专题01 平面向量及其应用 4大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）高一数学下学期

**基本信息** 安徽多地高中期末试题汇编，聚焦平面向量四大高频考点，基础题与综合题梯度分布，解三角形结合实际测量情境，体现数学应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|23题|向量概念、数量积、坐标运算、解三角形|基础题占比高，如向量投影向量计算| |多选|8题|向量性质、斜坐标系、三角形性质|结合创新情境，如仿射坐标系应用| |填空|9题|最值问题、坐标运算、三角形面积|注重动态问题，如圆上动点最值| |解答|14题|解三角形、向量综合应用|多问设计，如解三角形结合中线、角平分线|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01平面向量及其应用 ☆4大高频考点概览 考点01平面向量的概念及其数量积运算 考点02平面向量基本定理及其坐标表示 考点03最值问题 考点04平面向量的运用（解三角形） 考点01 平面向量的概念及其数量积运算 单选题 1.(2425高一安微淮北合肥一六八中学教育集团淮北五中分校期末)PM+CB-CM=() A.PB B.B c.PC D.CP 2.(2425高一下安徽宣城期末)已知非零向量品，元满足|=2，=4，园+=5，则品在五上 的投影向量为() A.最 B.最成 C.最i D.最i 3.(24-25高一下安徽宿州、示范高中期末)设三是平面内的两个单位向量，若16，则（目+·石的值 为() A.-V2 B.-1 C.0 D.1 4.(2425高一下·安徽毫州涡阳县期末)已知平面向量a,b满足：=(-1,1)，且.b=-1,则6在a方 向上的投影向量为() A.(3,) B.（-克，) c.() D.（-克-) 二、多选题 5.(2425高一·安徽淮北合肥一六八中学教育集团淮北五中分校期末)关于向量a,乃，下列命题中正确的是 () A.若=引，则a=6 B.若a=b,则a// C.若>l,则>6 D.若a=b,b=,则a=c 6.(24-25高一下·安微安庆江准协作区期末)如图所示，己知Ox,Oy是平面内相交成6(0<日<π)角的 1/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两条数轴，已1，e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为6的仿射坐标系若在的 仿射坐标系下O成=x毛1+y2,则把有序实数对(xy)叫做向量O成的仿射坐标，记为O=(xy) 则() S A.在日=60°的仿射坐标系下，若OM=(2,3),则O=V19 B.在6=30°的仿射坐标系下，若3=(-1,4)，6=(1,2)，则3.6=7 C.在8=120的仿射坐标系下，若O3=(3,-2),00=(1,4),则c0os∠P0Q=.102 247 D.在6的仿射坐标系下，若=(3,1)，石=(1,1)，且号a-t≥1，则cos(言，)≤2 三、解答题 7.(24-25高一下·安微宣城期末)在直角梯形ABCD中，已知AB/DC,AD⊥AB,CD=1,AD=2, AB=3,动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M,且B它=B元，DF=(1-1)D元， 1∈[0,1] ()当入=时，求A正.BD的值： (2)当入=号时，求器的值： (3)求A应+A的取值范围 8.(2425高一下·安微六安第二中学期末)已知向量已，已2满足可=1，|可引=V5,可与的夹角为 雲 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求E·e (2)若E在ē2方向上的投影向量为，求入E-∈R的最小值 9.(23-24高一下·安徽马鞍山第二中学期末)如图，设Ox,Oy是平面内相交成6(0<日<π且日≠号角的 两条数轴，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为6斜坐标系若向量 OP=xe1+ye2'则把有序数对(xy)叫做向量O在6斜坐标系xOy中的坐标，记为O=(xy).已 知在斜坐标系xOy中，a=(xy),=(x2y2) 0 （(1)i证明：京·b=x2+yy2+(xy2+x2y1)cos8: (2)当6=要时，0=（2，V5),求可： (3)当日=号时，若向量a=(cosx2),b=(sinx,2),已知f(x)=京·b,求函数f(x)的最值， 目目 考点02 平面向量基本定理及其坐标表示 一、单选题 1.(24-25高一下安徽宣城期末)向量a=(m-1,1),b=（2,m),则“m=2”是“a/乃”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 2.(2425高一下安微合肥第六中学期末)已知平面向量=(V5,1),6=(0,2),则后+6在6上的投影 向量为() A.(0,3) B.（3,6) C.(0,6) D.(3,3 3.(2425高一下安徽合肥第一中学期末)已知向量=(2，，石=(m,-1)/信-，则实数m=() A.-2 B.3 C.-1 D.6 4.(24-25高一下，安徽蚌埠期末)在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，若 A=mA庙+nA,则m-n=（） 3/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. B.青 C. D. 5.(24-25高一下.安徽毫州涡阳县期末)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A(-1,1),B(2,-3).若 OA1（0A+A庙)，则实数=() A.号 B.3 C. D.2 6.(24-25高一下·安微智学联考期末)在△ABC,点D为线段BC的中点，点O在线段AD上，且 A0=20i,若B0=D元+uAC(1、u为实数)则入+u=() A.哥 B.1 C. D. 7.(24-25高一下安徽智学联考期末)已知=(2,1)，6=(x,-2),若！6，则a+26=() A.(-6,-3)B.(2,1) C.(6,-3) D.(-2-1) 8.(24-25高一下.安徽滁州期末)对于数集X={a,b,c},定义向量集 Y={元=(m,n)川mneX且m≠n}.若存在至少一对不等向量可可2∈Y满足可//2（即两向量平 行)，则称X具有性质L若数集X={1,2,k}具有性质L,则所有可能的k值个数为() A.4 B.5 C.6 D.7 9.(24-25高一下·安徽滁州期末)在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于点F,则E京=() E A.A店名A丽 B.-A丽+A丽 C.A丽A丽 D.-A店+青A丽 10.(24-25高一下安徽滁州期末)若平面向量，6满足=(2，V5),=8,与6的夹角为弯，则6在 三方向上的投影向量为() A.-号 B.·最 C.-最6 D.6 11.(24-25高一下·安徽合肥庐江县·期末)人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种 技术，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设平面内有两个点Axy,),Bx2yJ,O为坐标原点，定 义余张相似度为d(A)=cs<AO丽>，余法距离为1-dAB.已知点A停)B0-小，则A, B两点的余弦距离为() 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.支 B.23+5 2 C.25 D.是 二、多选题 12.(24-25高一下安徽合肥第-中学期末)已知△ABC中，Bi=2D元，(B元+2AC)·A庙=0，A=60°， 则下列说法正确的是() A.Ai=寺A店+号AC B.cosB=能 =号 D.AC在A上的投影向量为号A正 13.(24-25高一下·安微合肥百花中学等四校联考期末)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则() A.(a,)=要 B.（2a+b)/b c.（a+)1a D.a在6方向上的投影向量的坐标为(-1,2) 三、填空题 14.(2425高一下安微蚌埠期末)已知向量=(2,1,6=(1，，且(+26)/八2a-可)，则7= 15.(24-25高一下安徽马鞍山期末)已知平面向量a=(t-1,2-t),石=(3，-2)，若a/b,则t= 四、解答题 16.(24-25高一下·安微蚌埠固镇县毛钽厂实验中学期末)平面内给定三个向量 =(3,2,6=（-1,2,c=(4,1 (1)求a与6+的夹角的余弦值： (2)求满足a=mb-n的实数m,n 17.(24-25高-下安徽蚌埠期末)已知平面向量a6满足=(2,4)同=5，(2+可1（自-35 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求向量与6的夹角； (2)求向量2+6的模。 18.(24-25高一下安徽宿州、示范高中期末)已知平面向量=(（1,2，石=（-1,2，=(3,4. (1)求+与的夹角余弦值： (2)若(+k)//(2b-),求实数k的值. 目 考点03 最值问题 一、单选题 1.(24-25高一下·安徽合肥第六中学期末)O,G分别为△ABC的外心和重心，∠BAC=30°，若 Aò.AG=3,则△ABC的面积的最大值(） A.2 B. C. D.9 2.(24-25高一下·安徽合肥第一中学期末)已知△ABC的内切圆圆心为0，半径r=1,且满足 3Aò=店+AC,P是△ABC内切圆上一动点，则BA.B取值范围是() A.[3V5+6,32+6 B.[-23+6,23+6 c.[-62+3,62+3] D.63-2,63+2 二、多选题 3.(24-25高一下.安徽休宁中学期末)已知0为坐标原点，点P1(-sin%,-cosa),P2(sinB,cosF), P3(sin(a+B),cos(a+)),A(0,2),则() A.OP=OP=oP=1B.PF2的最大值为2 C.AP的范围是[1,3] D.∠P1AP3的范围是[0，] 4.(24-25高一下·安徽芜湖期末)己知△ABC,AB=2,AC=3,∠BAC=60°，D为边BC上一点，满足 BD=D元，A⑦=xA+yAC,则下列选项正确的有() A.当入=时，x=寺y=司 B.无论取何值，均有x+y=1 6/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.当2=1时，AD=9 D.当AD过三角形ABC内心时，A=胃 三、填空题 5.(24-25高一下.安微淮北一中期末)已知圆0的半径为3，弦AB=3,D为圆0上一动点，则A.A的 最大值为 6.(24-25高一下·安徽阜阳临泉县期末)在等腰梯形ABCD中，己知AB/DC,AB=4,BC=2, ∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且B它=tB元，D下=D元，则A配·A的最小值为 7.(24-25高一下·安徽智学联考期末)在△ABC,△ABC的面积为V3,AB.A元=2， sinB=2cosA·sinC,△ABC的外接圆为圆0，P为圆0上的点，则PA.PC的最大值为， 目目 考点04 平面向量的运用（解三角形） 一、单选题 1.(24-25高一下·安徽合肥第六中学期末)在△ABC中，内角AB,C的对边分别为a,b,c,分别根据下 列条件解三角形，其中有两解的是() A.a=5,A=40°，B=75° B.a=4,b=5,c=6 C.a=3,b=4,A=30° D.a=2,c=V2,C=60° 2.(24-25高一下·安徽宣城期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知 acosC=(2b-c)cosA,若角A的平分线AD的长为1，则4b+c的最小值为() A.5 B.2V5 C.33 D.45 3.(24-25高一下·安徽合肥第一中学期末)△ABC的三内角A,B,C所对边长分别是a,b,c,若 4三2，则角B的大小为( A.要 B. c.胃 D. 4.(24-25高一下·安徽蚌埠期末)如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度MN,在地 面上选择一个观测点C,在C处测得A处的无人机和该建筑的最高点M的仰角分别为30°，45，无人机距地 7/11 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 面的高度AB为20米，且在A处无人机测得点M的仰角为15，点B,C,N在同一条直线上，则该建筑的高 度MN(单位：米)为() 158 4530° B C A.20V3 B.25V3 c.95 D.40 5.(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB(塔底视为点B, 塔顶视为点A),在山脚下选取了两点C,D(其中A,B,C,D四点在同一个铅垂平面内)，在点C处测 得点A的仰角为30°，在点D处测得点4、B的仰角分别为60°15°，测得CD=36(V3+1)米，则按 此法测得的塔高为() B D A.67米 B.72米 C.74米 D.76米 6.(24-25高一下·安徽安庆江准协作区·期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为α，b,c,若 2 acos B=c=4,且tanC=-号，则△ABC的面积为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 7.(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学期末)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若a=8sinA,则() A.b=8sinB B.c=8sinC C.△ABC的外接圆半径为8 D.△ABC的外接圆半径为4 8.(24-25高一下·安徽合肥庐江县期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=言， a=5,且该三角形有两解，则b的值可以为() A.3 B.5 C.6 D.7 8/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 9.(24-25高一下，安徽合肥第六中学期末)在锐角△ABC中，内角AB,C所对的边分别为a,b,c,且 5(tanA+anB)=,a=2,则5b-c的取值花围是 10.(2425高一下安微合肥第一中学期末)在圆内接四边形ABCD中，∠DBA=,2BD=V3AB,若 AC=2V6,则△BCD的面积最大值为 D 11.(24-25高一下，安微毫州涡阳县期末)在平面四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=6,DA=7, 则CA.B的值为 12.(24-25高一下安徽芜湖期末)长度分别为4和4y2的线段AC、BD交于点0，并且满足∠B0C=45°， BC=AD,记∠CAD=,∠CBD=B,V5sin2&+cosB=5,则0C= 四、解答题 13.(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)记△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,满足 acosB+(2c+b)CosA=0. (1)求角A: ②若a=3,D为BC的中点且AD=号，求b,c 14.(24-25高一下，安微宣城期末)已知△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的周长为 3bsinc sinB+sin G-sinA (1)求角A: (2)若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的最大值 15.(24-25高一下·安微蚌埠期末)在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A,B的坐标分别为(4,1)，(7,5) (1)若顶点C的坐标为(2,0)，求△ABC的面积； (2)若∠C=号，求锐角△ABC周长的取值范围 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(24-25高一下·安徽宿州、示范高中.期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知 a(5simB+cosB)=b+c,D为边BC上一点，且AD=2: (1)求角A的大小： (2)若BD=2DC,且号=V3-1,求a的值： (3)若AD为角平分线，求AB+3BD的最小值， 17.(24-25高一下.安徽安庆江淮协作区·期末)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点M 在线段BC上，AM=(A庙+AC),A=寺AC,线段AM,BN交于点P.(注：S△BMP,S△4BC分别 表示△BMP,△ABC的面积) 0)求品的值： (2)若S△4Bc=2a=24, (i)求品c十品的值： ()求能的最大值 18.(24-25高一下安徽毫州涡阳县期末)已知向量a=(c0s23°，cos67·),石=(cos68°，cos22°)， c=a+tb,t∈R设的最小值为p (1)求P的值； (2)在△ABC中，AD为其中线，且BC=2W2P,AB+AC=7.设AD=y,AC=x,求y关于x的函数 关系式，并求y的最小值， 19.(24-25高一下·安微毫州涡阳县期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c.己知 V3sinC=cosB,Ha2+b2-c2=V3 ab (I)求角B的大小： (2)若c=2V2,求△ABC的面积 20.(24-25高一下·安微滁州期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=30°， b=V2,c=2,求A,C,a 21.(24-25高一下，安微阜阳临泉县期末)已知△ABC的面积为S,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.从 ①层二34，②S三孕a2+c2.6两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题 (1)求角B的大小： 10/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)延长AB至D点，延长CB至E点，连接DB,若CB=BE=V5,AD=V5,证明：AC=DE 22.(24-25高一下·安微芜湖期末)在△ABC中，角AB,C所对的边分别为 ab,ci=(a-ccos8,9),i=(bsinC,1),且i/元 (1)求角C的大小： (2)若c=V3,求△ABC的面积的最大值： (3)若a=1,a>b,△ABC的角C的外角平分线交直线AB于点D,且CD=2AC,求CD长. 11/11 专题01 平面向量及其应用 4大高频考点概览 考点01 平面向量的概念及其数量积运算 考点02 平面向量基本定理及其坐标表示 考点03 最值问题 考点04 平面向量的运用（解三角形） 地 城 考点01 平面向量的概念及其数量积运算 一、单选题 1．(24-25高一·安徽淮北合肥一六八中学教育集团淮北五中分校·期末)（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽淮北市合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2024-2025学年第二学期期末考试高一年级数学试题 【详解】利用平面向量加减运算求解即可． 【解答】 ． 2．(24-25高一下·安徽宣城·期末)已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省宣城市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试题 【分析】由，两边平方可求得，进而利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，的以， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 3．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)设是平面内的两个单位向量，若⊥，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【来源】安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测数学试题 【分析】根据单位向量垂直得到，，进而由向量数量积运算法则计算出答案. 【详解】因为与是单位向量，且⊥，所以，且， 所以． 故选：D 4．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试卷 【分析】直接根据投影向量公式求解. 【详解】由题意得，在方向上的投影向量. 故选：C 二、多选题 5．(24-25高一·安徽淮北合肥一六八中学教育集团淮北五中分校·期末)关于向量，，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【来源】安徽淮北市合肥一六八中学教育集团淮北五中分校2024-2025学年第二学期期末考试高一年级数学试题 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 6．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)如图所示，已知Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为的仿射坐标系.若在的仿射坐标系下，则把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记为.则（   ）    A．在的仿射坐标系下，若，则 B．在的仿射坐标系下，若，，则 C．在的仿射坐标系下，若，，则 D．在的仿射坐标系下，若，，且，则 【答案】ACD 【来源】安徽省安庆市江淮协作区2024-2025学年高一下学期7月期末联合监测数学试题 【分析】由，利用向量的数量积的运算律，可判定A正确；根据向量的数量积的计算公式，可判定B错误；利用向量的夹角公式，求得的值，可判定C正确；由，求得，结合向量的夹角公式和三角函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为，可得，所以A正确； 对于B中，，，所以，所以B错误； 对于C中，由， 且， ， 所以，所以C正确； 对于D中，由， ， ， 又因为，所以， 可得对任意恒成立， 因为，所以，解得， 又因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、解答题 7．(24-25高一下·安徽宣城·期末)在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【来源】安徽省宣城市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试题 【分析】（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可； （2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求； （3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 8．(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)已知向量，满足，，与的夹角为. (1)求； (2)若在方向上的投影向量为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【来源】安徽省六安第二中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）根据数量积定义运算即可； （2）求出投影向量，根据数量积的运算法则化简后利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以. （2）在方向上的投影向量为. 所以， 当时，的最小值为. 9．(23-24高一下·安徽马鞍山第二中学·期末)如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. (1)证明：； (2)当时，，求； (3)当时，若向量，，已知，求函数的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)最小值，最大值 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）将分别用的组合来表示，根据点乘的定义计算即可证明. （2）将用来表示，利用余弦定理可求的长度. （3）由（1）可得的解析式，利用化简以后利用三角函数的性质可得的最值. 【详解】（1）， ， . （2）， 如图，中 . （3）， 由（1）可得， 令，则， ， 当时，， 当时，. 地 城 考点02 平面向量基本定理及其坐标表示 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽宣城·期末)向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)已知平面向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 3．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)已知向量，则实数（    ） A．-2 B．3 C．－1 D．6 【答案】A 【分析】可求出，然后根据共线向量坐标运算列式从而解出m的值即可． 【详解】由题意可得，，且， 所以， 故选：A 4．(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【详解】如图，由题，， ， 所以. 故选：A.    5．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示得出和，再结合向量线性运算的坐标表示得出，利用两向量垂直，数量积为0，即可解出实数的值. 【详解】因为，， 所以. 因为， 所以， 即， 解得. 故选：B. 6．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)在，点为线段的中点，点在线段上，且，若（、为实数）.则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算得,得出、的值，得到答案. 【详解】由已知，， 所以． 故选：B． 7．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行得到方程，求出，利用向量坐标运算法则进行计算即可. 【详解】，．． ． 故选：A． 8．(24-25高一下·安徽滁州·期末)对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】若数集，则对应的向量集为，分15种情况讨论即可求解. 【详解】若数集，则对应的向量集为， 若，则，但这不可能，所以不平行， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 由集合中元素的互异性可知，， 综上所述，所有可能的值为：，共7个. 故选：D. 9．(24-25高一下·安徽滁州·期末)在平行四边形中，是的中点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示. 【详解】在平行四边形中，， 所以，， 因为是的中点， 所以，即， 因为， 所以. 故选：B 10．(24-25高一下·安徽滁州·期末)若平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需求出，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意，，与的夹角为， 所以， 在方向上的投影向量为. 故选：A. 11．(24-25高一下·安徽合肥庐江县·期末)人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可. 【详解】根据题意，， 则， 所以两点的余弦距离为. 故选：D. 二、多选题 12．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)已知中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性关系化简判断A，再应用图形特征计算判断B，C，应用投影向量定义计算判断D. 【详解】中，，则，所以，A正确； 延长至E使，连接， 因为，则，不妨设，则， ， 由余弦定理得，所以B正确； ，C正确； 过作，交于，，所以在上的投影向量，D错误. 故选：ABC. 13．(24-25高一下·安徽合肥百花中学等四校联考·期末)已知向量，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据向量的加减法运算、平行和垂直的判定，以及投影向量公式逐项进行分析判断. 【详解】选项A:已知向量，， 所以，，故A对； 选项B:因为，而，故B错； 选项C:因为，，故C对； 选项D:根据投影向量公式：，故D对. 故选:ACD. 三、填空题 14．(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)已知向量，且，则____________. 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求得，再根据两向量平行的坐标关系运算得解. 【详解】，， 由，则，解得. 故答案为：. 15．(24-25高一下·安徽马鞍山·期末)已知平面向量，，若，则______. 【答案】4 【分析】利用平面向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】由，则，解得. 故答案为：4. 四、解答题 16．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)平面内给定三个向量. (1)求与的夹角的余弦值； (2)求满足的实数m，n. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量的坐标公式求出的值. 【详解】（1）因为， 所以，所以. （2）因为，且， 所以， ，解得. 17．(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)已知平面向量满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量的模. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题，结合向量数量积的运算律求得，利用向量夹角公式求解； （2）将向量的模长转化为向量的数量积运算得解. 【详解】（1）由题意， 所以， 即， . . . （2）. 18．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)已知平面向量． (1)求与的夹角余弦值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值. 【详解】（1）由已知，， 所以. （2）由已知，， 因此由，可得， 解得． 地 城 考点03 最值问题 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设为边中点，连接，作于，即为中点，求得，，化简得，再通过面积公式和基本不等式即可得到答案. 【详解】设为边中点，连接，作于，即为中点，    因为， 同理， 则 ， 所以，因为， 所以的面积为， 当且仅当时取等号. 故选：B 2．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)已知的内切圆圆心为，半径，且满足是内切圆上一动点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】是重心，也是内心，是等边三角形，建立直角坐标系，写出点的坐标，设，求出，利用三角函数有界性求出的取值范围. 【详解】由，易知是重心， 又已知的内切圆圆心为，所以也是内心， 由三线合一可知是等边三角形. 如图，以为坐标原点，所在直线为y轴，平行于的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，， 所以， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以取值范围是 故选：B 二、多选题 3．(24-25高一下·安徽休宁中学·期末)已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B．的最大值为 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ACD 【分析】根据向量运算的坐标表示，列出关系式，根据三角恒等变换中的二倍角公式和两角和的余弦公式对各等式化简，运用三角函数的值域，分别判断各选项正误，结合单位圆的切线情况，判断D的正误. 【详解】已知，，，， 所以，，， ，，，所以A正确. ， 则 ， 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误. ， 因为，所以，所以的范围是，所以C正确. 当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动， 如图所示，当点与点重合时，最小时为0， 当都与单位圆相切时，最大， 此时可知,所以， 同理可得，，此时，所以D正确. 故选：ACD. 4．(24-25高一下·安徽芜湖·期末)已知为边上一点，满足，则下列选项正确的有（    ） A．当时， B．无论取何值，均有 C．当时， D．当过三角形内心时， 【答案】BC 【分析】根据题意，，则，则可判断ABC；根据角平分线性质可得，可判断D. 【详解】 根据题意，， 所以， 当时，则， 所以，A错误； 无论取何值，，即，B正确； 当时，， 则 ，C正确； 当过三角形内心时，即为角的角平均分线， 则，即，D错误. 故选：BC 三、填空题 5．(24-25高一下·安徽淮北一中·期末)已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【详解】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 6．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求出、坐标，再求数量积，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】如下图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 可得， 由，得，解得， ，当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 7．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)在，的面积为，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理可得为正三角形，再取中点，利用数量积的运算律求出最大值. 【详解】依题意，，，则，由，得，， 又，则，为正三角形，取中点，连接， 由正弦定理得，， ，当且仅当点在线段上，即点与重合时取等号， ， 所以当点与重合时，取得最大值2. 故答案为：2 地 城 考点04 平面向量的运用（解三角形） 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 2．(24-25高一下·安徽宣城·期末)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的平分线的长为1，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理的边角互化可得，再由，根据三角形的面积公式可得，即，再由基本不等式即可求解. 【详解】由及正弦定理，得， 所以，所以 因为，， 所以，即. ， 所以， 所以，即，所以， 所以，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 3．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 4．(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 5．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A、B的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为（   ） A．67米 B．72米 C．74米 D．76米 【答案】B 【分析】设直线CD与AB交于点E，分别用表示出， 利用解出，再解出，最后出塔高即可. 【详解】设直线CD与AB交于点E，则， 由题意，， 又，且，代入解得， 从而， 进而， 所以塔高米． 故选：B 6．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用余弦定理化简求得，且，，再由余弦定理，列出方程，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以. 故选：B. 二、多选题 7．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理即可判断选项. 【详解】根据正弦定理得，则. 所以的外接圆半径为4，所以C错误D正确； 根据正弦定理可得， 所以，所以A,B正确； 故选：ABD. 8．(24-25高一下·安徽合肥庐江县·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 三、填空题 9．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 10．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)在圆内接四边形中，，若，则的面积最大值为___________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理建立方程，利用两角和的正弦公式展开得，进而求得；设并结合正弦定理表示出，，再利用三角形面积公式，结合二次函数的性质求出最大值. 【详解】在△ABD中，， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以，所以； 所以是四边形外接圆直径，故， 设，则， 在中，， 由正弦定理得， 即， 在中，， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 11．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)在平面四边形中，，，，，则的值为______. 【答案】 【分析】利用向量减法的法则和定义法求解数量积可得，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 12．(24-25高一下·安徽芜湖·期末)长度分别为4和的线段、交于点，并且满足，，记，则__________. 【答案】/ 【分析】设，在、中分别利用正弦定理得出的关系式，再消去得出，结合即可求出的三角函数值，即可求出，. 【详解】设， 则在、中分别利用正弦定理得， ，， 则，，，， 因，则， ， 两式相除得，， 化简得， 因，则，则， 则， 即，得或（舍）， 则，， 代入中有， 得， 故. 故答案为： 四、解答题 13．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)记的内角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若，为的中点且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式将已知化为，利用化简得，根据角的范围即可求解. （2）将平方得，再根据余弦定理得，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可知：， 所以，即， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以． （2）在中，因为， 所以. 所以①， 又由余弦定理，所以②． 联立①②可得． 14．(24-25高一下·安徽宣城·期末)已知的内角的对边分别为，且的周长为. (1)求角； (2)若外接圆的面积为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形周长公式和正弦定理表示已知条件，对等式进行变形，根据余弦定理得到，即可求； （2）根据外接圆面积求外接圆半径，利用正弦定理求的值，结合余弦定理和基本不等式求得最大值，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）的周长为， 根据正弦定理，， 依题意，，即，， ，，， 根据余弦定理，，且， 故. （2）设外接圆的半径为，依题意，解得， 根据正弦定理，，即， 根据余弦定理，， 即，， 根据基本不等式，，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 因此，面积，当且仅当时取等， 综上，当时，面积取最大值. 15．(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. (1)若顶点的坐标为，求的面积； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角公式求出，结合平方关系求得，由三角形面积公式得解； （2）由正弦定理可得，结合条件和三角恒等变换化简可得，结合角的范围求解，从而得到答案. 【详解】（1）由题意， ， ， ， 所以的面积为. （2）设角所对的边分别分， ， ， ， 因为是锐角三角形，，得， ，故， ， 即周长的取值范围为. 16．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出； （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，由余弦定理求出； （3）若AD为角平分线，则，在中，由正弦定理得到，，故，根据基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由已知， 由正弦定理，可得， 又因为，代入上式， 化简得：， 因为中，，所以，从而， 故，因为，所以． （2）因为， 所以， 由（1）知，， 所以 ， 由已知，所以，即， 又，联立两式解得，， 由余弦定理，可得，即． （3）若AD为角平分线，则， 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，， 所以 即， 又因为，所以，， 从而， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 17．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在线段BC上，，，线段AM，BN交于点P.（注：，分别表示，的面积） (1)求的值； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）3；（ⅱ） 【分析】（1）设，求得，，根据、P、N三点共线，列出方程，求得，得到为AM中点，进而求得的值； （2）（ⅰ）由，求得，利用正弦定理得到，进而得到，等式两边同除，即可得证； （ⅱ）解法1：由（ⅰ）得，化简，令，得到，转化为有实数解，结合二次函数的性质，即可求解； 解法2：由正弦定理得到，设，利用海伦公式，化简得到令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，设， 可得， ， 因为、P、N三点共线，可得，所以，解得， 所以为AM中点，则，即. （2）解：（ⅰ）由题意知：，， 因为，所以，可得， 由正弦定理，可得，所以， 因为，可得，所以， 即， 等式两边同除，可得. （ⅱ）解法一：由（ⅰ）知，，可得， 所以， 令，，则， 即有实数解； ①若，可得，，即，符合题意，此时； ②若，则满足，即， 解得且； 综合①②，的最大值为； 解法二：因为，可得，由正弦定理得：， 设，则， 由海伦公式可知，其中， 可得 ， 令，可得， ①当时，此时； ②当时，该方程为开口向下的二次函数，在顶点处取最大值 所以时，y取值最大，即时，最大， 所以，所以，解得， 此时， 综上可得的最大值为. 18．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)已知向量，，，.设的最小值为. (1)求的值； (2)在中，为其中线，且，.设，，求关于的函数关系式，并求的最小值. 【答案】(1) (2)，其中， 【分析】（1）根据向量的坐标运算求出的表达式，结合三角恒等变换和二次函数的性质求出其最小值； （2）利用向量的平行四边形法则和余弦定理求出关于的函数关系式，最后根据函数性质求出的最小值. 【详解】（1）因为， 所以 . 当时，的最小值. （2）由（1）知，，. 在中，，，，则. 在中，，，，则. 因为，所以. 整理得，，，其中. 因为，所以当时，y取最小值. 19．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，再由即可求解； （2）由（1）知为等腰三角形，再结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得.因为，所以. 又因为，所以. 而，故. （2）由（1）可得. 因为，所以. 所以. 故的面积为. 20．(24-25高一下·安徽滁州·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求，，. 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理得或，然后分别利用正弦定理求出边a，利用内角和为求出角A，即可得解. 【详解】由正弦定理，得， 因为，，所以，于是或. 当时，， 此时 ； 当时，， 此时 . 21．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)已知的面积为，内角，，的对边分别为，，．从①，②两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题． (1)求角的大小； (2)延长至点，延长至点，连接，若，，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角求解；选②，利用余弦定理及三角形面积公式求解. （2）设，利用余弦定理列式计算得证. 【详解】（1）选①，由及正弦定理，得，而， 则，， 由，得，所以. 选②，由、余弦定理及三角形面积公式，得， 则，而，所以. （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因此，所以 \ 22．(24-25高一下·安徽芜湖·期末)在中，角所对的边分别为，且 . (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值； (3)若的角的外角平分线交直线于点，且，求长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量平行得到等式，再通过正弦定理和三角函数的性质求出角； （2）根据余弦定理和基本不等式求出的最大值，进而得到三角形面积的最大值； （3）利用等面积法即可求解. 【详解】（1）由 ，得，即 利用正弦定理，代入化简： 又，代入后得： 因，两边除以，得，即 又，故 （2）由余弦定理，代入得： 由均值不等式，得，即 面积，故最大值为 （3）由题意，， 所以，即， 所以， 因此，. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $