2026年高考数学信心跃升卷01（全国二卷通用）

**基本信息** 2026年高考数学信心跃升卷（全国二卷通用），120分钟150分，通过选择、填空、解答题覆盖复数、集合等核心知识，以旅游数据、电脑销售等真实情境设计问题，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、集合、向量、双曲线、函数零点等|第9题结合旅游数据图表考查数据意识，第7题双曲线与渐近线综合考查几何直观| |填空题|3题/15分|二项式定理、直线与圆、导数切线|第14题导数切线方程考查运算能力，强调数学思维的严谨性| |解答题|5题/77分|数列、立体几何、椭圆、概率统计、导数|第18题以电脑故障概率与销售利润为背景构建模型，体现数学语言表达现实问题；第19题导数综合应用考查逻辑推理，契合高考命题趋势|

2026年高考数学信心跃升卷01（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1,己知复数z满足i=2+i,则z的虚部为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 2.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,4},则(0A)∩B=（) A.{2 B.{4} C.{2,4} D.{2,4,5} 3.已知向量a=(1,2),b=(3,x),若a1(6-2a,则x=() A.-3 2 B.1 c D.6 4.在△ 中，∠4BC=4B=2BC=4,则4C-() A.V37 B.√7 C.2√7 D.47 5.己知{an}是等差数列，且43+a,=4a,a2=-4,则首项a,等于() A.0 B.-2 C.-6 D.-8 6.将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分 法种数为() A.210 B.1200 C.4800 D.5040 7已知双油我若茶=Q6>0,过左华点0作斜安为的直，过6货发 F,(C,O)作斜率为-3的直线2，直线l和2的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心 率为() A.3 B.√2 C.5 4 D. 3 e"-l,x≤0 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-m有两个零点，则实数m的取值 Inx+x2,x>0 范围是() A.(0,1) B.(1,+o) c.（-1,0] D.[1,+o∞) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.随着一系列政策落地生效，文旅消费需求加速释放，部分旅游业取得显著效果.如图是 2019—2023年上半年国内旅游数据有关情况，则() 2019一2023年上半年国内旅游总人次和国内旅游收入情况 亿人20 11.8万亿元 。一国内旅游收入 16 国内旅游总人次 .4 10 0 0.8 8642 0.6 0.4 0.2 J0.0 二三四 一一三四一二三四一 三四一二（季度） 2019 2020 2021 20222023 A.2019一2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值 B.2019一2022年每年中，国内旅游总人次均在第二季度达到最高值 C.2022年每季度国内旅游收入呈递减趋势 D.2020一2023年上半年中，每季度国内旅游收入相比上一季度增长量最大的是2023年 第一季度 D 10.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2AB=2,O为四边形DCCD对 A E 角线的交点，下列结论正确的是() A.点O到侧棱的距离相等 B.正四棱柱外接球的体积为√6π C.若DEPD,则4EL平面4ODD.点B到平面4OD的距离为号 D 1.已知函数fx)=e(2x+), 则下列说法正确的有() A.f(x)有且只有一个零点 B.点(0,2)为曲线y=f(x)的对称中心 C.曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程为y=2ex+e D.3x<0<x2,f(x)>f(x2) 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设m为正整数，若(-的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为一 13.直线：y=+2与圆0：x2+y2=4交于4，B两点，OA.OB=-2,则k= 14.己知函数f(x)=x3+ax2+bx-1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=3x-2,则 ab= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=a-1(a>0且a≠1)的图象经过点(1,1)，记数列{an}的前n项 和为Sn,且Sn=f(n). (I)求数列{an}的通项公式： 2- 回设么-a+品行数列位的前“纸和为工.求正：无分 16.(15分)如图，四边形ABCD为直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，DA=DC=2,AB=4.点 P满足PA⊥平面ABCD E B D C (I)若E为PB上靠近点P的三等分点，证明：PD/I平面ACE; (2)若PA=2,点F满足PF=}PC,求直线BD与平面ABF所成角的余弦值. 3 17,(15分)已知椭圆C:父+上=1的左焦点为F. 43 (1)求C的离心率： (2)P(x,y)(y≠0)为C上一点，C在P处的切线为1. ①证明：1的方程为号+学-1： ②设C的右顶点为A,1交直线m:x=2于点Q,PA与FQ交于点R,O为坐标原点，求OR的最 小值 18.(17分)某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商 场己售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出 现故障的概率如表： 电脑机 甲 乙 丙 型 概率 1-5 3 销量/台 68 64 62 58 56 - 52 365036803700372037803820单价x/元 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记7表示这三台电脑三年以 内出现故障的台数，求刀的分布列及数学期望 (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价， 将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示.若销量Y(台) 与单价X(元)服从线性关系9=-0.1X+a,且该机型电脑的出厂价为3605元/台，求该销 售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价 19.(17分)已知函数f=am-b-2nx. (I)曲线y=f(x)在点M(L,fI)处的切线方程为x+2y-3=0,求实数a,b的值： (2)当b=1时，对于任意x>1,f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.2026年高考数学信心跃升卷01（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.己知复数z满足i=2+i,则z的虚部为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 【答案】B 【详解】2i=2+i,2=2+1=1-2i ∴.z的虚部为-2 2.己知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,4},则(0A)nB=() A.{2 B.{4 C.{2,4} D.{2,4,5} 【答案】B 【分析】根据集合的运算求解即可 【详解】AA={4,5},所以(AA)∩B={4} 3.已知向量a=(1,2),b=(3,x),若a⊥(6-2a,则x=() 13 A.-2 B.1 c.2 D.6 【答案】C 【详解】因a=(1,2),b=(3,x),则b-2ā=(1，x-4), 又因a16-2d动.则a6-2)=11+2×-4小0，解得x=号 4.在△ 中，∠ABC=2 3 ,AB=2,BC=4,则AC=() A.37 B.7 C.2 D.47 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求得AC的长， 【详解】在△ 中，∠A8C号40-28C=4,由余弦定理得： AC2=AB2+BC2-2AB×BC×coS∠ABC=4+16-2×2x4× 1 2 28,所以4C=27 故选：C 5.已知{an}是等差数列，且a+a,=4a,a2=-4,则首项a,等于() A.0 B.-2 C.-6 D.-8 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可. 【详解】设等差数列{an}的公差为d, a,+a=4a,即 1+2d+a1+8d=4(a1+4d) a1=-6 由 解得 a2--4 1+d=-4 d=2 6.将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分 法种数为() A.210 B.1200 C.4800 D.5040 【答案】D 【详解】依题意可得不同的分法种数为A。=5040 7.已知双曲线 a2b2 =1(a>0,b>0),过左焦点F(c,0)作斜率为3的直线4，过右焦点 E(c,0)作斜率为-3的直线l2,直线l和，的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心 率为() A.3 B.√2 D. 【答案】C 【分折】求得（和的交点为〔停到，代入双曲找的新近线方程可阳台子 a,,根据a,b,C的 关系及离心率公式求解即可. 【详解】由题意可得l:y=(x+c),I2:y=-3(x-c),且l⊥l2, 4 y=(x+C) 43 3 得 即交点坐标为（兮亏0， y=-3(x-c) 5 为此点在双曲线的条渐近线上，所以只能是在y=x上，所以3c a a 所以，所以6=，所以c=+6-5 c 5 a 4 4,所以离心率e=C= e-1,x≤0 8.已知函数f(x)= ,若函数g(x)=f(x)-m有两个零点，则实数m的取值 nx+x2,x>0 范围是() A.(0,1) B.(L,+∞) c.(-1,0] D.[l,+o) 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性画出简图，将零点问题转化为y=∫(x)与y=m的交点问题 求解 【详解】当x≤0时，f(x)=e-1单调递增，值域为(-l,0]: 当x>0时，∫(x)=1+2x>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增， 且x→0，f(x)→-o,x→+o,f(x)→+0，可画简图，如图所示， 要使g(x)=f(x)-m有两个零点，即y=f(x)与y=m有两个交点， 结合图象可知-1<m≤0，即m∈(-l,0,故选：C. VA (x) v-m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.随着一系列政策落地生效，文旅消费需求加速释放，部分旅游业取得显著效果.如图是 2019一2023年上半年国内旅游数据有关情况，则() 2019一2023年上半年国内旅游总人次和国内旅游收入情况 亿人20 11.8万亿元 。一国内旅游收入 1.6 16 国内旅游总人次 1.4 1.0 0.8 0.6 0.4 42 0.2 0.0 2019 2020 2021 20222023 A.2019一2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值 B.2019一2022年每年中，国内旅游总人次均在第二季度达到最高值 C.2022年每季度国内旅游收入呈递减趋势 D.2020一2023年上半年中，每季度国内旅游收入相比上一季度增长量最大的是2023年 第一季度 【答案】AD 【分析】根据图表信息，对每个选项逐一分析，即可得结果 【详解】选项A,2019一2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值，A 正确；选项B,2020年的国内旅游总人次在第三季度达到最高值，B错误； 选项C,2022年第三季度的国内旅游收入与第二季度相比有所增加，C错误： 选项D,2020一2023年上半年相邻两个季度国内旅游收入增长量最大的是2023年第一季度， D正确.故选：AD 10.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2AB=2,O为四边形DCC,D对角线的 交点，下列结论正确的是() D A.点O到侧棱的距离相等 B.正四棱柱外接球的体积为√6π C.若DE=DD,则AE1平面400D.点B到平面OD的距离为 3 【答案】BD 【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空 间距离的向量方法计算方法即可求解」 【详解】对于A,O到侧棱CC,DD,的距离等于}CD= 2 2 O到侧棱AA,BB的距离相等且等于，BC2+ ,故A错误： 2 2 对于B,设正四棱柱外接球的直径为d,则有d2=AB2+AD+A4?=6, 即d=√6，所以外接球的体积等于4 d)3 =V6π，故B正确： 3 对于C.建立空间直角坐标系，如图。则4.0,04L.0,2.00.D(Q02). 因为DE=1D,D,所以E0,0,所以4E=(1,0,-,40=(1),D=(10,2), 所以4店.40=1-≠0，所以AE与平面400不垂直，故C错误： 对于D,由以上知，设平面AOD,的法向量为m=(x,y,z), 则有40=(15，，D=(←1,0,2)， A0m=0 即t+2+2=0 -x+ ,令x=2则z=1,y=2, AD=0 -x+2z=0 AB.m2 所以m=22,),因为B=0,L0),所以点B到平面400的距离为行，故D正确， D B E .万 C y x 故选BD 1.已知函数f(x)=e(2x+, 则下列说法正确的有() A.f(x)有且只有一个零点 B.点(0,2)为曲线y=f(x)的对称中心 C.曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程为y=2er+e D.3x<0<x2,f(x)>f(x2) 【答案】AC 【分析】对A:令f(x)=0,解出即可得；对B:举出反例即可得：对C:借助导数的几何 意义计算即可得；对D:利用导数研究函数单调性，求出x<0时f(x)的最大值与x>0时 f(x)的最小值即可得 【详解】对A:令付e0,解得x=方：放()有且只有一个零点，故A正确 x 对B:由f)+f(-)=3+1≠4，故点(0,2)不为曲线y=f(因)的对称中心，故B错误： 对C:因f'(x) [e(2x+1+2e]x-ex+D_c(2r+x-,则f0=e(2+1--2c, x2 故曲线y=f(x)在点(1,3e)处的切线方程为y=2e(x-1)+3e=2ex+e,故C正确： 对D:因函数f)=e2x+的定义域为(，0)U0,+o）, r)---D) 当xe(-,经时，f>0,当xe(-1o0u0时，f<0, 故了()在(，-4少、（号+上单调递增，在(-1,0）、0，)》上单调递减， am传 -1 故不存在x<0<x2,使得f(x)>f(x2),故D错误. 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设n为正整数，若(：的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为 【答案】-20 【分析】先根据二项展开式的项数特征求出的值，再利用通项公式确定含x的项对应的参 数，进而计算系数。 【详解】二项式(a+b)的展开式共有n+l项，由题意展开式共7项，故n+1=7,解得n=6, 二项式 的展开式通项为T1=C(x2) eN,0≤k≤6)， 化简得T+1=C(-1)x2-2x‘=C(-1)2-，令12-3k=3,解得k=3, 所以含x的项的系数为C(-1)3=20×(-1)=-20. 13.直线：y=x+2与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，OA.OB=-2,则k= 【答案】± 【分析】利用向量夹角公式求出∠AOB,再利用圆的性质及点到直线距离公式求解 OAOB 1 【详解】由OA.OB=-2,得cos∠AOB= OAOB T=2,而0≤∠AOB≤π， 则∠40B=子.圆心000)到直线1的距离d-=Qcos←0 =1, 2 2 因此K+(- =1,解得k=±V5。 14.己知函数f(x)=x3+ax2+bx-1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=3x-2,则 ab= 【答案】-2 【详解】由题可知f'(x)=3x2+2ax+b,由题意得f'(1)=3,f(I)=1, 则2a+b=0,且13+a×12+b×1-1=3×1-2,化简得a+b=1,解得a=-1,b=2,即ab=-2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=a-1(a>0且a≠1)的图象经过点(1,1)，记数列{an}的前n项 和为Sn,且Sn=f(n). (1)求数列{an}的通项公式： 2- (2)设b. (a.+)a1+1 数列亿，的前“项和为，求证：工<分 【答案】(1)an-2- (2)证明见解析 【分析】(1)问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. (2)利用裂项求和法求工，即可证明T,<2 1 【详解】(1)由题意f(1)=1→a-1=1→a=2.所以数列{an},其前n项和为Sn=2”-1. 当n=1时，a,=2-1=1: 当n≥2时，a,=S,-Sn1=(2”-1-(21-1=2. n=1时，上式亦成立.所以a。=2，neN. 2-1 2n-1 11 (2)6=a.+ja+D21+1(2+02+12+1 所以T.=么+6+…+b.=2°+12+12+12+ 11,11 ++1-1=111 2-1+12"+122"+12 16.(15分)如图，四边形ABCD为直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90,DA=DC=2,AB=4.点 P满足PA⊥平面ABCD B D C (I)若E为PB上靠近点P的三等分点，证明：PD/平面ACE: 2)若PA=2,点F满足PF=}PC,求直线BD与平面ABF所成角的余弦值. 3 【答案】()证明见解析 (2)②7 5 【分析】(1)设BD与AC交于点O,由OE/1PD,线线平行判定线面平行： (2)以A为原点，建立空间直角坐标系，计算平面ABF的一个法向量，由线面角的正弦等 于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可， 【详解】(1)如图，设BD与AC交于点O,连接OE, B 因为AB/1CD,AB=2CD=4,所以△AOBACOD, 所以O加==)，所以O为BD上靠近点D的三等分点， 又因为E为PB上靠近点P的三等分点，所以在△PBD中，OE/IPD, 而OEc平面ACE,PD丈平面ACE,所以PD/I平面ACE. (2)因为CD=AD=2,AD⊥CD,所以AC=22, 又因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,则以A为原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,4,0),D(2,0,0),C(2,2,0), 从而BD=（2,-4,0),AB=(0,4,0),PC=2,2,-2）, 因为代}所以F-c-传号引所以点r的坐标为 3 AB.n=0 4y=0, 设平面ABF的一个法向量为n=（x,y,z),，则 即2 2 AF.方=0， 3x+3+32=0, 3 则y=0,令z=1,可得x=-2,所以平面ABF的一个法向量为i=(-2,0,1), 设直线BD与平面ABF所成角为0,0为锐角，则sinO=cos(BD元 BD元4 BD25x5 5 3 2 cos0=v1-sin20 2 5 17.(15分)已知椭圆C:+上-1的左焦点为F 43 (I)求C的离心率： (2)P(x,)(y≠0)为C上一点，C在P处的切线为1. ①证明：1的方程为+'=1， 43 ②设C的右顶点为A,l交直线m:x=2于点Q,PA与FQ交于点R,O为坐标原点，求OR的最 小值. 【答案】(0)月 (2D见解析；②V14 【分析】(1)根据椭圆方程直接算离心率： (2)①联立，证明1与椭圆相切即可：②先得到Q点坐标，再求直线PA,FQ的斜率关系， 再利用k4P·kO为定值得到R的轨迹方程，表示出OR进行求解. 【详解1)由椭圆C:千片1知u=2方=5，故cC=a-b=1,所以C的高心率e-日 4+3 a21 (2)①由点P(k,)在椭圆C上，得至+父=1，则点P在直线+=1上， 43 43 由%y=33 ,联立消去y得3+46-，-2=0， 3x2+4y2-12=0 明？+3-18e+36-12G=0.也即3G-4)r-24r160-）-0. 将3x6+4y=12代入上式化简，得3x2-6xx+4(3-)=0, 因为△=36x-48(3-y)=36x+48y-144=12(3x6+4y-12)=0, 故切线的方程为号+学=1： ②0知，的方程为字+学=，当x=2时，为 6-3,则得2 6-3x, 2y。 2y 6-3x0 由于F(10),故直线0的斜率ke=22 2y。_2-x, 由于A(2,0),故直线AP的斜率kp=。 x0-2’ 又PH与FO交于点R,所以kerk=k0k=2,五儿，-月 2y%x-22’ 设R(x,y以，则少y 1 x-2x+1-2 化简得R的轨迹方程为y2=x+0x-2(-1<x<2), oR=F+-2-+0-2)2+2+1- 所以当x=一 时，OR的最小值为V 18.(17分)某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商 场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出 现故障的概率如表： 电脑机 甲 乙 丙 型 概率 1-5 4 1-5 销量y/台 68 64 62 58 56 52 365036803700372037803820单价x/元 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记7表示这三台电脑三年以 内出现故障的台数，求刀的分布列及数学期望 (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价， 将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示.若销量Y(台) 与单价X(元)服从线性关系氵=-0.1X+ā，且该机型电脑的出厂价为3605元/台，求该销 售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价， 【答案】(1) 0 2 3 25 2-5 11 1 100 100 E)-= 20 (2)3965元. 【分析】(1)先确定，刀的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式可求刀取相应值的概 率，从而可得分布列，再根据期望公式可求E(): (2)求出X,下，从而可求á，再根据二次函数的性质可求利润最大时对应的售价. 【详解】(1)根据题意知，n的所有可能取值为0,1,2,3， 所以7=0小-考号 134,414.4112 P0==5*4*+3*4*3+*4*55 114,131,41111 P(7=2)-*4*5+5×4*55*4*5100 P0=3)=5x45100 1.1.11 所以的分布列为： 0 2 3 12 2-5 11 1 P 25 100 100 所以E()=0×2+1x2+2xL+3×L=1日 25 5 100 100-20 (2)根据题图可得，7=52+56+58+62+64+6860， 6 F-3650+3680+3700+3720+3780+3820 =3725 6 代入回归方程得à=Y-（-0.1)×X=60+3725×0.1=432.5,所以=-0.1X+432.5 设获得的利润为W元，则W=(-0.1X+432.5)(X-3605), 整理得W=-0.1X2+793X-432.5×3605,其中X>0, 故当X=7930=3965时，利润有最大值 2 19.（17分)已知函数f=-b-21nx. (1)曲线y=f(x)在点M(L,f(I)处的切线方程为x+2y-3=0,求实数a,b的值； (2)当b=1时，对于任意x>1,f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 5 1 【答案】(1)a=,b= (2)a≥1 44 【分析】(1)根据切线方程为x+2y-3=0可得斜率为- 以及经过点，即可求导得 解， 将阿遐技化为±构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求器 【详解】(1)f'(x)=a+ 名-2，曲线y四在点M0,/⑩)处的切线方程为x+2y-3=0 则f0=a+b-2=f0=a-6=1,则a-b=月 1 4 4 (2)当b=1时，依题意有ar-1-2nr>0对于任意x>1恒成立，则a>2nx+, 3, + 设am()-2h+>.m)-2红-2x-2。 x3 h(x)=2x-2xlnx-2,h'(x)=-2Inx, 由x>1得：1'(x)<0,则h(x)在(L,+∞)上单调递减， 且h(1)=0,则h(x)<0在(1，+o)上恒成立，即m'(x)<0,m(x)在(1，+oo)上单调递减， m(1)=1,则m(x)<1,则a≥1. 2026年高考数学信心跃升卷01（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】，； 的虚部为. 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】，所以. 3．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．6 【答案】C 【详解】因，则， 又因，则，解得. 4．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求得AC的长. 【详解】在中，，由余弦定理得： ，所以. 故选：C. 5．已知是等差数列，且，，则首项等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由，即，解得. 6．将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．210 B．1200 C．4800 D．5040 【答案】D 【详解】依题意可得不同的分法种数为. 7．已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线，过右焦点作斜率为-3的直线，直线和的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】求得和的交点为，代入双曲线的渐近线方程可得，根据的关系及离心率公式求解即可. 【详解】由题意可得，，且， 则，得，即交点坐标为， 又因为此点在双曲线的一条渐近线上，所以只能是在上，所以， 所以，所以，所以，所以离心率. 8．已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数单调性画出简图，将零点问题转化为 与 的交点问题求解. 【详解】当 时， 单调递增，值域为 ； 当 时，，所以在上单调递增， 且 ，，可画简图，如图所示， 要使 有两个零点，即与有两个交点， 结合图象可知，即，故选：C. 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随着一系列政策落地生效，文旅消费需求加速释放，部分旅游业取得显著效果．如图是2019—2023年上半年国内旅游数据有关情况，则（   ） A．2019—2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值 B．2019—2022年每年中，国内旅游总人次均在第二季度达到最高值 C．2022年每季度国内旅游收入呈递减趋势 D．2020—2023年上半年中，每季度国内旅游收入相比上一季度增长量最大的是2023年第一季度 【答案】AD 【分析】根据图表信息，对每个选项逐一分析，即可得结果. 【详解】选项A，2019—2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值，A正确；选项B， 2020年的国内旅游总人次在第三季度达到最高值，B错误； 选项C， 2022年第三季度的国内旅游收入与第二季度相比有所增加，C错误； 选项D，2020—2023年上半年相邻两个季度国内旅游收入增长量最大的是2023年第一季度，D正确．故选：AD. 10．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ） A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为 C．若，则平面 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解. 【详解】对于A, 到侧棱的距离等于, 到侧棱的距离相等且等于,故A错误； 对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有, 即，所以外接球的体积等于，故B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，如图，则, 因为，所以,所以，，, 所以，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D,由以上知，设平面的法向量为， 则有，,,即，令则， 所以，因为,所以点到平面的距离为，故D正确. 故选:BD. 11．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．有且只有一个零点 B．点为曲线的对称中心 C．曲线在点处的切线方程为 D．， 【答案】AC 【分析】对A：令，解出即可得；对B：举出反例即可得；对C：借助导数的几何意义计算即可得；对D：利用导数研究函数单调性，求出时的最大值与时的最小值即可得. 【详解】对A：令，解得，故有且只有一个零点，故A正确； 对B：由，故点不为曲线的对称中心，故B错误； 对C：因，则， 故曲线在点处的切线方程为，故C正确； 对D：因函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在、上单调递减， 则当时，，当时，， 故不存在，使得，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为______． 【答案】 【分析】先根据二项展开式的项数特征求出的值，再利用通项公式确定含的项对应的参数，进而计算系数。 【详解】二项式的展开式共有项，由题意展开式共7项，故，解得， 二项式的展开式通项为， 化简得，令 ，解得， 所以含的项的系数为. 13．直线与圆交于两点，，则___________． 【答案】 【分析】利用向量夹角公式求出，再利用圆的性质及点到直线距离公式求解. 【详解】由，得，而， 则，圆心到直线的距离， 因此，解得. 14．已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 【答案】 【详解】由题可知，由题意得，， 则，且，化简得，解得，，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，即可证明. 【详解】（1）由题意.所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立.所以，. （2）， 所以. 16．（15分）如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. (1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面； (2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设与交于点，由，线线平行判定线面平行； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量，由线面角的正弦等于方向向量与法向量的余弦的绝对值计算即可. 【详解】（1）如图，设与交于点，连接， 因为，，所以， 所以，所以为上靠近点的三等分点， 又因为为上靠近点的三等分点，所以在中，， 而平面，平面，所以平面． （2）因为，，所以， 又因为平面，，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， ， ， 从而， 因为，所以，所以点的坐标为，， 设平面的一个法向量为，则即 则，令，可得，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，为锐角，则， . 17．（15分）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据椭圆方程直接算离心率； （2）①联立，证明与椭圆相切即可；②先得到点坐标，再求直线，的斜率关系，再利用为定值得到的轨迹方程，表示出进行求解． 【详解】（1）由椭圆知，故，所以的离心率； （2）①由点在椭圆上，得，则点在直线上， 由，联立消去得， 即，也即， 将代入上式化简，得， 因为， 故切线的方程为； ②由①知，的方程为，当时，，则得， 由于，故直线的斜率， 由于，故直线的斜率， 又与交于点，所以， 设，则， 化简得的轨迹方程为， ， 所以当时，的最小值为． 18．（17分）某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 【答案】(1) 0 1 2 3 ； (2)元． 【分析】（1）先确定，的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式可求取相应值的概率，从而可得分布列，再根据期望公式可求； （2）求出，从而可求，再根据二次函数的性质可求利润最大时对应的售价. 【详解】（1）根据题意知，η的所有可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以； （2）根据题图可得，， , 代入回归方程得，所以. 设获得的利润为元，则, 整理得，其中， 故当时，利润有最大值. 19．（17分）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学信心跃升卷01（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C．1 D．2 2．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．6 4．在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知是等差数列，且，，则首项等于（    ） A．0 B． C． D． 6．将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（   ） A．210 B．1200 C．4800 D．5040 7．已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线，过右焦点作斜率为-3的直线，直线和的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 8．已知函数，若函数有两个零点，则实数m的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随着一系列政策落地生效，文旅消费需求加速释放，部分旅游业取得显著效果．如图是2019—2023年上半年国内旅游数据有关情况，则（   ） A．2019—2023年上半年国内旅游总人次在2020年第一季度达到最低值 B．2019—2022年每年中，国内旅游总人次均在第二季度达到最高值 C．2022年每季度国内旅游收入呈递减趋势 D．2020—2023年上半年中，每季度国内旅游收入相比上一季度增长量最大的是2023年第一季度 10．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ） A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为 C．若，则平面 D．点到平面的距离为 11．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．有且只有一个零点 B．点为曲线的对称中心 C．曲线在点处的切线方程为 D．， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为______． 13．直线与圆交于两点，，则___________． 14．已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 16．（15分）如图，四边形为直角梯形，且．点满足平面. (1)若为上靠近点的三等分点，证明：平面； (2)若，点满足，求直线与平面所成角的余弦值． 17．（15分）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 18．（17分）某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三类机型电脑中各随机抽取了120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表： 电脑机型 甲 乙 丙 概率 (1)某品牌电脑公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记表示这三台电脑三年以内出现故障的台数，求的分布列及数学期望． (2)已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量（台）与单价（元）服从线性关系，且该机型电脑的出厂价为元/台，求该销售商场销售丁机型电脑获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价． 19．（17分）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $