陕西榆林市横山中学2026届高三下学期考前模拟测试数学（二）

数学（二） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在浅题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合A={x|x2一x+2a<0},且a∈A,则实数a的取值范围为 A(-2,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,2) 2.某同学收集并整理了某市2026年1月11日至18日每日最高气温（单位：℃）的数据（均为整数），并绘 制了如图所示的折线图，则1月11日至18日最高气温的中位数为 最高气温 12 10 A.5 B.6 C.7 D.8.5 64 11 12131415161718日 3.已知圆x2十y2-2x十2y-6=0与圆x2十y2一6x十4y一4=0交于A,B两点，则直线AB的方程为 A.x-y十3=0 B.2x+y-2=0 C.x-2y+1=0 D.2x-y-1=0 4.要得到函数f(x)=2cos(2x-晋)的图象，只需将函数g(x)=2sin2.x的图象 A.向左平移个单位长度 B.向右平移否个单位长度 C.向左平移个单位长度 D,向右平移否个单位长度 5.已知向量AB=(m,-2),BC=(1,m-1),且AB+BC1=AB-BC,则1d= A.√6 B.2√2 C.√10 D.23 【YT·数学（二）第1页（共4页）】 6.定义在R上的函数)满足Y∈R,≠，都有2)二)>0成立，则不等式（红-1D· [f(x)一f(4一x)门<0的解集为 A.(1,2) B.(-o∞，1) C.(2,+∞) D.（-o∞，0)U(1,2) 7.已知圆台的上、下底面半径分别为n,2(m<2),半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆 台的侧面积为100π，则2n1+r2= A.9 B.10 C.11 D.12 如图，双曲线C:。一京=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过才 F2的直线与双曲线C的右支相交于A,B两点，AB⊥BF1且|AF2I=|BF|, 则C的离心率为 A.2 B.2 C.0 3 罗 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知复数=牡 一2i,则下列说法正确的是 A.复数之的实部和虚部之和为3 B.复数之的共轭复数为1一i C.l=2 D.复数为纯虚数 10.下列计算结果正确的是 As如75+cos75-9 B.tan10°+tan50°+tan10°tan50°tan60°=2√3 2tan 15 4w5 Ctan号十tan45平tan15tan165=3 法部 11.已知过抛物线C:y=8x的焦点F的直线与C交于A,B两点，则下列说法正确的是 A.线段AB的长度的最小值为8 B.若AF=3FB,则|AB引=11 C.若点G(一2,0)，则直线AG,BG的斜率之和为零 D.C上一个动点P到直线3z-4y十12=0的距离的最小值为号 【YT·数学（二）第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2-是)°展开式中的常数项为 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a一b)(sinA十sinB)=(a-e)sinC,△ABC的 面积为3，b=7,则△ABC的周长为 14,已知关于x的方程e十a=1一血工有且仅有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且满足a2=17a1o,S5=75. (1)求{a}的通项公式； (2)求Sn的最大值； (3)记bn=20-an,求数列{ 1 onti 的前n项和T, 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AD=2BC=2AB=2,BC∥AD,E是PD 上靠近点P的三等分点. (1)证明：BP∥平面ACE; (2)若平面ACE与平面PAC的夹角为牙，求AP. 【YT·数学（二）第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为 300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票， (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记X表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求X的分布列和数学期望。 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=axln x十(1-a)x十(a∈R). (1)若a=1,求曲线y=f(x)在(1，f1)处的切线方程； (2)若x=1是函数f(x)的极小值点，求a的取值范围； (3)若f(x)≥0，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C子+芳=1a>6>0的左，右焦点分别为R,R,离心率为号，点T1,-号)与点P在 C上(P不在x轴上)，直线PF1,PF2与C的另一个交点分别为A,B,记PF=AF1A,PF,=uF2B (1)求C的方程； (2)求1十μ的值； (3)若△PFR:的面积与△PAB的面积之比为号，求X+2u的值。 【YT·数学（二）第4页（共4页）】数学（二）参若答案 1.B由a∈A,知a-a+2a<0,解得-1<a<0.故选B. 2.C由图知，1月1日至18日的最高气温由低到高排列为-1.155,9.10,12.12，放中位数为5士9=.故选C 3.D易知两圆相交，两圆方程作差，可得直线AB的方程为2x一y一1=0.故选D. 4.A因为g(x)=2sin2x=2cos（交-2x)=2cos(2x-交)，所以只需将函数g(x)=2sin2x的图象向左平移石个单 位长度即可得到函数f(x)的图象.故选A. 5.C由AB+BC=AB-BC,得(AB+BC)2=(AB-BC)2,整理得AB.BC=0,故m-2(m-1)=0,解得m=2,所以 AC=AB+BC=(2,-2)十(1,1)=(3，-1)，|AC|=√/10.故选C 6.A由题知函数f(x)在R上单调递增，当x>1时，不等式可化为f(x)<f(4一x),即x<4-x,解得1<x<2;当x<1 时，不等式可化为f(x)>f(4一x),即x>4一x,此时无解.综上，不等式(x一1)[f(x)一f(4一x)]<0的解集为(1,2). 故选A. 7.C如图，设内切球的半径为r,圆台上、下底面的圆心分别为O,O2,则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处.设 球O与母线切于M点，则OM⊥AB,所以OM=OO=OO2=r,AM=r1,同理BM=r2,圆台的母线长为I=n1十r2.又 S网台=π(n十r2)l=100π，所以(n十r2)2=100,解得n十r2=10.由OO2=2r=6,得r2一片=√1-OO3=8,所以n= 1,r2=9,2n1十r2=11.故选C. 0 8.D设BF2|=m,则AF2|=BF=m+2a,AF|=m+4a.在Rt△ABF中，有(m十4a)2=(m+2a)2+(2m十2a)2, 整理得m=a,故BS=3a.设FB,=2c,在R△BFB中，有4C=9a+d,即2=5a,所以C的离心率e=后 少故选D 9.BCD 由题知2-4十0书-2i=1+31一2i=1+i,所以复数：的实部与虚部之和为1十1=2.A错误：复数：的共 (1+i)(1-i) 轭复数=1一i,B正确；x=√1+1=√2，C正确：z2=(1+i)2=2i,为纯虚数，D正确.故选BCD. 10.ACs75+cos75°=Esn(5°+45)）=En120r=号A正确：am10+ian50+im1071an50am60=tan(10+ 50)1tan10°an50)+3an10°an50°=3-3an10'an50°+3tan10”tan50°=5.B错误：去an5 m51加15=伊S+=amw+m0=5+厚-4.c正确：5 2tan15° 3 1-+sin'15° cos115 1-sin'15 -15+cos15=（im15+c0s159y2-2sim15cos15°_1-sin230 。cos15°-sin'15(sim15°+cos215)(cos215°-sin15)-cos30° 7得D特误放选AC cos11 1.ACD由题知F2.0,设直线AB的方程为my=一2，点A),B),联立方程Y二8x,消去1后整理 (my=x-2, 为y2-8my-16=0,则y十y2=8m,M=-16.由AB|=x十x2十4=m(y+2)+8=8m2+8≥8，得AB的最小 值为8，A正确：由=3i.知为=一3则-一2=8m,-3=-16,故为=一4m,=9即16i=号m=言 3 【YT·数学（二）参考答案第1页（共4页）】 所以AB1=8×号十8=号，B错误：如十m=十2十开2 2 2my十4(y十2） x2+2Mv,+4Tmv2+4(mv1+4)(mm m,千m%④=0.C正确：设直线3x-+4=0与C相切，联立方程=82， -32m+32m 消去x后整理得3y 3x-4y+t=0, 32+81=0,由△=32-4X3X8=0,得1=票故C上一个动点P到直线3x-4y十12=0的距离的最小值为 12-号 5 是，D正确放述AGD 12.240 x2- 2)'的展开式通项为T1=C()(-)广=(-2G(=0.12…6.令12-3=0，解得r =4,所以展开式中的常数项为C(一2)1=240. 13.4+√7由正弦定理及(a-b)(sinA+sinB)=(a-c)sinC,得(a-b)(a+b)=(a-c)c,即a2+c2-=ac,故cosB= 《公==分因为DB<所以B=等由△AC的面积为25，知宁anB=35,得ar=8由6厅，知 2ac a2+c2-ac=7,所以(a十c)2-3ac=7a十c=4,故△ABC的周长为4十√7. 14.(-是，0）由e十a=1n工，得xe+ax+lnx-1,即eh+(ax十ln)=1.由函数fr)=c十x单调递增，且 f0)=1,得ax十1nx=0,即-a=h工.令g(x)=1n,则g(x)=1-n2,易知函数g(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十o)上单调递诚，故g)=ge)=。若函数g)有且仅有两个零点，则0<-a<,即-一<a<0 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d, a+d=17(a1+9d), 由题意知 /a1=19, a+i4=75, 解得 …3分 d=-2. 所以an=19-2(n-1)=21-2m. …4分 (2)令a≥0，得1≤n≤10. … …5分 所以当1≤n≤10时，an>0;当n>10时，an<0, 7分 所以S,的最大值为S。=10×19-10X9×2=10, 2 8分 (3)由题知b,=20-(21-21)=21-1. …9分 所以a-2-2+币=号(gd2） 1 1 …11分 T=2[(1-3)+(g-号)++(2)门=2(1-2) 2n+1 …13分 16.(1)证明：如图，连接BD与AC,交于点F,连接EF.…2分 因为BC∥AD,AD=2BC,所以DF=2BF.…3分 因为E是PD上靠近点P的三等分点，所以DE=2PE,所以EF∥BP. …5分 因为EFC平面ACE,BP中平面ACE,所以BP∥平面ACE.…6分 (2)解：由题知AP,AB,AD两两垂直，故以点A为坐标原点，直线AB,AD,AP 分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AP=h, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),C(1,1,0),P(0,0,h),AC=(1,1,0),AP=(0,0,h). 8分 Di=号Di-号0，-2w=(0,青号 A-Ai+Di=0,2.0+(o.-号，号）=(o.号号)： 9分 AC·m=x+y=0, 设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,2),则{ AP.m=hz=0. 令x=1,得y=-1,z=0,故m=(1,-1,0). …11分 【YT·数学（二）参考答案第2页（共4页）】 (AC.n-a+6=0. 设平面ACE的一个法向量为n=(a,b,c),则 证n=号+号=0 令a=h,得b=-h,c=1,故n=(h,-h,1).… 4444444 444 13分 所以cos〈m,n1=m·m=2X/2r+√2+T m·n 2h √2h 2 ,解得h=2 2 故AP的长为号 15分 17.解：(1)抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张 100元，1张500元；或1张100元，2张300元. …2分 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为C+CC+CC+CC心_4 5分 (2)X的可能取值为0,1,2,3，则P(X=0)= 12 C 65 …7分 P(X=1) CC_216 C3455 9分 P(X-2)-CIC_27 C-91 11分 P0X=0-8-奇 13分 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 12 216 27 4 455 9 4444 44444 14分 所以5X0=0x号+1×+2×+3×=号或X0=3×号 6 15分 18.解：a=1时，)=nx+是f()=nx+1- …1分 所以f1)=1,f(1)=0,… 2分 所以曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=1.… …3分 (2)由题知f(x)的定义域为(0，+o∞)，f(x)=a(nx+1)十1一a- =aln x- 令g)=anx一是+1.则g)=+是=a 3 23 …4分 ①当a≥0时，g'(.x)>0,函数f(x)单调递增，又f(1)=0,所以当0<x1时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x>1时， (x)>0,f(x)单调递增，所以x=1是函数f(x)的极小值点，满足题意.… …6分 [e-(-a] ②当a<0时，g'(x)= x3 …7分 （1)当日-1a=-2时，令g(x)>0得0<<1：令g()<0,得>1，故函数gx)在(01D上单调递增，在 (1,+∞)上单调递减，又由g(1)=0,所以g(x)≤0，即∫(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以x=1不是函数f(x)的极 小值点… …8分 (i)当-名>1.-2a<0时，令)>0,得0<<√名令g)<0,得√ 所以函数g(x)在(0√一名)上单调递增，在（√厂名，+∞）上单调递减，又g1)=0,所以当0<<1时.了()< 0f()单调递减；当1<<√-二时，(x)>0,f)单调递增，所以x=1是函数f(x)的极小值点，满足题意 …10分 【YT·数学（二）参考答案第3页（共4页）】 ()当-名<1a<-2时，令gx)>0,得0<名：令)<0.得>√ a 2 所以函数g)在(0√一名)上单调递增，在（√厂名，+∞）上单调递减，又g)=0所以当x>1时，f(x)<0, fx)单调递减当√一三<r<1时，()>0，f(x)单调递增，所以x=1是函数f)的极大值点，不满足题意 a 综上，a的取值范围为（一2，十∞）. …12分 (3)①当a<0时，fx)=alhx-a+1D+,当x+e时，有aln-a+1o,是+0，所以f)-, 不合题意。……14分 ②当a≥0时，由(2)知函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增，若f(x)≥0恒成立，只需f(1)=2一a≥ 0,解得0≤a≤2. 444444 …16分 故a的取值范围为[0,2].…17分 a-2 19.解：(1)由题知a2=+c2, 2分 11 a2+28=1, a=√2， 解得b=1, c=1, 故C的方程为号+y=1 …3分 (2)设点A(x1y1),B(x22),P(m,n). 由1)知F(-1,0),F2(1,0),又PF=入FA,PF=F2B. 所以(-1-m,-n)=入(x1十1，y),(1-m,-n)=(x2-1,2),且A>0,>0.…4分 =二m1-A ,=1-m+2 4… 5分 y=- n -m-1-入 入 T2= 1一m十4 将 和 分别代入方程十=1和受+=1，利用受十=1，化简可得入=2m十3， y1= =3-2m..… …9分 故入十=2m十3+3-2m=6. 10分 《③院-.成F成知器南附片 ………12分 故 入以 SAPAB 之P·Pm∠FpE×器X吊o产7 PA …15分 PA·PB·sim∠APB 又△PFR的面积是△PAB的面积的是，所以华7音A=8。 8 解方程十=6， =8可得 =2， =4， 或 =4 u=2, 所以入十2μ=10或8. 17分 【YT·数学（二）参考答案第4页（共4页）】