专题07 概率（6个考点）（期末真题汇编，福建专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 福建多地高一下期末概率专题汇编，含6大高频考点，以真实情境（如知识竞赛、身高测量）设题，基础题与综合压轴题梯度清晰。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|19题|古典概型（第1、3题）、事件类型判断（第18、19题）|结合分层抽样（第1题）、频率分布直方图（第4题）考查应用| |填空|3题|概率性质（第14、15题）、古典概型计算（第6题）|直接考查互斥事件概率公式（第15题）| |解答|23题|独立事件概率（第25、26题）、频率估计概率（第40题）、压轴题（比赛赛制第45题）|综合题融合统计图表（第10题）与概率计算，压轴题设计复杂情境（如游戏连胜规则第42题）|

专题07 概率 6个高频考点概览 考点01 古典概型求概率 考点02 概率的基本性质 考点03 相互独立事件，互斥事件，对立事件 考点04 相互独立事件求概率 考点05 用频率估计概率 考点06 概率压轴题 考点01 古典概型求概率 1．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·福建南平·期末)从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； (2)对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 3．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. (1)求第六组的频率； (2)估计该校男生身高的中位数； (3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 5．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于10的概率是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 7．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（    ）． A． B． C． D． 8．(24-25高一下·福建漳州·期末)给定两个数组与，称为这两个数组之间的“差异量”，令数组，且集合，． (1)当时，写出的所有可能情况； (2)记，求的概率． 9．(24-25高一下·福建漳州·期末)漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为（    ）． A． B． C． D． 10．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了100份试卷进行调查，这100份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数； (2)已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和17，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和26，求样本中这两组面试成绩的方差； (3)在第一、第二两组中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 11．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（    ） A．10个 B．8个 C．7个 D．6个 12．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 考点02 概率的基本性质 13．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 15．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 16．(24-25高一下·福建莆田·期末)若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 17．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______. 考点03 相互独立事件，互斥事件，对立事件 18．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 19．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)（多选）掷一枚骰子，记事件为掷出的点数小于4，事件为掷出奇数点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件与事件对立 D．事件与事件不相互独立 20．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（    ）． A．M与N为互斥事件 B．M与Q为对立事件 C．N与Q不为互斥事件 D．N与Q为相互独立事件 21．(24-25高一下·福建龙岩·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，则（   ） A．当时， B．当时，事件与事件独立 C．当时， D．当时，事件与事件互斥 22．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 23．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)（多选）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 24．(24-25高一下·福建厦门第一中学·)（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（    ） A．事件是必然事件 B．事件与事件是互斥事件 C．事件包含事件 D．事件与事件是相互独立事件 考点04 相互独立事件求概率 25．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 26．(24-25高一下·福建南平·期末)某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． (1)求李明第二次答题后结束面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 27．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲连胜四场的概率为________；需要进行第五场比赛的概率为________. 28．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 29．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件表示“第一次摸得红球”，事件表示“第二次摸得黄球”， (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件； (2)计算，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由. 30．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)（多选）甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（    ） A．每轮活动中，甲获胜的概率为 B．每轮活动中，平局的概率为 C．甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 D．甲至少获胜两轮的概率为 31．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率． (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 32．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 33．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． (1)求小郑通过的概率； (2)求小林、小郑恰有一人通过的概率； (3)求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． 34．(24-25高一下·福建莆田·期末)黑棋和白棋从数轴的原点出发.每次移动由甲和乙各抛掷一枚质地均匀的硬币决定：若甲掷出正面，则黑棋向右移动一个单位；若甲掷出反面，则黑棋不移动.若乙掷出正面，则白棋向右移动一个单位；若乙掷出反面，则白棋不移动. (1)若甲抛掷3次，求黑棋离开原点的概率； (2)若甲乙各抛掷2次，求黑棋比白棋向右移动更远的概率； (3)现黑棋落后白棋一个单位，若甲再抛掷10次，乙再抛掷9次，求最终黑棋不落后于白棋的概率. 35．(24-25高一下·福建厦门·期末)某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 36．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 37．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． (1)求甲积2分的概率； (2)求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 38．(24-25高一下·福建厦门第一中学·)Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 39．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 考点05 用频率估计概率 40．(24-25高一下·福建厦门第一中学·)已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 41．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 考点06 概率压轴题 42．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 43．(24-25高一下·三明·期末)某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 44．(24-25高一下·福建龙岩·期末)甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 45．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 概率 6个高频考点概览 考点01 古典概型求概率 考点02 概率的基本性质 考点03 相互独立事件，互斥事件，对立事件 考点04 相互独立事件求概率 考点05 用频率估计概率 考点06 概率压轴题 考点01 古典概型求概率 1．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 2．(24-25高一下·福建南平·期末)从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； (2)对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 【答案】(1)，84 (2)答案见解析，． 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用总体百分位数的估计求解第百分位数即可. （2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得．又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前4组的频率为， 前5组的频率为， 故第80百分位数在区间上，因此第80百分位数为． （2）采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为： ，共有10个样本点， 设事件“这2份测试卷成绩都在”， 则，故，从而． 因此，这2份测试卷成绩都在的概率是． 3．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可. 【详解】从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个， 即， 其中能构成三角形的基本事件有3个，即， 故所求概率. 故选：C. 4．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)从三明市某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. (1)求第六组的频率； (2)估计该校男生身高的中位数； (3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）利用频率分布直方图中中位数两侧矩形的面积和（频率）各点50%求解； （3）用列举法写出基本事件，由古典概型概率公式计算. 【详解】（1）因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：， 则第六组的频率为 （2）由图知：身高在的频率为， 身高在的频率为， 身高在的频率为， 因为， 所以设这所学校男生的身高中位数为，则， 由，得， 所以这所学校男生身高的中位数为174.5. （3）样本身高在第六组的人数为，设为， 样本身高在第六组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即， 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生， 所以事件包含的基本事件为共8种情况，即， 根据古典概型概率公式得. 5．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于10的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用列表法求古典概型的概率即可. 【详解】由题设，两次抛掷骰子对应数值为，可能事件如下， 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36种情况， 其中点数之和不大于10的有33种，故概率为. 故选：B 6．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为______． 【答案】/0.4 【分析】列举基本事件，利用古典概型概率公式求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间共10个基本事件，即 用表示“抽到的3张卡片上的数字之和不小于10”，则共4个基本事件，即 所以抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率． 故答案为：. 7．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)一个盒子中装有4支铅笔，其中2支一等品，1支二等品和1支三等品．若从中任取2支铅笔，则恰有1支铅笔是一等品的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法并根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由题意将4支铅笔中2支一等品用，表示，1支二等品用表示，1支三等品用表示， 则从中任取2支的情况为：，，，，，共6种情况， 则恰有1支铅笔是一等品的情况有，，，，共4种符合， 所以恰有1支铅笔是一等品的概率为，故D正确. 故选：D. 8．(24-25高一下·福建漳州·期末)给定两个数组与，称为这两个数组之间的“差异量”，令数组，且集合，． (1)当时，写出的所有可能情况； (2)记，求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意直接写出所有可能的排列即可； （2）根据“差异量”的定义，写出满足的，利用古典概型求解概率即可. 【详解】（1）的所有可能情况为，，，，，； （2）因为，由（1）知，的所有可能情况有6种, 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以满足的有，共2种， 所以的概率为 9．(24-25高一下·福建漳州·期末)漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举出所有情况，结合古典概型公式求解. 【详解】由题知，甲乙可能参观的可能是，共种情况， 在不同楼层的情况为，共种情况， 根据古典概型计算公式，甲乙在不同楼层参观的概率是. 故选：A 10．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了100份试卷进行调查，这100份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数； (2)已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和17，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和26，求样本中这两组面试成绩的方差； (3)在第一、第二两组中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)，， (2)估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是101 (3) 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可； （2）根据方差的计算公式求解即可； （3）根据分层抽样、古典概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， 解得， 由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05 平均数：. （2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为 且两组频率之比为, 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是101 （3）根据分层抽样，和的频率比为 在和中分别选取1人和5人，分别设为和 则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有： 共15个，即 记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共5个，即 . 答:选出的两人来自不同组的概率为. 11．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)有5根木棍，其长度分别为2，3，4，5，6，从这5根木棍中任取3根，首尾相接能构成三角形的有（    ） A．10个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】由题意，确定满足条件的基本事件个数即可． 【详解】根据三角形任意两边之和大于第三边， 所以能组成三角形的有：2，3，4；2，4，5；2，5，6；3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6，共7个， 故选：C． 12．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； (2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； (3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【详解】（1）依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：； 成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人. （2）由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为. （3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 考点02 概率的基本性质 13．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 14．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【分析】利用对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的加法公式求出，最后结合并事件的概率公式求解即可. 【详解】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为： 15．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【答案】 0.6 0.3 【分析】根据事件A的对立事件为求出，因为，则，，从而求出相应概率值. 【详解】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 16．(24-25高一下·福建莆田·期末)若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【分析】首先求得，然后结合即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：B. 17．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______. 【答案】0.7/ 【分析】根据概率的加法公式代入求解即可. 【详解】因为事件与事件发生的概率分别为 ，，且， 所以. 故答案为：0.7. 考点03 相互独立事件，互斥事件，对立事件 18．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 【答案】D 【分析】由互斥事件定义判断A，由对立事件定义判断B，由独立事件定义判断CD. 【详解】由题意， 对于A，，故A正确； 对于B，由题意，且，故B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 19．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)（多选）掷一枚骰子，记事件为掷出的点数小于4，事件为掷出奇数点，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件与事件对立 D．事件与事件不相互独立 【答案】AC 【分析】由古典概型概率计算公式验算AB，由对立的定义判断C，由独立事件的定义判断D. 【详解】由题意， 对于A，，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AC. 20．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（    ）． A．M与N为互斥事件 B．M与Q为对立事件 C．N与Q不为互斥事件 D．N与Q为相互独立事件 【答案】AC 【分析】根据互斥事件、对立事件、以及独立事件的概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于偶数点和奇数点不会同时发生，故M与N为互斥事件，A正确； 由于出现2点时，事件M与Q同时发生，故M与Q不为对立事件，B错误； 由于出现1、3点时，事件N与Q同时发生，N与Q不为互斥事件，C正确； ，, 则，即N与Q不为相互独立事件，D错误， 故选：AC 21．(24-25高一下·福建龙岩·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，则（   ） A．当时， B．当时，事件与事件独立 C．当时， D．当时，事件与事件互斥 【答案】C 【分析】利用列举法求出古典概率，再结合互斥事件、相互独立事件的意义逐项判断. 【详解】当时，样本空间(正正),(正反),(反正),(反反)，(正反),(反正)， (正反),(反正),(反反)， 对于A，是2次正面都朝上，是不可能事件，，A错误； 对于B，，则，B错误； 当时，样本空间(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)， (正正反),(正反正),( 反正正),(正反反),(反正反),(反反正)， (正反反),(反正反),( 反反正),(反反反)， 对于C，，则，C正确； 对于D，事件与事件可以同时发生，D错误. 故选：C 22．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（   ） A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立 【答案】D 【分析】对于AB，根据互斥事件和对立事件的定义结合题意分析判断，对于C，根据分析判断，对于D，根据独立事件的定义分析判断. 【详解】对于AB，由题意可知当朝上的点数为6时，事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B既不互斥，也不对立，所以AB错误； 对于C，由题意可知， 所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以与相互独立，所以D正确. 故选：D 23．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)（多选）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 【答案】BCD 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 24．(24-25高一下·福建厦门第一中学·)（多选）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件“第一次出现奇数点”，事件“两次点数之积为偶数”，事件“两次点数之和为5”，则（    ） A．事件是必然事件 B．事件与事件是互斥事件 C．事件包含事件 D．事件与事件是相互独立事件 【答案】ACD 【分析】列出事件A，B，C，AC的基本事件，再利用事件的基本关系判断. 【详解】解：事件A的基本事件有：， 事件B的基本事件有： ， ，， 事件C的基本事件有： ， 事件AC的基本事件有： ， A.事件是必然事件，故正确； B.因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； C.因为，所以事件包含事件，故正确； D.因为，所以 ， 所以事件与事件是相互独立事件，故正确； 故选：ACD 考点04 相互独立事件求概率 25．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立， ， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 26．(24-25高一下·福建南平·期末)某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． (1)求李明第二次答题后结束面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设表示“李明答对第道题目”，，设表示“李明第二次答题后结束面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）设表示“李明最终通过面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果 【详解】（1）设表示“李明答对第道题目”，．设表示“李明第二次答题后结束面试”， 则，且，互斥． 因为每道题目是否答对是独立的，所以与．相互独立，与相互独立， 于是． （2）设表示“李明最终通过面试”，则且互斥， 所以 ． 因此，李明最终通过面试的概率是． 27．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲连胜四场的概率为________；需要进行第五场比赛的概率为________. 【答案】 /0.0625 /0.75 【分析】根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲连胜四场，则； 记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为 ， 所以需要进行第五场比赛的概率为. 故答案为：； 28．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，还原情境，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可. 【详解】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 29．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件表示“第一次摸得红球”，事件表示“第二次摸得黄球”， (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述事件； (2)计算，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)，不独立，理由见解析 【分析】（1）先设出基本事件，再求出整个样本空间，最后求出目标事件即可. （2）利用古典概型公式求出目标事件的概率，再结合独立事件的概率公式判断即可. 【详解】（1）设2个红球分别标为，2个黄球分别标为， 则从中不放回地依次随机摸出2个球，用表示可能的结果， 设是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号， 则试验的样本空间为， 事件“第一次摸到红球”，即或2， 于是； 事件 “第二次摸到黄球”，即或4， 于是. （2）事件和事件不独立，理由如下： 由（1）得，，， 又因为=，所以. 所以， 则， 因为，所以事件和事件不独立. 30．(24-25高一下·福建福州福九联盟·期末)（多选）甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局.已知每轮中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（    ） A．每轮活动中，甲获胜的概率为 B．每轮活动中，平局的概率为 C．甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 D．甲至少获胜两轮的概率为 【答案】ABD 【分析】先分析甲获胜的情况，再利用独立事件概率公式结合对立事件概率公式判断A，先分析平局的情况，再结合独立事件概率公式，对立事件概率公式，互斥事件概率公式判断B，先分析甲胜一轮且乙胜两轮的情况，再利用独立事件概率公式判断C，先分析甲至少获胜两轮的情况，再结合独立事件概率公式与互斥事件概率公式判断D即可. 【详解】对于A，若甲获胜，则意味着每轮活动中甲答对，乙答错， 由对立事件的概率公式得乙答错的概率为， 而甲答对的概率为，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响， 由独立事件概率公式得甲获胜的概率为，故A正确， 对于B，若两人平局，则意味着每轮活动中甲乙都答对或甲乙都答错， 由对立事件的概率公式得甲答错的概率为， 由独立事件概率公式得甲乙都答对的概率为， 甲乙都答错的概率为，而甲乙都答对和甲乙都答错两个事件互斥， 由互斥事件概率公式得平局的概率为，故B正确， 对于C，若甲胜一轮且乙胜两轮，则三轮之中有一轮甲胜，有种选法， 而乙胜一轮的概率为乙答对且甲答错，概率为， 由题意得各轮活动互不影响，即每轮甲乙的胜负情况相互独立， 则由独立事件概率公式得甲胜一轮且乙胜两轮的概率为，故C错误， 对于D，若甲至少获胜两轮，则甲胜三轮或甲胜两轮， 若从三轮里选两轮甲胜，共有种选法， 则甲胜两轮的概率为，甲胜三轮的概率为， 而甲胜两轮与甲胜三轮互斥，可得甲至少获胜两轮的概率为，故D正确. 故选：ABD 31．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)某高校的社团招聘面试中有4道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有四次答题机会，一旦累计2次答对抽到的题目，则该面试者面试通过，否则面试者就一直抽题到第4次为止，假设每位面试者对抽到的不同题目能否答对是独立的．设事件表示“李明第i次答对题目”，试用分别表示以下问题中的事件，并求对应的事件概率． (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由前2次有一次答对，第3次答对，利用独立事件的概率求解；， （2）根据题意，由前2次都答对，前2次有一次答对，第3次答对和前3次有一次答对，第4次答对求解. 【详解】（1）由题意得：前2次有一次答对，第3次答对，即对应的事件为， 所以李明第三次答题通过面试的概率为：； （2）由题意前2次都答对，或者前2次有一次答对，第3次答对或者前3次有一次答对，第4次答对， 即对应的事件为， 李明最终通过面试的概率. 32．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； (2)求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据对立事件的内涵进行求解即可. （2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后概率之积求得结果. 【详解】（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件， 所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． （2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件， “小胡在两轮比赛中答对题”为事件， “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以，， ，， 所以， 即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为． 33．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)小林和小郑都参加英语口语面试，小林通过的概率为，小林和小郑都能通过的概率为，并且在面试过程中小林与小郑互不影响． (1)求小郑通过的概率； (2)求小林、小郑恰有一人通过的概率； (3)求小林、小郑中至少有一人不通过的概率． 【答案】(1)小郑通过的概率为. (2)小林、小郑恰有一人通过的概率为. (3)小林、小郑中至少有一人不通过的概率为. 【分析】（1）设事件A为“小林通过”，事件B为“小郑通过”，则事件A、B为独立事件，根据独立事件运算规则，结合题给条件求解. （2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过，两种情况为互斥事件，概率为两种情况的和. （3）小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的逆事件,根据对立事件公式计算. 【详解】（1）设事件A为“小林通过”，事件B为“小郑通过”，则事件A、B为独立事件: ，， 所以， 故小郑通过的概率为：. （2）小林、小郑恰有一人通过分两种情况：①小林通过且小郑未通过；②小郑通过且小林未通过.则： ， 故小林、小郑恰有一人通过的概率为：. （3）小林、小郑中“至少有一人不通过”为“两人同时通过”的对立事件，即： 故小林、小郑中至少有一人不通过的概率为：. 34．(24-25高一下·福建莆田·期末)黑棋和白棋从数轴的原点出发.每次移动由甲和乙各抛掷一枚质地均匀的硬币决定：若甲掷出正面，则黑棋向右移动一个单位；若甲掷出反面，则黑棋不移动.若乙掷出正面，则白棋向右移动一个单位；若乙掷出反面，则白棋不移动. (1)若甲抛掷3次，求黑棋离开原点的概率； (2)若甲乙各抛掷2次，求黑棋比白棋向右移动更远的概率； (3)现黑棋落后白棋一个单位，若甲再抛掷10次，乙再抛掷9次，求最终黑棋不落后于白棋的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）思路一：由独立乘法公式、对立事件概率公式求解即可；思路二：由古典概型概率计算公式求解即可； （2）思路一：由独立乘法、互斥加法公式求解即可；思路二：结合二项分布概率公式独立事件定义求结论； （3）思路一：设事件”最终黑棋不落后于白棋“，说明即可得解；思路二：由互斥加法、独立乘法公式证明即可. 【详解】（1）解法一：记事件”甲第次掷出正面“，”乙第次掷出正面“， 则以上事件都相互独立，且. 设事件”黑棋离开原点“，则 ； 解法二：用1表示硬币”正面朝上“，0表示硬币”反面朝上“， 则甲抛掷3次硬币的样本空间 ， 且各个样本点出现的可能性相等，， 设事件”黑棋离开原点“， 则，所以， 所以. （2）设事件”黑棋比白棋向右移动更远“， 则由题意知”甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数“ 解法一：事件包含， 且它们两两互斥， 所以 解法二：事件包含”甲掷出1次正面，乙掷出0次正面“和”甲掷出2次正面，乙掷出0次或1次正面“， 甲掷出1次正面，乙掷出0次正面的概率为， 甲掷出2次正面，乙掷出0次或1次正面的概率为， 所以. （3）解法一：设事件”最终黑棋不落后于白棋“， 甲抛掷10次掷出正面的次数为，乙抛掷9次掷出正面的次数为， 则 ， 即， 又， 所以. 解法二：设事件”最终黑棋不落后于白棋“， 则由题意知”甲抛掷10次掷出正面的次数大于乙抛掷9次掷出正面的次数“， 设事件”各抛掷9次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数“， 事件”各抛掷9次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数“， 事件”各抛掷9次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数"， 则，且， 则 . 35．(24-25高一下·福建厦门·期末)某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【分析】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案； （2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算，再验证与是否相等即可判断. 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 36．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【详解】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 37．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)某班级举办趣味运动会，其中个人比赛分为限时滚铁环和定点投篮两个项目，每个项目只有“过关”与“不过关”两种结果，每项过关积1分，不过关积0分．甲和乙两位同学参加个人比赛，在限时滚铁环和定点投篮两个项目中，假设甲过关的概率分别为，，乙过关的概率分别为，，且甲、乙所有项目是否过关相互之间没有影响． (1)求甲积2分的概率； (2)求甲、乙两人的积分之和不超过3分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出每个事件，再利用独立事件的概率公式求解即可. （2）设出各个事件的概率，再结合独立事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件“甲限时滚铁环过关”， 事件“甲定点投篮过关”，事件“甲积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． （2）设事件“乙限时滚铁环过关”， 事件“乙定点投篮过关”，事件“乙积2分”， 易知与相互独立，则， 由独立事件概率公式得． 又与相互独立， 所以两人的积分之和为4分的概率， 所以两人的积分之和不超过3分的概率为． 38．(24-25高一下·福建厦门第一中学·)Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可. 【详解】（1）由题意可得 即解得或 由于，所以． （2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 39．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是．同样也假定受，和感染的概率都是．在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意得出：因为直接受A感染的人至少是B，而C、D二人也有可能是由A感染的，，，中恰有两人直接受感染为事件．由此可计算出概率． 【详解】设直接受A感染为事件B、C、D， 则事件B、C、D是相互独立的， ，，， 表明除了外，二人中恰有一人是由A感染的， 所以， 所以B、C、D中直接受A传染的人数为2的概率为， 故选：C. 考点05 用频率估计概率 40．(24-25高一下·福建厦门第一中学·)已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 41．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______. 【答案】0.75/ 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 考点06 概率压轴题 42．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【答案】(1)游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 (2)的所有可能取值为． 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解. 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． （2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：      第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 43．(24-25高一下·三明·期末)某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对类每个问题的答对的概率均为0.5.在类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)求小红两轮总分得60分的概率； (3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？ 【答案】(1) (2) (3)小明谁更有机会进入面试环节. 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）小红两轮总分得60分，只能有两种得分情况：小红第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分或当小红第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分，求对应事件的概率再求和即可得解. （3）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小红和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）设“小红两轮总分得60分”为事件，“小红第一轮答错一题得分， 第二轮答对两题得分”为事件;“小红当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”. 则, ; . （3）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小红和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小红晋级复赛的概率分别为： ； 小红晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更有机会进入面试环节. 44．(24-25高一下·福建龙岩·期末)甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设“甲乙两人至少有一人全部答对”，得到两两互斥，且与相互独立，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）设“甲乙两人一共答对三道题”，得到，且，设，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设“甲乙两人至少有一人全部答对”， 则两两互斥，与相互独立， 且，所以． 所以 ． （2）解：由题知，， 设“甲乙两人一共答对三道题”， 则 ． 因为，所以， 设，则在单调递增，单调递减， 所以当时，；当时，，所以， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故甲乙两人一共答对三道题的概率最小值为． 45．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $