山东淄博第五中学2025-2026学年高二下学期5月阶段考试数学试题

**基本信息** 融合杨辉三角文化传承与田忌赛马历史情境，通过导数应用、概率计算、数列综合等题型，构建基础巩固到创新应用的能力梯度，适配高二下学期月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数极值（2）、古典概型（4）、等比数列（8）|基础概念辨析，如函数极大值点判断| |多选题|3题|条件概率（9）、数列性质（11）|选项分层设计，考查逻辑推理| |填空题|3题|二项式系数（12）、排列组合（13）|简洁计算，检验知识应用| |解答题|5题|导数切线与恒成立（17）、概率应用（16）、数列求和（19）|田忌赛马情境（16）体现数学思维，导数综合题（18）考查创新应用|

2025-2026年山东省淄博市淄博五中高二下数学考试试题+答案 一、单选题 1．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．函数f（x）=x3﹣3x+2的极大值点是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=0 D．x=﹣1 3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（    ） A． B． C． D． 5．设函数是奇函数的导函数，f（-2）=0，当时， ， 则使得成立的x的取值范围是 A．（-,-2）（0, 2） B．（-,-2）（2, +） C．（-2,0）（2,+） D．（-2,0）（0,2） 6．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则实数的值为（） A． B． C． D．1 7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（    ） A．350 B．295 C．285 D．230 8．记为等比数列的前项和，若，，，则（   ） A．3 B． C．6 D． 二、多选题 9．一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（   ） A． B． C． D． 与 相互独立 10．把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（    ） A．满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B．满足，且的排法种数为20 C．满足的排法种数为48 D．满足的排法种数为360 11．已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（ ） A． B． C．，，成等差数列 D．，，成等比数列 三、填空题 12．若，则的展开式中含项的系数为__________. 13．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 14．已知在公差为的等差数列中，，且，，则______． 四、解答题 15．设． (1)求的值； (2)求的值． 16．田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序． (1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率： (2)若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率． 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围． 18．函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 19．记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026年山东省淄博市淄博五中高二下数学考试试题+答案》参考答案及精品解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A A C D BC BC 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】根据解析式先化简，然后由导数定义可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 2．D 【详解】解：∵f（x）=x3﹣3x+2， ∴f′（x）=3x2﹣3， 当f′（x）=0时，3x2﹣3=0， ∴x=±1． 令f′（x）＞0，得x＜﹣1或x＞1； 令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜1； ∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），函数的单调减区间为（﹣1，1） ∴函数的极大值点是x=﹣1 故选D． 【点评】本题考查的重点是函数的极值点，考查导数知识的运用，解题的关键是求得导数为0的点，再利用单调性确定函数的极值点． 3．C 【分析】判断出属于组合问题，进而求解出结果. 【详解】甲地至乙地与乙地至甲地距离一样，票价一样，所以是组合问题，所求票价种数为. 故选：C 4．B 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意可知， 事件与事件同时发生， 有共12种可能， ，所以. 故选：B. 5．A 【详解】试题分析：设，则g（x）的导数为： ∵当x＞0时总有成立，即当x＞0时，g′（x）<0， ∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，又∵， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是增函数函数，又∵g（-2）=0=g（2）， ∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x<2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（-2），解得：x<-2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（-,-2）（0, 2） 考点：利用导数研究函数的单调性 6．A 【分析】先画出函数的大致图像，由题意，得到函数与直线的图像有且仅有两个交点，结合图像，得到直线与相切，与曲线相交，根据导数的几何意义，即可求出结果. 【详解】画出函数的大致图像如下， 因为函数有且仅有2个零点， 所以方程有两不等实根， 即函数与直线的图像有且仅有两个交点， 由图像可得，只需直线与相切，与曲线相交， 设直线与相切于点， 因为，所以， 因此曲线在点处的切线方程为：， 即， 因为即为该切线方程， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，考查导数的几何意义，属于常考题型. 7．C 【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可 【详解】记此数列的前20项的和为，则， 故选：C. 8．D 【详解】记的公比为，由知. 而，显然不成立，故， 即.由，得，即. 联立，解得，故. 9．BC 【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可. 【详解】由题意可得，，所以A错误； ，所以B正确； ，所以，所以C正确； 由于，所以， 所以与不相互独立，所以D错误. 10．BC 【分析】由排列组合逐选项分析求解即可. 【详解】A选项，6个数中分别选3个构成等差数列，有以下2种组合： 与，与， 对每组的两个等差数列，每个等差数列自身有2种排列方式，奇偶项也可交换， 则共有种，故A错误； B选项，任取三个数作为，则满足的排列只有1种， 而余下三个数作为，满足的排列也只有1种， 则满足，且的排法种数为种，故B正确； C选项，由于任取两数之差均不小于2，若满足， 则只能是，对于， 先全排列，再内部各自排列，共有种，C选项正确； D选项，类似B选项，先任取两个数作为，则满足的排列只有1种， 再任取两个数作为，满足的排列只有1种，最后两个数作为， 满足的排列只有1种，共有种，故D选项错误； 故选：BC. 11．ABC 【分析】借助等差中项与等比中项性质可得A、B；借助等差数列求和公式及等差数列定义计算可得C；举出反例可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：设等差数列的公差为，则， ， ， 则，， 即有， 故，，成等差数列，故C正确； 对D：当时，有， 故此时，，不成等比数列，故D错误. 12．-220 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 13． 【详解】满足条件的安排方法有. 14．20 【分析】根据题意得，再解方程即可得答案. 【详解】因为等差数列中，，且， 所以，两式相减得， 代入中，得，解得． 15．(1) (2) 【分析】（1）令可求的值； （2）令并结合（1）中的结果可求的值； 【详解】（1）在中令，则. （2）在中令， 则，故. 16．(1) (2) 【分析】（1）将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案. （2）首先设事件，事件，列举出事件的个数，利用条件概率公式即可的得到答案. 【详解】（1）将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、， 齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、， 并且用马的记号表示该马上场比赛． 设事件，事件， 由题意得， ，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是； （2）设事件， 事件， 由题意得， ， 则本场比赛田忌胜利的概率是． 17．(1) (2) 【分析】（1）求函数的导函数，再求，结合导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程； （2）化简，条件可转化为对恒成立，利用导数求函数，的最小值，由此可求的取值范围． 【详解】（1）函数的导函数， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）． 由，得， 设，，则． ． 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增． 所以， 故的取值范围为． 18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)2 【分析】（1）对函数求导并利用判别式得出导函数零点，求出相应区间上的单调性即可； （2）由方程根的个数构造函数 ，求出该函数单调性得出极值可求得； （3）分离参数可得，构造函数 并求得其单调性和极值，由极值点范围可求得整数的最大值为2. 【详解】（1）函数，定义域为，则 因为，设 ， 则令得，， 当时，单调递增， 当时,单调递减， 当时，单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）若即只有一个解， 因为使方程成立，所以只有0是的解， 故当时，无非零解， 设 ，则， 当单调递减，当单调递增， 所以最小值为 ， 当时，，当时，， 故必有零点，又因为无非零解，故的零点是0， 所以 ，所以； （3）由（2）知，， 由可得 ， 所以，得， 设 ，则， 令，则，因为时，，所以， 则在单调递增，又 所以使得，所以，且 ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以最小值，且， 得， 又因为，所以，因为， 所以，故整数的最大值为2. 19．(1)2 (2) 【分析】（1）通过等比中项进行转化，因式分解得到方程，分类讨论舍去矛盾式，进而求得公比. （2）将数列通项写出代入进行裂项，利用裂项相消求得和. 【详解】（1）由等比数列性质得， 整理得， 若，所以， 两式相减，则，这与为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去. 所以，，两式相减得， 故的公比． （2）由，令则．此时， ， 故的前n项和 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $