2026年中考数学二轮专题突破：函数、方程和不等式综合训练（一）

**基本信息** 聚焦函数、方程与不等式综合应用，以数形结合、分类讨论为核心方法，构建从概念辨析到动态综合的逻辑体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|13题|数形结合判解集、系数关系推结论、根的判别式应用|函数图像与方程、不等式互化，体现“数”与“形”的抽象关联| |解答题|7题|待定系数法求解析式、分类讨论动态平移、方程思想解决交点问题|从静态性质分析到动态综合应用，形成“概念-性质-应用”推理链条|

2026年人教版数学中考二轮专题突破：函数、方程和不等式综合训练（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 或 2.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点下列说法：；；；若，是抛物线上的两点，则；其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.小红同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：该函数有最小值；该函数图象与坐标轴无交点；当时，随的增大而增大；该函数图象关于轴对称；直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.若双曲线在第二、四象限，那么关于的方程的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实根 5.若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象可能经过点(    ) A. B. C. D. 6.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点连接、已知的面积为将抛物线向左平移个单位，记平移后抛物线中随着的增大而增大的部分为当直线与没有公共点时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.设函数是实数，当，，时，对应的函数值分别为，，，(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8.如图，函数为常数，且经过点，对称轴为直线，下列结论：；；；；若点、在此函数图象上，则，其中结论正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则           填“”或“”或“”． 10.如图，抛物线与轴交于点、，直线与此抛物线交于点，与轴交于点，在直线上取点，使，连接、、、，小明根据图象写出下列结论：；当时，；四边形是菱形；其中正确的是            填序号． 11.已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点为线段上一点，且：：，则点的坐标为          ． 12.已知函数与轴交于点，顶点为，直线交轴于点，点在直线上，且横坐标为，现在，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段总有公共点，抛物线向上最多可以平移          个单位长度，向下最多可以平移          个单位长度． 13.已知实数、、满足，有下列结论：当时，；当时，；当，，中有两个相等时，；二次函数与一次函数的图象有个交点．其中正确的有          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为． 根据图象，直接写出满足的的取值范围； 求这两个函数的表达式； 点在线段上，且：：，求点的坐标． 15. 本小题分 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． 求、的值； 已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． 当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； 若，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 16. 本小题分 一次函数与反比例函数图象交于，两点点的横坐标小于点的横坐标． 若点的横坐标为，求一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； 若直线与轴交于点，与轴交于点，当时，求的取值范围． 17.本小题分 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． 求的值； 求函数的解析式； 抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 本小题分 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为． 求顶点的坐标用含有字母的代数式表示； 若点，在抛物线上，且，则的取值范围是______；直接写出结果即可 当时，函数的最小值等于，求的值． 18. 本小题分 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为． 求抛物线及直线的函数关系式； 若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标； 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由． 20.本小题分 已知直线：经过点和点． 求直线的解析式； 若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向下． 求的取值范围； 设抛物线与直线的另一个交点为，当点向左平移个单位长度后得到的点也在上时，求在的图象的最高点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由图形可以看出：抛物线和一次函数的交点的横坐标分别为，， 当时，的取值范围正好在两交点之内，即． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：抛物线开口向下，且交轴于正半轴， ，， 对称轴直线，即， ， ， 故正确； 二次函数的图象过点， ， 故不正确； 又可知， ，即， 故正确； 抛物线开口向下，对称轴是直线，且，， ， 故不正确； 抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ， 故正确， 综上，结论正确， 故选：． 抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，、以及与之间的关系：；根据二次函数图像经过点，可得出，结合，可知；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小；由抛物线开口向下，对称轴是，可知当时，有最大值．据此对各个结论分别判断即可． 本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系． 3.【答案】  【解析】解：列表： 画出函数图象如图， 观察图象： 该函数有最小值，符合题意； 该函数图象与坐标轴无交点，符合题意； 当时，随的增大而增大，不合题意； 该函数图象关于轴对称，符合题意； 令，整理得或， ， 两个方程均有两个不相等的实数根，即共有四个根，且这四个根互不相等． 直线与该函数图象有四个交点，不符合题意， 综上，以上结论正确的有：， 故选：． 利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论． 本题主要考查了函数的图象，函数的增减性，图象与轴的交点，函数的最值．充分利用函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：双曲线在第二、四象限， ， 关于的方程， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：． 由双曲线在第二、四象限，可得出，进而可得出，再利用根的判别式可得出于的方程有两个不相等的实数根． 本题考查了反比例函数图象与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，牢记“的图象在第二、四象限”是解题的关键． 5.【答案】  【解析】本题主要考查反比例函数的性质和根的判别式，根据根的判别式求得的取值范围是解题的关键． 由方程根的情况可求得的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案． 解：关于的一元二次方程无实数根， ，即， 解得， ， 反比例函数的图象经过二、四象限， 反比例函数的图象可能经过点， 故选：． 6.【答案】  【解析】解：， 令，则， 解得或， ，， ， 的面积为． ，即， ， ，， ， 抛物线解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：． 解得 则直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 的取值范围是， 故选：． 根据抛物线解析式即可求得、的坐标，然后根据三角形面积求得的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，把抛物线的顶点纵坐标代入直线的解析式即可求得此时的的值，借助图象即可求得的取值范围． 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，求得抛物线的顶点坐标是解题的关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了不等式的基本性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 先把当，，分别代入函数表达式得出对应的函数值，，，然后根据题意求出，，最后通过排除法，根据不等式的基本性质，得到正确答案． 【解答】 解：当时，， 当时，， 当时，， ，， A、当时，， ，故A答案是错的，不符合题意； B、当时，， ，故B答案是错的，不符合题意； C、当时，， 有可能为，故C答案是错的，不符合题意； D、当时，， 则，故D答案是对的，符合题意． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．根据图象与轴有两个交点，即可判断；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断；根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断；根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断． 【解答】 解：抛物线与轴有两个交点， ， ， 正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， 正确； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， 当时，， ， 错误； 抛物线与轴的一个交点为， ， 抛物线对称轴为， ， ， ， 正确； ， ， 抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， ， 正确； 综上所述，正确； 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由一元二次方程根的情况，求得的值，确定反比例函数图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 【解答】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， ， 反比例函数图象在第一，三象限，在每个象限随的增大而减小， ， ， 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：该抛物线对称轴为直线， ，即， ，故正确； 抛物线与轴交于点，，且开口向下， 当时，，故正确； 点、关于对称轴对称， ， 又，且， 四边形为菱形，故正确； 当时，，即，故错误． 故答案为：． 由对称轴，可得到，即可判断；根据图象及二次函数与轴交点可直观判断；由、关于对称轴对称，得，再结合已知条件可判断；当时，即可判断． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征、菱形的判定，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 先把点坐标代入中求出，得到反比例函数解析式，再解方程组得，设，利用两点间的距离公式得到，然后解关于的方程可得到点的坐标． 【解答】 解：把代入得， 反比例函数解析式为， 解方程组得或，则， 设，则，， ， ， 整理得，解得，舍去， 点的坐标为 故答案为 12.【答案】   【解析】解：对于，令，则， 故点的坐标为， 而， 顶点的坐标为， 设直线解析式为． 则，解得， 直线解析式为， ，， 若抛物线向下移个单位，其解析式， 联立得， ， ， 向下最多可平移个单位， 若抛物线向上移个单位，其解析式， 当时，， 当时，， 要使抛物线与有公共点，则或， ， 综上，要使抛物线与有公共点，向上最多可平移个单位，向下最多可平移个单位． 故答案为：，． 求出直线解析式为，若抛物线向下移个单位，其解析式，由，得到，进而求解． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度． 13.【答案】  【解析】解：当时，， 由，可得， 两边除以得到：，故正确， 当时，， ，故错误， 当时，可得， 当时，，若则，若，则，解得，故错误， 由，可得， ， 二次函数与一次函数的图象有个交点，故正确． 故答案为 根据条件利用等式的性质，二次函数的性质，一次函数的性质一一判断即可． 本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为． 由图象可得：的的取值范围是或； 反比例函数的图象过点， ，， 一次函数的图象过点，点 解得：， 直线解析式，反比例函数的解析式为； 设直线与轴的交点为， ， ， ， ：：， ， ，， ， ， 点在线段上， ，   【解析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键． 根据一次函数图象在反比例函数图象的上方，可求的取值范围； 将点，点坐标代入两个解析式可求，，，的值，从而求得解析式； 先求出和的面积，根据：：，得，求出，从而求出，计算即可得答案． 15.【答案】解：将代入， ， ， 将代入， ， 当时，， 令，代入， ， ， ， ， 令代入， ， ， ， 或  【解析】【分析】 本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，属于中档题． 将点代入中即可求出的值，然后将的坐标代入反比例函数中即可求出的值． 当时，分别求出、两点的坐标即可求出与的关系； 由题意可知：的坐标为，由于，从而可知，根据图象可求出的范围． 【解答】 解：见答案； ， 点在直线上， 过点作平行于轴的直线，交直线于点， ， ， ， 即， ， 或． 16.【答案】解：把代入，得， ． 把的坐标代入数得，， 解得． 一次函数的表达式为． 根据函数的对称性，点的坐标为． 直线与轴交于点，与轴交于点， ，， 、关于直线对称， 、关于直线对称， 当时，如图， 当时，则， ， 负值舍去， 把代入，， 由图象可知，当时，． 当时，如图， 当时，则， ， 正值舍去， 把代入得，， ， 由图象可知，当时，， 综上，当时，或．  【解析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及函数的对称，分类讨论是解题的关键． 由反比例函数解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得的值，根据反比例函数与函数的对称性即可求得的坐标； 由题意可知、关于直线对称，即可得出的面积的面积，然后分两种情况，求得当时的的值，以及直线与双曲线切线时的的值，观察图象即可求得的取值范围． 17.【答案】解：将代入， 可得：； 将代入得：， 所以点的坐标为， 将、代入中， 可得：， 解得：， 所以二次函数的解析式为：； 存在，分以下两种情况： 若在上方，设交轴于点，则， ， 设为，代入，可得：， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以； 若在下方，设交轴于点，则， ， ， 设为，代入可得：， 联立两个方程可得：， 解得：， 所以， 综上所述的坐标为或．  【解析】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键． 把代入直线中解答即可； 把代入直线解析式得出点的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； 分在上方和下方两种情况进行解答即可． 18.【答案】解：解法一： ， 顶点， 解法二： ， 代入关系式得，， 顶点， ； 分三种情况讨论： 当对称轴即时，如图， 当时，， ， 整理得，， 解得，，舍去， ， 当即时，如图， 当，， ， 整理得，， 解得，，舍， ， 当即时，如图， 当时，， ， 整理得，， 解得，两个都舍去， 综上所述：或．   【解析】解：见答案 ，开口向上，如图， 当对称轴大于时满足题意， ， ， 故答案为：； 见答案 利用配方法或者利用对称轴公式求解即可， 根据题意可得，当对称轴大于时满足题意，即可得到答案， 分三种情况进行讨论，对称轴在左侧，在和之间，在右侧，然后求出的值进行取舍即可得到答案． 本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的最值，熟练掌握配方法和公式法是解第问的关键，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是本题的难点． 19.【答案】解：将，代入， 得 解得 抛物线的函数关系式为． 设直线的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 直线的函数关系式为； 过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示， 设点坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， ，， ． 点的坐标为， 点的坐标为， ， ． ， 当时，的面积取得最大值，最大值为， 此时点的坐标为； 存在，理由如下： 当时，， 点坐标为， ， 抛物线的对称轴为直线． 点的坐标为， 点，关于抛物线的对称轴对称， 令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示， 点，关于抛物线的对称轴对称， ， ， 此时的周长取最小值， 当时，， 此时点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，同理可知：， ， 在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．  【解析】根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线的函数关系式； 过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而可得出的值，由点的坐标可得出点的坐标，进而可得出的值，利用三角形的面积公式可得出，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点，的坐标可得出点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，则此时周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出周长的最小值，即可得出结论． 本题考查待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、三角形的面积以及周长，以及轴对称最短路线问题． 20.【答案】解：将点和点代入， ，解得， ； 点在直线上， ， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， ， 抛物线开口向下， ， ， 且； 抛物线的对称轴为直线， 点与关于对称，且两点距离为， 点的横坐标为， 联立方程组， 整理得， 点和点是直线与抛物线的交点， 由根与系数的关系得，， ， ， 将代入表达式， ， 解得或， 当时，， 此时抛物线的对称轴为直线， 图象在上的最高点坐标为； 当时，， 此时抛物线的对称轴为直线， 图象在上的最高点坐标为， 综上所述：在的图象的最高点的坐标为或．  【解析】本题为二次函数综合问题，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键． 用待定系数法求解析式即可； 设抛物线的解析式为，将点代入可得，再由，求的取值即可； 由题意求出点的横坐标为，联立方程组，整理得，根据根与系数的关系可得，可求，从而可求或，确定抛物线的解析式后即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $