专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了特殊平行四边形中瓜豆模型（直线轨迹）的知识体系，涵盖模型来源、真题呈现、原理提炼及运用策略，以几何直观呈现主动点与从动点轨迹的关联，突出动点轨迹为直线时的核心规律与内在联系。 讲义亮点在于“问题情境化”练习设计，如矩形中旋转线段求最小值、菱形中动点旋转路径问题等，培养推理意识与模型观念。提供轨迹确定五步法（距离不变、角度定值等），基础学生可掌握模型原理，优秀学生能深化转化技巧，助力教师实施分层教学与精准复习。

专题05.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（    ） A． B． C． D． 例3（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例4（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 例5（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 1．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 5．（24-25八年级下·重庆大足·期末）已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 6．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 7．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，矩形中，，E是边上一动点，连接，过点C作于点P，连接，则的最小值为________． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为． 8．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点D落在点F处，当为直角三角形时，______． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形与正方形中，，．连接，为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_____． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 11．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则的最小值为________． 13．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________． 15．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 16．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，D是AB的中点，点E是边BC上一动点，将沿DE翻折，使点B落在点处，连接AE、，若，则面积的最大值为______． 17．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 18．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 19．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 20．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 4 10 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 例2（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，动点问题，瓜豆原理，平行线间的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据瓜豆原理可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长，连接，推导出，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴， 当点E在点A时，点F在点B，如图 当点E在的中点时，点F在点C，如图 由瓜豆原理，可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长， 如图，连接， ∴，， ∴， 即， ∴的值不变． 故选：D． 例3（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 例4（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 例5（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 1．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过矩形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：如图，矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 将线段绕点逆时针旋转至， ，， ，即 在上取点，使，连接， 在和中， ， ， ，即， 点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上， 过点作于，过点作直线于， 则当与重合时，取得最小值，最小值为的长， ， ，解得， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，即的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________． 【答案】 【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案. 【详解】解：如图，连接EC． ∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC， ∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为， 当重合，而（即）为等边三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， 则. 故答案为． 【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 5．（24-25八年级下·重庆大足·期末）已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答； （2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出； （3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，直角三角形的性质和判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 6．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】连接，以为边作等边，连接，证明，得出，说明点G在上运动，根据垂线段最短，得出当时，取得最小值，过点F作于点N，证明四边形为矩形，得出，，根据直角三角形的性质得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，以为边作等边，连接，如图所示： 则，， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形，， ∴，即， ∴， ∴，即点G在上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，过点F作于点N，如图所示， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 7．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，矩形中，，E是边上一动点，连接，过点C作于点P，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为． 8．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点D落在点F处，当为直角三角形时，______． 【答案】1或 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，涉及了勾股定理，解题的关键是分类讨论． 根据折叠的性质可得，，，，再设，则，分两种情况，或，根据线段的和差关系以及勾股定理分别求解即可． 【详解】解：将沿折叠，使点D落在点F处，则，，， 设，则， 当为直角三角形时，有两种情况， ①，如下图： 可得四边形为正方形，， ∴， ∴， ②，如下图， 点在线段上， 由勾股定理可得，， ∴， 在中，，即，解得， 综上，或． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形与正方形中，，．连接，为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_____． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接、，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ，故要求的最小值，即需求的最小值即可， 四边形是正方形， ，， ， ，为定值， 当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为， 的最小值是． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 【答案】 【分析】过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点，证明四边形是矩形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，设，则，由对称的性质得，，求出，，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即，利用勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点， 在菱形中，，即， ∵， ∴，即， 由对称的性质得，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 由对称的性质得，， ∴， ∴，， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，即菱形的边长是． 11．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】过点作，且，连接，利用证明，得出，过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于，可得时，取最小值，最小值为的长，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作，且，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于， ∴时，取最小值，最小值为的长，即的最小值为的长， ∵平行四边形中，，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过点分别作的三条垂线，垂足为，过点作平行线交的两条垂线于点，过点作，得到四边形均为长方形，进而确定相关角度与线段的等量关系，由等边三角形性质求出，，再判定、，得到相关线段长度，最后由题意确定点的运动轨迹，结合垂线段最短得到最小值为，代入线段长度计算即可． 【详解】解：过点分别作的三条垂线，垂足为，过点作平行线交的两条垂线于点，过点作，如图所示： 四边形均为长方形， 则，，，，，，， 在等边中，，则是边的中线， ， 在中，由勾股定理可得， 是的中点， ， 在和中， ， ，， 由旋转性质可知，， ， ， 在和中， ， ，则由题意可知，点在直线上运动， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，为， ， ． 13．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．    【答案】 【分析】根据折叠的性质，结合线段垂直平分线的性质得出，可得当点与点重合时，取最大值，取最小值，则，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，    ∵将矩形纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为， ∴是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，取最小值， ∵当点与点重合时，取最大值， ∴当点与点重合时，取最大值，取最小值， 设则， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】由题意分析可知，点F为主动点，点G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动． 如图，将绕E点沿顺时针方向旋转，使与重合，得 则是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴H点在上，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于K点， 则G点在线段上运动，且， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 作， 则的长就是的最小值， ∴， ∴， ， ∴的最小值为． 15．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，，，由矩形性质可得，，，，然后证明是等边三角形，则，又点与关于对称，所以，，从而可得四边形是菱形，所以，又将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，所以，，证明，所以，要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为． 16．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，D是AB的中点，点E是边BC上一动点，将沿DE翻折，使点B落在点处，连接AE、，若，则面积的最大值为______． 【答案】18 【分析】本题考查翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，三角形的面积公式，垂线段最短；设，由翻折可得：，，可得，再由D是AB的中点，是的外角，可得，从而得出，得出，面积的最大值即为面积的最大值，过点作，利用即可求出面积的最大值． 【详解】解：设，由翻折可得：，， ∴， ∵D是AB的中点，， ∴， ∴， 由等腰三角形的定义可得：是等腰三角形，即， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最大值即为面积的最大值， 如图所示，过点作， ∴， ∵，当时，， ∴当时，取最大值为， ∴面积的最大值为． 17．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 【答案】 / 【分析】根据三角形全等的判定和性质，菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，垂线段最短求解即可； 【详解】解：，， ， ， ， 取的中点Q，连接， M为中点， ， ∵四边形是菱形， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 此时也取得最小值， 此时； 18．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】连接，根据正方形的性质得到，证明，得到点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时，求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， 点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值， 此时， ， ， ． 19．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则 （1）的最小值是__________； （2）的最大值是__________． 【答案】 6 6 【分析】（1）在延长线上截取，连接，，由平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，求出，根据三角形三边关系求出的最小值； （2）由（1）求出的最大值即可． 【详解】解：（1）如图，在延长线上截取，连接，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值是； （2）由（1）得， ， 的最大值是． 20．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值． 【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，， ∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ， ， 又， ∴， ∴要使最小，则需最大， ∵点为边上的一动点， ∴点与点重合时，最大此时， 的最小值为， 故答案为． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $