专题02 一元函数的导数及其应用 4大高频考点（期末真题汇编）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集多地区高二期末真题，聚焦导数四大核心考点，通过数学史（牛顿法）、科学情境（蜥蜴体温模型）及实际应用问题，实现概念理解与逻辑推理的分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|题量丰富|导数概念、运算、单调性、极值|结合华罗庚数形结合思想，设置牛顿法数值解法等创新题| |填空|适量|切线方程、导数几何意义|以球体积变化率、切线平行求参数等基础题为主| |解答|综合大题|洛必达法则应用、极值与零点综合|设计“正弦单调区间”“阶值点”等探究性问题，贴近高考压轴题命题趋势|

专题02 一元函数的导数及其应用 4大高频考点概览 考点01导数的概念及其意义 考点02导数的运算 考点03函数的单调性 考点04 函数的极值与最大（小）值 ( 地 城 考点01 导数的概念及其意义 )一、选择题 1．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义列方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 且，， 由曲线在点处的切线方程为， 则， 解得， 故选：B. 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对球体体积公式求导，结合瞬时变化率的定义求时的瞬时变化率. 【详解】因为，所以，故时，的瞬时变化率为. 故选：B 3．（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据导数的定义可直接得解. 【详解】根据导数的定义，. 故选：D. 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 5．（24-25高二下·辽宁·期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据导函数的几何意义，求出曲线上一点的切线斜率，根据切线斜率和导函数值求出切点坐标，进而求出线段长度. 【详解】由得，则当时，； 则曲线在点处的切线斜率为， 令，则，当时，解得， 所以，可知，则， 故选：C. 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 7．（24-25高二下·山东淄博·期末）（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 【答案】ABD 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，代入得到切点，进而求出切线方程判断A，结合给定定义求出的切线方程，再利用赋值法求解判断B，举反例判断C，利用给定定义得到，再结合得到，进而将表示为，再利用导数结合给定定义得到的范围，最后证明结论正确判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，， 则，故的切点为， 而，由导数的几何意义得的斜率为， 得到切线的方程为，化简得，故A正确， 对于B，在中，令，解得， 而，， 则的方程为，令，解得，故B正确， 对于C，当时，，， 不满足，故C错误， 对于D，由题意得在处的切线方程为， 而该方程必过，代入得到， 则，得到， 而， 可得， 由已知得，则单调递增， 而，，得到， 由零点存在性定理得存在作为零点， 随着操作次数的增加，与越来越接近，故， 则，得到， 即成立，故D正确. 故选：ABD 8．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）（多选）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，作出函数图象，根据交点个数，找出函数过原点的切线，再根据斜率关系解题即可. 【详解】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，如图 又因为， 当时，若与图象有两个交点，则需，，，则， 所以时，实数的取值范围为; 当时，与图象只有一个交点，不符合题意； 当时，若与图象有两个交点，则需，，，则， 所以时，实数的取值范围为. 故选：AD 9．（24-25高二下·江苏无锡·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，使得 B．函数的图象是一个中心对称图形 C．曲线有且只有一条斜率为的切线 D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为 【答案】ABD 【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D. 【详解】因为， 当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确； ，所以函数的一个中心对称为，B选项正确； ，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误； 令，，所以， 有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确； 故选：ABD. 10．（24-25高二下·四川成都·期末）（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 【答案】ACD 【分析】对于当时，首先，再利用指对的切线放缩可得；对于B，根据函数的零点，结合图像分析可得，解不等式即可判断；对于C，由恒成立，可得与存在公共零点，然后可解的值；对于D，利用公切线的求解方式，建立方程组，然后判断解得个数即可. 【详解】选项A：当时，，当且仅当时取等号， 又，当且仅当时取等号，，故A正确； 选项B：存在两个零点且， 与的图象有两个交点， 结合图象可知，，即，故B错误； 选项C：恒成立， 又与在定义域内单调递增， 与存在公共零点， 且，故C正确； 选项D：设曲线的切点为，则切线斜率为， ∴切线方程为，即． 设曲线的切点为， ，∴切线斜率为，切线方程为， 即．由题意得，解得， 则，即， 设，则， 设，则， 则由得得， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 则由零点存在性定理可知，使得，即， 又因为当时，，则，则由得； 得，则在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 则由零点存在性定理可知，在和上分别存在一个零点， 则方程存在两个根，和存在两条公切线，故D正确； 故选：ACD． 二、填空题 11．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数，则在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】计算，按照直线方程的点斜式求解. 【详解】由题可知：，所以. 则切线方程为：. 故答案为： 12．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则______． 【答案】4 【分析】变形得到，从而得到，解得． 【详解】因为 ， 所以，解得． 故答案为：4 13．（24-25高二下·河北·期末）已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】通过求导得出曲线在某点处的切线斜率，再根据切线与已知直线平行得到斜率关系，进而得出与的关系式，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，则， ， ， 又曲线在处的切线与直线平行， ，，即， ，当且仅当时，等号成立， 设，则，即， ， 又，， 当时取等号， 此时，,, 处的切线方程为,即,与直线平行，符合题意， 所以的最小值为. 故答案：6． 三、解答题 14．（24-25高二下·河南商丘·期末）“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． (1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； (2)若函数有两个零点，函数有两个零点． ①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； ②试探究与的大小关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，的取值范围是；② 【分析】（1）对函数分别求导，分别求出在点的斜率和函数值，进而求出切线方程. （2）①构造新函数，求导，判断单调性，进而可判断零点范围；②构造新函数，求导，判断单调性，比较零点大小. 【详解】（1）证明：时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 因为， 所以曲线在点处的切线方程是，即． 所以时曲线在点处的切线与曲线也相切． （2）①． 由，得， 令，则与的零点相同，与的零点相同， 又， 时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增；时，单调递减， 所以和在上都是增函数，在上都是减函数， 所以时，时，， 因为有两个零点，即有两个零点， 所以，且解得． 当时，， 又时， 根据洛必达法则可知，时， 所以时， 所以时，在区间和上各有一个零点，所以， 因此，若函数各有两个零点，的取值范围是． ②令，则 与的零点相同，与的零点相同，在区间上是增函数， ， 令，则， 时单调递减；时单调递增； 所以时， 于是时等号仅当时成立， 所以在上是增函数． 所以时，即时； 时，即时； 由①知，所以， 又，所以， 又在区间上是增函数，且， 所以．同理可证， 于是． 15．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义写出切线方程，再把原点带入切线方程即可求解； （2）联立与切线计算出点的坐标，再利用导数的几何意义分别求出即可求解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 因为，所以切线的方程为， 由切线经过原点，把带入切线方程得：， 即或， 所以点的横坐标为或. （2）设点的坐标为，由（1）可知， 切线的方程为，整理得：，与联立得：， 即或， 所以，故， 因此. ( 地 城 考点02 导数的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于，对求导，依据切线斜率为切点处导数值，利用直线的斜率求得此时的点坐标，再用点到直线的距离公式求最小距离即可. 【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于， 设此时，，，则此时点处的切线斜率， 因为，所以，解得，，， 综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小， 最小距离为. 故选：B. 2．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【详解】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B 3．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【详解】， ，解得. 故选：B. 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【详解】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 5．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】由得，由切线方程可得切点横坐标为，进而可得，根据基本不等式可得的最小值为9. 【详解】由得， 由直线与曲线相切可得，得， 故，得，又，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】先求导得，利用奇偶性即可判断A，计算即可判断D，当时，判断即可判断C，进而求解. 【详解】由题意有， 又，所以为奇函数，排除A； 又，排除D； 由，排除C，故B正确. 故选：B. 7．（24-25高二下·浙江杭州·期末）（多选）下列导数计算正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】ACD 【分析】由基本初等函数的法则即可判断选项A，C；由复合函数的求导法则即可判断选项B，D. 【详解】由对数函数的求导法则可得，故选项A正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项B错误； 由基本初等函数的法则可知，故选项C正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】AB 【分析】利用基本初等函数求导公示表可直接判断ABC，易知，求得其导函数直接代入计算即可知D错误. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 二、填空题 9．（24-25高二下·福建漳州·期末）设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 【答案】 【分析】设出切点，求导，根据导数几何意义得到方程，求出，则，故切线方程，即. 【详解】设切线与函数的切点为， 故，所以在处的导数值为， 所以，又因为切点在函数上，即 所以切点为，所以切线方程，即 故答案为： 10．（24-25高二下·辽宁·期末）已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是______． 【答案】 【分析】求导得，根据函数在上单调递增条件，等价于对所有恒成立，分析的条件求出k的值. 【详解】求导得：，函数在上单调递增，则对所有恒成立. 令： 当时：恒成立，所以单调递增. 但当时，，且当时，，即时，，矛盾. 当时： ， 令得极值点： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 此时在处取得最小值：. 若恒成立，则最小值. 令： 则，当时，，递增；当时，，递减. 所以在处取得最大值，此时，因此，仅当时，满足条件. 验证，，其最小值为，故恒成立，函数在上单调递增. 所以，实数的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·辽宁·期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_________℃/min. 【答案】 【分析】由导数的定义，所求蜥蜴体温的瞬时变化率为. 【详解】，，， 即当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为℃/min. 故答案为：. 12．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是_________．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意可知为奇函数，且存在，使得，取基本函数分析判断即可. 【详解】因为函数的导函数为偶函数，所以为奇函数， 所以满足此条件， 因为的图象与直线相切， 所以存在，使得， 若，则， 此时取，则，，满足条件， 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 三、解答题 13．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知函数，且． (1)写出函数的定义域并求出a的值； (2)若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求b的值． 【答案】(1)，2(2). 【分析】（1）利用函数有意义求出定义域；求出导数，由给定的导数值求出. （2）利用导数的几何意义求出切线方程，法1：联立切线方程与，利用判别式求出；法2，利用导数的几何意义求出切点坐标可求解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 则，，所以． （2）由（1）知，则，而， 因此曲线在点处的切线为，即， （法1）由，消去得， 而直线与函数的图象相切，则，所以. （法2）函数的导函数为， 令，解得，则， 于是切线与函数图象的切点为， 代入，即，所以． 14．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据求，再根据导数的几何意义求函数的切线方程. （2）先把问题转化成在区间上有解，再结合基本不等式可求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，故.所以. 因为，. 所以函数在点处的切线方程为： ，即. （2）因为. 由，所以. 所以关于x的不等式在区间上有解，等价于在区间上有解. 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为：. 15．（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数，． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且不等式对任意恒成立，证明：． 【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为．(3)证明见解析 【分析】（1）对已知函数求导得到，求出函数在处的导数值即为切线斜率，再根据点在切线上，得到切线方程；（2）求导得到，令得到，根据导函数的定义域结合符号讨论，得出的单调区间；（3）把已知函数代入不等式，根据的函数性质可知函数在单调递增，由得出关于m的不等式，利用函数性质和导数判断函数的单调性，得到，由解不等式，最终证明结论. 【详解】（1）由题可知，则， 又，所以的图象在点处的切线方程为． （2）由题可知，令，可得， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由题可知不等式即． 因为在上单调递增， ，， 所以，使得． 当时，，即． 设，则在上，， 所以在上单调递减， 所以当时，． 当时，，即． 设，， 则． 令，，则． 令，， 则，得在上单调递增， 所以， 得在上单调递增，所以， 则，在上单调递增， 则． 由题可知，解得． 又，所以． ( 地 城 考点0 3 函数的单调性 ) 一、选择题 1．（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【详解】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性可得函数的图像关于直线成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从而可判断和的大小，从而得结论. 【详解】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 6．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）若函数的定义域为D，且存在，使得，则称是的一个“阶值点”.若函数，，的“阶值点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“阶值点”定义依次求出各函数“阶值点”即可得解. 【详解】对于函数，有，令，所以； 对于函数，有，令即， 因为函数是单调递增函数，且， 所以方程的根即函数的“阶值点”满足； 对于函数，有，令即， 令函数，则， 所以函数在R上单调递增，又， 所以方程的根即函数的“阶值点”满足， 综上. 故选：A 7．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【详解】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故A错误； 同理，，， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，， 所以，故D错误. 故选：C. 8．（24-25高二下·广东广州·期末）（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用题意可构造函数在上单调递减，再利用赋值，借助单调性研究不等式即可得出BCD的判断，对于A则举反例判断即可. 【详解】由于，因为， 所以有， 即函数在上单调递减， 对于A，根据函数在上单调递减，不妨取，满足，此时，故A错误； 对于B，由，都有， 即 同向不等式可相加得：，故B正确； 对于C，由，可得， 即，故C正确； 对于D，不妨设任意的，都有， 即， ，故D正确； 故选：BCD． 9．（24-25高二下·新疆喀什·期末）（多选）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用导数求出函数的增区间，即可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 因为，由得或， 因此函数的增区间为、. 故选：BD. 10．（24-25高二下·广东东莞·期末）（多选）已知为上的偶函数，，为的导函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设函数，根据条件，求导分析函数的单调性，结合函数的奇偶性，逐项判断真假即可. 【详解】设，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递减， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 所以在上也是单调递减， 又，所以，； 对A：当时，， 因为，所以，故A正确； 对B：因为在上单调递减，所以， 即，故B错误； 对C：因为在上单调递减， 所以，故C正确； 对D：因为在上单调递减，所以， 即， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 二、填空题 11．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【分析】由在恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 13．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有； ④存在a，使得在上有四个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①④ 【分析】需要结合导数与函数的性质进行分析. 【详解】对于①，当时，函数，，在区间上，恒成立，即为增函数，故①正确， 对于②，当时，函数，当时，，没有最小值，又，没有最小值，故②错误. 对于③，当时，令，即，需要分析与的交点间距， 当取很大的负数，（令，），则，零点满足，则在内为正，单调递增， 当足够大时，零点可能出现在和，两区间的间距为， 即存在零点间距大于，故③错误. 对于④，令，即在上有四个解， 取（令），则，即在上有四个解， 在上，在单调递增，在单调递减；单调递增且，故有两个零点, 在上，单调递增； 单调递增且， 当，，时，两个函数重合，故可能有两个零点， 存在a，使得在上有四个零点，故④正确， 故答案为：①④. 14．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】(1)根据导数的几何意义，求得函数在处的切线斜率，并根据切点是函数图象与切线的交点，可求得实数a，b的值. (2)根据函数在上单调，得或在上恒成立，从而列出关于的不等式，求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数，所以. 所以. 所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 （2）解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立， 所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 15．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）给定函数，设，若存在实数，，使得在区间上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)写出的一个“正弦单调区间”，并求出的“正弦单调值”； (2)若，求证：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，，当，变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数，的取值集合． 【答案】(1)“正弦单调区间”为，“正弦单调值”为(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由可知在上递增，得到“正弦单调区间”和“正弦单调值”； （2）由，利用辅助角公式化简，利用整体角意识求解单调增区间可得； （3）求出当时，的单调区间，求出的“正弦单调值”为，再讨论其他情况下的“正弦单调值”都小于即可. 【详解】（1）当时，， 当，即上单调递增， 当，即上单调递减， 令，所以在上递增，在上递减. 故存在闭区间，使得在上严格单调， 即“正弦单调区间”为，“正弦单调值”为. （2）当时，， 则，其中， 要使存在“正弦单调区间”， 则包含原点在内的单调区间应为严格递增区间. 又. ①当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； ②当时，其中辅助角， 不妨设，由， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 综上所述，的“正弦单调值”为定值. （3）当时，，，其中. ①当时，，此时为偶函数， 则在包含的任意区间上，不可能是严格单调函数， 即不存在“正弦单调区间”； ②当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上严格单调递增，即， 当时，， 令，即，解得， 由，则当时，函数的单调增区间为， 即的最大值为； 当时，， 当时，则， 由零点存在性定理可知，存在，使； 当时，， 则由零点存在性定理可知，存在，使. 当时，. 令，得， 其中. 如图，在同一直角坐标系中分别作函数的图象， 由图可知为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点， 又由，得， 则， 令，故有，则. 由图可知， 当时，，此时. 故当时，，， 则， 在上单调递增； 当时，； 当时，，， 则，在上单调递增； 故可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. 当时，同理可得如下结论（如图）： 为函数在内的唯一零点，且为异号零点； 为函数在内的唯一零点，且为异号零点. 且由，得，， 同理可知， 且可得当时，，在上单调递增； 又为异号零点，故，且； 因此有，故此时， 所以，当时，的“正弦单调值”小于. ③当时，由，要使存在“正弦单调区间”， 则需要满足在上单调递减，即， 各类情况与时同理可得. 综上所述，当变化时，的“正弦单调值”的最大值为， 故的“正弦单调值”取最大值时实数的取值集合为． ( 地 城 考点0 4 函数的极值与最大（小）值 ) 一、选择题 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）关于的方程有实根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设实根为，则，转化为动点在直线，利用的几何意义，将问题转化为求原点到直线距离的最小值，再构造函数求解并验证最值取到即可. 【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 点到直线的距离， 设，函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，，则， 检验：当时，，由，解得，此时； 由，解得，此时， 所以的最小值为. 故选：B 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可知分别求得两函数在规定区间上的单调性以及对应值域，再由两函数值域的包含关系，解不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】根据题意可知，，当且仅当时取等号， 则由对勾函数性质可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值，又，， 所以在上的值域为. 又函数，则， 令，得，， 当，，则在区间上单调递增； 当，，则在区间上单调递减； 所以当时，取到极大值也是最大值， 又，，所以在上的值域为， 由对于任意，都存在，使得， 则得，即，解得. 故选：D. 5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【分析】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和曲线相切得到，结合导数及函数零点的个数可得答案. 【详解】由点不在函数的图象上，得，则， 设过点的直线与的图象相切于点，， 切线方程为，则， 整理得，令，依题意，函数只有一个零点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 要使仅有一个零点，当且仅当， 解得或，所以实数的取值范围为 故选：C 7．（24-25高二下·四川成都·期末）函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析三次函数的性质，根据三次函数零点个数求参数的取值范围. 【详解】因为，所以. 若，则在上恒成立，结合三次函数的图象和性质，函数只有一个零点. 若，由或；由. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 因为函数只有一个零点. 所以或. 由； 由，在上无解. 综上可知：. 故选：C 8．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据降幂公式化解可得，由，，利用函数图像零点及极值点可得，解不等式即可. 【详解】由， 设，由可得， 如图作出函数在上的图象． 由图，要使函数在上只有一个零点和两个最大值点， 需使，解得． 故选：A． 9．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）（多选）已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 【答案】BCD 【分析】利用导数的正负来分析函数的单调性，从而可以确定是否有极值，然后利用最小值大于0来确定函数没有零点，对于选项D，则利用分离参变量，构造函数求导，研究单调性及取值规律，从而可确定参数范围. 【详解】当时，，则， 由，因为定义域， 所以的单调减区间为和，故A错误； 由，可得， 由于，则可解得， 所以在上单调递增，同上可得：在和上单调递减， 则的极小值为，无极大值，故B正确； 当时，，此时函数无零点， 当时，由上可得， 因为，所以，即， 则此时函数也无零点，故C正确； 由方程可得：， 令，则， 由，可得，由，可得， 则在时单调递减，在时单调递增， 又因为，当时，，当时，， 所以要使得方程有两个实数解，则只需要，故D正确； 故选：BCD. 10．（24-25高二下·广东湛江·期末）（多选）函数，则下列结论正确的是（   ） A．若有极值点，则 B．无论取何值，都存在，使得成立 C．的对称点在直线上 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据函数有极值点可知导函数存在两个不同零点，根据可构造不等式求得A错误；将问题转化为与有交点，利用导数可求得单调性，并得到的值域，由此可确定B正确；由可确定C正确；利用交点式可表示出，根据对应项系数相等，并利用所得等量关系化简可得D正确. 【详解】对于A，有极值点，有两个不等的零点， ，解得：，A错误； 对于B，当时，若成立，则在上有根； 在上有根， 令，则与有交点， ，在上单调递减， 当时，；当时，；， 无论取何值，与均有交点，即至少存在一个正根，B正确； 对于C， ， 的对称点为，的对称点在直线上，C正确； 对于D，，必有极值点，知； ， ，，， ， ，，，D正确. 故选：BCD. 二、填空题 11．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 【答案】 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最小值. 【详解】由题意可得，即，所以， 又因，所以在上单调递增， 则由，可得，则， 令，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，即，故， 所以． 12．（24-25高二下·福建漳州·期末），且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】设对原不等式进行变形得到，令函数，不等式等价为，即在上单调递减.再利用导数结合单调递减充要条件，得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】设（且），原不等式可变形为： ，整理得，即”， 令函数，，则上述不等式等价于， 即在上单调递减； 又，则在上恒成立， 因（），故等价于. 令，，则， 因且时，故，即在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 13．（24-25高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)减区间，增区间(2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【详解】（1），若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. （2）由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 14．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 15．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元函数的导数及其应用 4大高频考点概览 考点01导数的概念及其意义 考点02导数的运算 考点03函数的单调性 考点04 函数的极值与最大（小）值 ( 地 城 考点01 导数的概念及其意义 )一、选择题 1．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ） A．0 B． C．1 D．2 2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·辽宁·期末）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D．1 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东淄博·期末）（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值.已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．切线的方程为 B． C． D．设，则 8．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）（多选）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 9．（24-25高二下·江苏无锡·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．，使得 B．函数的图象是一个中心对称图形 C．曲线有且只有一条斜率为的切线 D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为 10．（24-25高二下·四川成都·期末）（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若恒成立，则 D．当时，与存在两条公切线 二、填空题 11．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数，则在点处的切线方程为______． 12．（24-25高二下·辽宁抚顺·期末）已知函数在处可导，若，则______． 13．（24-25高二下·河北·期末）已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为______． 三、解答题 14．（24-25高二下·河南商丘·期末）“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数，的导数都存在，且，如果是常数）时，或或，且（是常数），则时，． 已知函数． (1)证明：时曲线在点处的切线与曲线也相切； (2)若函数有两个零点，函数有两个零点． ①指出的大致范围（不必说明理由），并求出的取值范围； ②试探究与的大小关系． 15．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知 函数图像上一点处的切线为. (1)当经过坐标原点时，求点 的横坐标； (2)若与曲线交于另一点， 在点处的切线为， 记，的斜率分别为，， 求 的值. ( 地 城 考点02 导数的运算 ) 一、选择题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．10 D．9 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A．B．C． D． 7．（24-25高二下·浙江杭州·期末）（多选）下列导数计算正确的是（   ） A．B．C． D． 8．（24-25高二下·福建漳州·期末）（多选）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 二、填空题 9．（24-25高二下·福建漳州·期末）设曲线的斜率为的切线为，则的方程为____________． 10．（24-25高二下·辽宁·期末）已知在上单调递增，则实数的所有取值构成的集合是______． 11．（24-25高二下·辽宁·期末）已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：℃），为太阳落山后的时间（单位：min）.当min时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_________℃/min. 12．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数的导函数为偶函数，且的图象与直线相切，则可以是_________．（写出一个满足条件的函数解析式即可） 三、解答题 13．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知函数，且． (1)写出函数的定义域并求出a的值； (2)若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求b的值． 14．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)已知，若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 15．（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数，． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且不等式对任意恒成立，证明：． 一、选择题 1．（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 4．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）若函数的定义域为D，且存在，使得，则称是的一个“阶值点”.若函数，，的“阶值点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·广东广州·期末）（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·新疆喀什·期末）（多选）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·广东东莞·期末）（多选）已知为上的偶函数，，为的导函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C． D． 二、填空题 11．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 12．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______. 13．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②当时，有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有； ④存在a，使得在上有四个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 14．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 15．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）给定函数，设，若存在实数，，使得在区间上是严格单调函数，则称为的“正弦单调区间”，并将的最大值称为的“正弦单调值”． (1)写出的一个“正弦单调区间”，并求出的“正弦单调值”； (2)若，求证：对任意的非零实数，的“正弦单调值”为定值； (3)若，，当，变化时，求的“正弦单调值”的最大值，以及的“正弦单调值”取最大值时实数，的取值集合． ( 地 城 考点0 4 函数的极值与最大（小）值 ) 一、选择题 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）关于的方程有实根，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川成都·期末）函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·贵州黔西南·期末）（多选）已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 10．（24-25高二下·广东湛江·期末）（多选）函数，则下列结论正确的是（   ） A．若有极值点，则 B．无论取何值，都存在，使得成立 C．的对称点在直线上 D．若，则 二、填空题 11．（24-25高二下·四川广安·期末）设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 12．（24-25高二下·福建漳州·期末），且，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 三、解答题 13．（24-25高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 14．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 15．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $