反比例函数与一次函数的综合-求面积2026年中考数学二轮专题提高训练

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合求面积，构建“坐标-解析式-面积”三阶解题体系，通过12道解答题实现从基础到动态最值的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础综合|1-4题|待定系数法求解析式、交点坐标法|以交点坐标为核心连接函数与几何，通过坐标转化实现数与形的结合| |面积计算|5-8题|坐标轴分割法、补形法|利用函数图象上点的坐标表示线段长度，结合三角形面积公式解决静态面积问题| |动态与最值|9-12题|参数法、二次函数最值法|通过动点参数表示面积，运用数学思维中的推理能力和运算能力解决动态面积及最值问题，培养模型意识|

2026年中考数学二轮专题提高训练- 反比例函数与一次函数的综合——求面积（解答题） 1．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)是一次函数与轴的交点，过点作轴，垂足为，求的面积． 2．如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 3．如图，一次函数图象与y轴相交于B点，与反比例函数图象相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)C是线段上一点，点C在点A的左侧，过点C作y轴平行线，交反比例函数的图象于点D，连接．设点C的横坐标为a，求当a为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 4．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． (1)求与的解析式； (2)求的面积． 5．如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为． (1)求直线的解析式与点E的坐标； (2)连接，，当时，求m的值． 6．如图，已知反比例函数的图象经过点，P是第一象限内图象上一点，过点P作坐标轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点A，B，作直线分别交x，y轴于点D，C． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)求证：． 7．反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧，请根据表中提供的数据，回答下列问题． (1)求一次函数的解析式，并画出其大致图象； (2)一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，连接，．请补全图形并求、、的面积之比； (3)过点，且与轴平行的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，若点在点的左侧，请直接写出的取值范围． 8．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，点在第二象限内，点的坐标是，且，． (1)求直线的函数关系式； (2)若直线与反比例函数的图像交于另一个点，求的面积． 9．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)把直线向下平移3个单位长度与的图像交于点，连接，，求的面积． 10．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点的横坐标是4，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 11．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接，．当时，求点的坐标，并直接写出四边形的面积． 12．如图1所示，直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于两点，且． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，，求的面积． (3)如图2所示，若，分别是轴、轴上的动点（点在点右侧，点在点上方），并且，过的直线交反比例函数的图象于两点，点是线段的中点，连接．问：在的运动过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出的度数． 参考答案 1．(1)； (2) 【分析】（1）由一次函数过点可求出的值，确定点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数关系式即可求出的值，确定反比例函数关系式； （2）直接根据三角形面积公式进行计算即可． 本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，理解反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提． 【详解】（1）解：一次函数过点． ， 点， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的关系式为； （2）解：轴，垂足为，， 点，即， ． 2．(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）解析式联立，解方程组即可求得； （3）求得C点的坐标，然后根据求得，进一步求得M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， ∴，； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴． 故答案为：； （3）解：如图， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 3．(1) (2)当时，的面积最大，这个最大值是 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及二次函数的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用一次函数求出点，再将求出的点代入反比例函数解析式求解，即可解题； （2）根据题意得到，再利用a表示的面积，最后结合二次函数的最值求解，即可解题． 【详解】（1）解：⸪一次函数过点， ⸫， 解得， ⸫点， ⸪反比例函数图象过点， ⸫， ⸫反比例函数的表达式为； （2）解：⸪点C的横坐标为a，轴交反比例函数的图象于点D， ⸫，， ， 则的面积为 ， ⸪， ⸫当时，的面积最大，这个最大值是． 4．(1)， (2) 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，面积问题等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）先求出，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设与y轴相交于点C，求出，即：，根据进行解答即可． 【详解】（1）由题知， ∴， ∴，， ∴， 把，代入 得， ∴，       ∴； （2）设与y轴相交于点C， 当时，， ∴，即：， ∴． 5．(1)直线的解析式为：，点E的坐标为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，准确作出辅助线求出C点坐标是解题的关键． （1）过点B作于点F，根据平行线分线段成比例定理得出，由点A的坐标为，，得出，，则点B的纵坐标为2．根据待定系数法即可求出直线的解析式与点E的坐标； （2）由可得，可求点，代入得，则，可求m的值． 【详解】（1）解：过点B作于点F， ， ， 点A的坐标为，， ， ，， 点B的纵坐标为2， 双曲线过点， ， 点B的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 令，解得， 点E的坐标为． （2）解：， ， ， 点， ，代入得， ， 代入中，即， 解得． ． 6．(1)4 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，树脂反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键． （1）直接把点代入，求得k的值即可； （2）设点P的坐标为得点A的坐标为点B的坐标为根据三角形面积公式可求解； （3）延长PA，PB分别交y轴，x轴于点E，F，证明，可得出再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）知， ∴设点P的坐标为 ∵轴，轴， ∴点A的纵坐标为点B的横坐标为a， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A的坐标为点B的坐标为 （3）证明：如图，延长分别交y轴，x轴于点E，F， ∴， 由（2）知 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．(1)，画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，画一次函数，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键； （1）根据表格可得，根据反比例函数的性质求得点，进而待定系数法求解析式，并画出一次函数的图象； （2）根据题意得出的坐标，进而根据三角形的面积公式分别求得、、，即可求解； （3）根据题意画出图象，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧， 根据表格可得 当时，，解得： ∴ 当时，， ∴ ∴将，代入得， 解得： ∴ 如图， （2）解：如图 由，当时，， 当时，， ∴， ∴ （3）解：如图， ∵点在点的左侧，， 根据函数图象可得： 8．(1) (2) 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）将点代入正比例函数，得到点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，求出的值即可，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出所在直线的解析式； （2）延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F，令，求出点F的坐标，联立直线与反比例函数解析式可求出点的坐标，根据利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， 设所在直线的解析式为， ， 解得：， 所在直线的解析式为； （2）解：延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F， 由（1）知，直线解析式为，反比例函数解析式为， 令，则， ， 联立， 解得：，， ， ． 9．(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图像的平移、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入正比例函数并求解，即可确定点坐标，然后将点坐标代入反比例函数，求解即可获得答案； （2）过点作轴，交于点，首先确定直线向下平移3个单位长度后的新的直线解析式，进而确定点坐标；再利用待定系数法求得直线的解析式，结合点坐标求得点坐标，进一步可得的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数， 可得，解得， ∴， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）如下图，过点作轴，交于点， 把直线向下平移3个单位长度，则新的直线解析式为， 联立与， 可得，解得，（舍去）， 则， 设直线的解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵，轴， 可令，将其代入直线的解析式， 可得，即， ∴， ∴． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题： （1）把代入，可得到点B的坐标，再把点B的坐标代入，即可求出k的值，即可求解； （2）设交x轴于点C，先求出点P的坐标，再根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，可求出点A的坐标，从而得到直线的解析式，进而得到点C的坐标，然后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点B的坐标为， 把点代入得： ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设交x轴于点C， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点P的坐标为， ∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点B的坐标为， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 11．(1) (2)12 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题及等腰三角形性质的应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式求解析式，借助等腰三角形“三线合一”确定点坐标． （1）先将点代入直线，求出a的值从而确定点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数，求出k，得到反比例函数解析式． （2）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点C坐标，根据四边形的面积=与面积之和，计算即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ，， ∴点为 把点代入得，， ； （2）过点作，垂足为点， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入，解得． ． 直线中 令，则， 解得， ∴． ∵轴于点， ∴ ∵，． ∴四边形的面积=与面积之和． 中，，， ∴． 中，，点到的距离（即与横坐标之差的绝对值）为， ∴． ∴． 12．(1) (2) (3)的大小不变，，见解析 【分析】（1）作于，由题意得，，确定．后利用特殊角的三角函数，确定点D的坐标，后计算解析式即可． （2）作于，联立，解得，，故点的坐标为，利用分割法求面积即可． （3）先证明，设直线的方程为设．联立，得，则，确定的横坐标为．再根据点在直线上，确定，如图，作于，则，则，继而求得． 【详解】（1）解：作于，由题意得，， ∴，． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ， ∴． 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作于，联立， 解得，， 故点的坐标为， ∴， ∴ （3）解：的大小不变，，理由如下： ∵ ∴，设直线的方程为 设． 联立， 得， 则， ∵是的中点， ∴的横坐标为． ∵点在直线上， ∴， 如图，作于，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，特殊角的三角函数，比例法证明直线的平行，根与系数关系定理应用，熟练掌握三角函数的应用，待定系数法是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $