2）若时，时，，的前n项和为，求证：对任意，都有 17．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)设是线段上一点，如果点是在平面内，判断点在线段的位置并证明你的结论； (3)点在线段上运动，求点到直线的距离最大值. 18．已知点，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且是P到l的距离的. (1)求曲线C的方程； (2)若经过点F且斜率为的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值. 19．设函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)若直线是函数的切线，求实数的值； (3)当时，证明：． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省金堂中学校高二下期期中考试参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A B B D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ABD BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13． 14．①11 ②190 1.【答案】C 【解析】由知道为等差数列，则. 2.【答案】D 【解析】由可得，故， 故选：D 3.【答案】A 【解析】由题得 因为等比数列的奇数项同号（易错点），所以，故答案为A 4. 【答案】B 【解析】对于命题：若，则， 显然的图象关于直线对称， 但是不是轴对称图形，故命题为假命题； 对于命题：若，则， 显然的图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近， 函数为增函数，但是不存在直线，使得的图象与无限趋近， 故命题是假命题. 故选：B. 5. 【答案】B 【解析】解：f(x)是定义在R上的奇函数， 令F(x)＝，F′(x)＝， 因为当x＞0时，f′(x)＜f(x)，所以F′(x)＜0，函数F(x)是减函数， 所以F(4)＜F(3)，可得f(4)＜ef(3)，所以A不正确； F(4)＜F(2)，可得f(4)＜e2f(2)，所以C不正确； 则﹣f(4)＞﹣e2f(2)，即f(﹣4)＞e2f(﹣2)，所以B正确； f(4)＜ef(3)，﹣f(4)＞﹣ef(3)，可得f(﹣4)＞ef(﹣3)，所以D不正确； 故选：B. 6. 【答案】D 【解析】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又， 则可设，，则， 所以. 故选：D 7. 【答案】A 【解析】由题意，，则， 设，. 当时，时，单调递减，时，单调递增， （1）若，则，则时，单调递减，时，单调递增，所以有唯一极值点. （2）若，则，，，结合函数的单调性可知，函数分别在上存在唯一一个零点，于是时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以有三个极值点； （3）若，则，，，结合函数的单调性可知，函数在上存在唯一一个零点，于是时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递增，所以有唯一一个极值点； （4）若，则，又时，，所以且时，. 设，，所以函数在上单调递增，故，于是时，，所以且时，. 结合函数的单调性可知，函数分别在上存在唯一一个零点，于是时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以有三个极值点. 当时，时，单调递增，时，单调递减，，即恒成立，于是时，单调递增，时，单调递减，所以有唯一极值点. 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 8．【答案】D 解析】由题意可得：，即 用代替可得：， 两式相加得：，所以， 所以，所以函数是以6为周期的数列 所以.故选：D 9.【答案】ABD 【解析】对于A，因为， 所以， 所以， 由题意可得，即， 解得，故A正确； 对于B，因为的对称中心为， 所以， 设， 仿写得到， 两式相加得到， 所以，故B正确； 对于C，由A可得， 所以， 令，解得或2， 所以，当时，，为增函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数； 所以在取得极大值，在处取得极小值， 又，， 且， 所以有一个零点，故C错误； 对于D，设切点为， 则切线方程为， 又切线过点， 所以， 化简可得，即， 解得或， 即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的切线只有2条，故D正确； 故选：ABD. 10. 【答案】BCD 【解析】A，由题意可知，显然，A错误； B，由题意可得， 则 ， 也适合，故， 所以 ，B正确； C，，则 ， 当时，， 即，故数列是递增数列，C正确； D，， 故数列的前n项和为 ，D正确， 故选：BCD 11. 【答案】BCD 【分析】利用与的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解. 【解析】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故CD正确. 故选：BCD. 12. 【答案】1 【解析】由，求导得, 曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角, 对任意实数，恒成立，故， 即，解得：，整数的值为1. 故答案为：1 13. 【答案】 【解析】当时，，即， 所以表示以原点为圆心，半径为的上半部分圆， 当时，， 方程有三个不相等的实数根等价于与有三个不同的交点， 又因为直线恒过定点， 又点与点连线的直线的斜率为， 又过点的直线与相切的斜率存在的直线方程为，即， 所以，解得， 由图可知，当时，与有三个不同的交点， 当时，与有三个不同的交点， 综上所述，. 故答案为：. 14. 解析： 当时，即根据上述运算法得出：，此时共3步，结合题干可知后续还需要8步，故当时，使得需要11步雹程； （2）若，用倒推罗列有：（罗列的优点可以不重不漏） 故所有可能的取值集合为． 故m所有可能取值的和为 故第一空为11，第二空答案为190. 15，【解析】（1） 所以的单调递增区间为: (2)由(1)知:在[1,2)上单减，(2,4]上单增，又 所以. 16. 【解析】（1）圆的圆心为，半径为，对任意，直线都与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以 ，得， 所以，， 当时，， 当时，， 综上，对任意，， 设等比数列的公比为，所以， 恰为与的等比中项，， 所以，解得， 所以. （2） 时，， ， 而时, ， 所以. 17. 【解析】（1）直角梯形中，由已知可得，， ∴，即， 又是以为斜边的等腰直角三角形，∴， 取中点，连接，则，， 则，∴， 又，∴， ∴，，而，平面， ∴平面， 因此可以为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 又， ， 直线PB与平面PAC所成角为，则． （2）是的中点，证明如下： ，，，，为的中点， 所以，设， 则， 若点是在平面内，则， 则，解得，所以是的中点. （3）设，，，， ，， 所以点到直线的距离为 ，所以点到直线的距离最大值为. 18【解析】（1）设,由已知得,整理得：,此即为曲线C的方程； （2）经过点F且斜率为的直线的方程为,与曲线C方程联立得： ,消去整理得：, 恒成立, 设,则, ， 设线段的中点为,则，， 线段的中垂线的斜率为，方程为, 令,解得，即为点的纵坐标， ∴, ∴（为定值） 【解析】（1）函数的定义域为， 因为，所以， 设，则， 所以函数在区间上单调递增，即函数在区间上单调递增， 又因为，所以，，在上为减函数， ，，在上为增函数. （2）由（1）得 设切点为，则， 因为，所以，得， 所以 设，则， 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 所以 因为方程仅有一解，所以； （3）因为， 设，则有 所以在单调递增． 因为， 所以存在，使得， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以， 因为，所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $