专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学讲义聚焦特殊平行四边形中的胡不归模型，通过“模型来源-真题呈现-模型提炼-应用拓展”的逻辑构建知识体系，用流程图梳理“构造射线转化线段”的解题步骤，结合表格呈现矩形、菱形等图形中的模型应用，突出转化与化归思想及垂线段最短的核心依据。 讲义亮点在于分层例题设计，如八年级矩形折叠求BG最小值、九年级菱形中AM+0.5BM最小值等真题，培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维）。方法指导强调“k值转化为正弦角构造直角三角形”，基础生可掌握步骤，优秀生能拓展变式，助力教师精准突破中考压轴题。

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （24-25八年级上·上海虹口·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（25-26八年级下·上海浦东·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例2（25-26八年级下·上海黄埔·期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．       例3（2025九年级·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 例4（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 例5（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 1．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）在菱形中，，，P为对角线上的一个动点（不与B、D重合），连接，则的最小值是_______． 2．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长是的正方形中，、分别是边、上的动点，且满足，与交于点，是的中点，是边上的点，，则 的最小值是 _____ ． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，沿翻折矩形，A对应M，D落在上的N处，作于H，，，则的最小值为________． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 6．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________． 7．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________． 8．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为_________．    9．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，已知，，为中点，点在上，且，动点从点出发沿射线运动，动点从点出发沿射线运动，两点同时出发，并且速度相同，连接、，当、运动时，则的最小值为______． 10．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）在矩形中，，E为边中点，连接，P为上动点，F为中点，则的最小值为______． 11．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在长方形中，对角线，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点 是线段上一点，则的最小值是 ________． 12．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______； 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 15．（24-25八年级下·江苏·校考期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.胡不归模型（最值模型） 6 17 胡不归模型源自一个感伤的数学故事：相传古代一位姓胡的少年在外求学，得知父亲病危后，立即从位置A出发赶往家乡B。他本认为“两点之间线段最短”，于是直接穿越砂石地直线奔向家中，但因砂石地行走速度V1较慢（驿道速度V2更快），最终迟到，父亲已在弥留之际不断呼唤“胡不归”（意为“为何不归？”），未能见上最后一面。邻居事后提出优化建议：若少年先沿驿道行至某点C，再转向砂石地直奔B点，总时间可缩短（公式为 ，这便催生了求“BC + k·AC最小值”的几何问题，其中k为速度比 （0<k<1）。这则故事因情感真挚，成为初中数学经典模型，常被用于讲解路径优化和三角构造技巧。 （24-25八年级上·上海虹口·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC，将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 模型1.胡不归模型（最值模型） 例1（25-26八年级下·上海浦东·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 例2（25-26八年级下·上海黄埔·期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 例3（2025九年级·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【答案】3 【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题． 答案详解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB， ∴∠CAB＝30°， ∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°， ∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2， ∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH， ∴AE+EC≥3， ∴AE+EC的最小值为3， 故答案为3． 例4（2025·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____． 【答案】4 【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°， ∴MH＝BM， ∴AM+BM＝AM+MH， ∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°， ∴AT＝AB•sin60°＝4， ∵AM+MH≥AT， ∴AM+MH≥4， ∴AM+BM≥4， ∴AM+BM的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键． 例5（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EDC=∠DAB＝30°， ∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6， ∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6， 故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 1．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）在菱形中，，，P为对角线上的一个动点（不与B、D重合），连接，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】以为斜边，在对角线下方构造等腰直角三角形，过点A作交直线于H，根据勾股定理求出，根据垂线段最短可知的最小值是，根据菱形的性质得到，进而得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边，在对角线下方构造等腰直角三角形，过点A作交直线于H， 可知，，， ∵， ∴（负值舍去）， ∵， ∴的最小值是， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在边长是的正方形中，、分别是边、上的动点，且满足，与交于点，是的中点，是边上的点，，则 的最小值是 _____ ． 【答案】5 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，以矩形的顶点A建立平面直角坐标系，点B，D分别在x轴，y轴上，点C的坐标为，M，N分别是，上的动点，且，当取最小值时，点M的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长使得，连接，先证明，得到为等腰直角三角形，，再证明，得到，，那么，可推出三点共线时，取得最小值，最小值为，接着证明，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长使得，连接， ∵四边形是矩形，点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当且仅当三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 如下图所示，三点共线，此时在轴上： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，沿翻折矩形，A对应M，D落在上的N处，作于H，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用翻折的对称性得出垂直平分，进而将转化为，将转化为，把求的最小值转化为求的最小值，再通过轴对称求最短路径． 【详解】连接， 沿翻折矩形，对应，落在上的处， 为线段的垂直平分线， ， 又， ， 与都过点， 点，，在同一直线上， 为的中点， ， 点与点关于对称，点与点关于对称， ， ， 作点 A 关于直线的对称点，连接 在上， ， ， 四边形为矩形， ，，， 点为点A关于直线的对称点， ，， ， ， 当D，N，三点共线时取等号， 此时 N为直线与 的交点，在上， 的最小值为 ． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 【答案】 4 【分析】（1）根据菱形的性质可知是等边三角形，再由三线合一可知，然后利用勾股定理求得，再求，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接，根据三角形中位线的性质推出，点P运动过程中，点Q在线段上运动，然后根据三线合一证得垂直平分，则，进而根据两点之间线段最短可求得答案． 【详解】解：（1）如图，连接、， 四边形是菱形，， ，，， ∴是等边三角形， ∴， 为中点， ，，， ∴， ∴， ∴， 又∵点Q是的中点， ∴； （2）如图，连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接， 同理是等边三角形， ∴，， ∵点Q是的中点，点M是的中点，点N是的中点，点O是、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，点N、Q、O三点共线，即点P运动过程中，点Q在线段上运动， 设交于点E， ∵，点M是的中点， ∴， 又∵点N是的中点，点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当B、D、Q三点共线时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为4． 6．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________． 【答案】5 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5． 7．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在上，且D点的坐标为，P是上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，连接，由正方形的性质可得点关于直线对称，，从而可得，推出，连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， 点关于直线对称，， ， ， 连接，交于点P，则当点在同一直线上时，最小，为， 点的坐标为， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】先根据题意作辅助线，过点作交于点，交于点，利用菱形的性质和勾股定理推出为等边三角形，根据角所对的直角边等于斜边的一半，推出，进而得到的最小值即的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，交于点，此时的值最小，    在菱形中，对角线，交于点， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了最短路线问题，掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质． 9．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，已知，，为中点，点在上，且，动点从点出发沿射线运动，动点从点出发沿射线运动，两点同时出发，并且速度相同，连接、，当、运动时，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向，所在的直线为轴，方向为正方向，建立坐标系，设，则，，，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，可证得，从而，，进而得出，当、、共线时，最小，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向，所在的直线为轴，方向为正方向，建立坐标系， 设，则，，， 以为斜边作等腰直角三角形，则， 作轴于，作于， ，， ，， ， ， ，， 当、、共线时，最小值为 即的最小值为 故答案为：． 10．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）在矩形中，，E为边中点，连接，P为上动点，F为中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 取线段的中点，连接，，作，过点作，交于点，过点作于点，交于点，在上找一点，使，判定出当点在同一条直线上时，的值最小，然后假设，则，表示出相关的线段，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，连接，，作，过点作，交于点，过点作于点，交于点，在上找一点，使， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， 在矩形中，， ∵点E为边中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴三点在同一条直线上， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵，， ∴，且， ∵， ∴， 此时，， ∴当点在同一条直线上时，的值最小， 即， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在长方形中，对角线，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点 是线段上一点，则的最小值是 ________． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，如图所示，由，知，得，推出的最小值为，然后通过含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作于点，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴在中可知，， 即的最小值， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查矩形的性质、翻折的性质、直角三角形两锐角互余、含角的直角三角形性质、三角形三边关系、垂线段最短、勾股定理等知识，通过作辅助线将的最小值转化为的长是解题的关键． 12．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______； 【答案】 【分析】证明得，进而得到，则由直角三角形斜边中线的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，根据垂直平分线的性质得，可得当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，利用勾股定理得，代入数据计算则可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当、、三点共线时取“”，此时有最小值，最小值为，∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，确定的最小值为是解题的关键． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，折叠，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据勾股定理，进行解答，即可； （2）连接，，设，则，根据勾股定理，则，求出，得到的值；作，垂足为，，则四边形是矩形，根据，求出； （3）由折叠可得，可得，根据勾股定理，求出，根据所对的直角边是斜边的一半的逆定理，可得，，过点作交于点，根据矩形的判定和性质，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，，连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，，当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长；根据等腰直角三角形的判定和性质，求出，过点作交于点，利用勾股定理求出，，同理求出，，根据线段的等量关系，，，，即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， 是边的中点， ， 在中，． （2）解：如图1，连接，， ∵，为的中点， ∴， 设，则， 由（1）知，在中，， ∴，解得， ∴， 作，垂足为，，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在，依题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴， 连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过点作交于点， 在中，， ∴， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 14．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 【答案】[小试牛刀]6；[变式探索]； 【详解】[小试牛刀]解：如图2，在中， ， ， 平分，， ，，，， ，； [变式探索] 如图3，过点P作于点E，过点D作于点F， 四边形ABCD是菱形，且，，， ，，，， ，当点D、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为DF的长， 的最小值为； 15．（24-25八年级下·江苏·校考期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】①是，理由见解析；② 【详解】解：①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线，，， ，，，， 由折叠可知，，，，， ，，，， ，四边形是菱形，，菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ，由上知四边形是正方形， ，，，， ，，，； ，，是等腰直角三角形，， ，，，； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形，，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．，， ，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【详解】（1）证明：取的中点，连接，        ∵、分别为、的中点，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：过点作交延长线于点H， 则，∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， ，∴， ∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴；∴平分． （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接， 由（2）知，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴点与关于对称，∴，∴ 当三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，，由勾股定理得， ∵在中，，∴，∴， ∴的最小值为，则的最小值是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $