2026年高考数学考前猜题卷04（全国二卷通用）

**基本信息** 聚焦高考核心考点，通过复数、向量等基础题与导数、椭圆等综合题，融合数学抽象与逻辑推理，适配全国二卷模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、向量、数列等|基础题注重概念辨析，如第6题以历史文化街区执勤为情境，考查排列组合应用| |多选|3/18|统计、立体几何、函数性质|第10题结合正方体中点线面关系，考查空间观念与几何直观| |填空|3/15|圆、解三角形、条件概率|第14题通过盒子取球情境，考查条件概率计算与数据意识| |解答|5/77|三角函数、立体几何、椭圆、概率统计、导数|综合题梯度分明，如第18题以数学建模活动为背景，考查独立事件与分布列，体现应用意识；第19题导数题探究极值点关系，考查逻辑推理与创新思维，贴合高考命题趋势|

2026年高考数学考前猜题卷04（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则等于（   ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用复数的乘法及除法运算化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】复数，则． 2．若集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得和或，结合集合并集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由不等式，即，解得或， 所以或，所以或. 3．平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用数量积公式计算可得答案. 【详解】由，得， 又，. 4．已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是第一象限角，且， 所以，则，, 所以. 5．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由已知变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得，即可得答案. 【详解】由可变形为，故为公差为的等差数列， 所以，所以，所以． 6．某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A，B，C三个重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C，则不同的安排方法数为（    ） A．30 B．50 C．60 D．75 【答案】A 【分析】组合问题，特殊位置优先安排，先安排路口C，再安排路口A，B即可求解. 【详解】因为每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C， 所以路口C还缺1人，从剩下的5人中选一人到路口C，有种选法； 从剩下的4人中再安排两人到路口A，有种选法； 将剩下的2人安排到路口B，有种选法. 由分步乘法计数原理知不同的安排方法数为种. 7．已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先写出双曲线的渐近线方程，再求左焦点关于该直线的对称点坐标，最后利用“对称点在圆上”建立方程，求出与的关系，进而得到离心率. 【详解】双曲线的渐近线为且双曲线的焦半径参数满足 不妨取渐近线左焦点为设点关于直线的对称点为， 已知点关于直线的对称点坐标公式 把代入，得 再代入可得 所以因为点在圆上，所以 由，上式化为 即整理得所以 再由得因为 ，故于是双曲线的离心率 8．已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数求解出所构造函数的最小值，则的范围可知. 【详解】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得，令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】AD 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利用方差的性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D. 【详解】对于A：因随机变量，则， 由正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于B：由事件，相互独立，可知，对于随机事件，， 都有， 故仅当，互斥时，才有，故该结论不成立，即B错误； 对于C，由题意，，，对于数据，，，， 其均值为， 其方差为，故C错误；对于D，相关指数越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小， 则该回归模型的拟合效果越好，故D正确. 10．正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断ABC；求出四边形面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，即，而直线， 因此，又平面，平面，则平面，A正确； 对于B，，，因此，B正确； 对于C，，， 因此不垂直，直线与平面不垂直，C错误； 对于D，， 等腰梯形的高， 因此四边形的面积，D正确. 11．已知函数则下列结论正确的有（   ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．恰有两个零点 D．当，若，则 【答案】BCD 【分析】利用导数与函数单调性的关系，可求得函数的单调区间，根据函数极值点与最值的相关概念，可得答案. 【详解】当时，， 令，解得或，则函数在和上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减. 当时，，则函数在上单调递增. 综上易知：函数在和上单调递增，在上单调递减. 由函数在上单调递增，则不是函数的极值点，故A错误； 由函数在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，故B正确；当时，令，解得或， 当时，令，解得（舍去）， 则函数恰有两个零点为与，故C正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，， 所以当时，若，则，故D正确.故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 13．在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 【答案】; 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故，由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以．故答案为： 14．有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 【答案】 【分析】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球，利用全概率公式计算，，再利用条件概率的计算公式即可. 【详解】用分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球， 则 ； ，则， 故在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用余弦函数的性质求解. （2）由（1）结合已知求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值，利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以函数的最小正周期，单调递增区间为. （2）由（1）得，即， 在锐角中，，，则，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 设边上的高为，则，因此， 所以的最大值为. 16．（15分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用向量点积证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，得出平面，再结合平面，证得平面平面； （2）先求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算出法向量夹角的余弦值，最后取其绝对值，得到两平面夹角的余弦值； （3）先计算底面的面积，再以点到底面的距离（即的竖坐标）为高，代入三棱锥体积公式计算出体积． 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 因为，所以，因为，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （2）设平面的法向量， 则，即，令，可得， 又设平面的法向量， 则，即，令，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（是的竖坐标）． 17．（15分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆过已知点、顶点距离与焦距的关系，结合椭圆中的关系，即可得椭圆方程； （2）方法一：设直线方程，联立方程组后用韦达定理得到，通过向量数量积为0证明垂直；方法二：直线方程设为，联立方程组后用韦达定理得到，通过向量数量积为0证明垂直；方法三：通过设过定点的直线系方程，再结合椭圆方程变形，将垂直问题转化为斜率乘积为的关系，即可证得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为. （2） 方法一：设直线的方程为：. 联立方程,化简得, 显然点在椭圆的内部，所以. 设，则． 又因为,所以． 所以 所以，即. 方法二：设直线的方程为：， 联立方程,化简得． 显然点在椭圆的内部，所以． 设，则． 又因为，所以． 所以， 所以，即. 方法三：设：，则可化为， 展开得，即， 化简得，同除以可得， 又过，代入得，∴. 18．（17分）某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A，B两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为不合格．已知学生甲完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为，且甲、乙两人完成任务的结果相互独立． (1)求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； (2)在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； (3)从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）由条件概率的乘法公式直接计算即可； （2）利用条件概率公式直接计算； （3）易知X的可能取值为0，4，8，分别计算出甲乙两人得到相应分数的概率，即可得出分布列和期望. 【详解】（1）设事件“学生甲A任务合格”，事件“学生甲B任务合格”， 由题意可知，甲评定为优秀需均合格， 由条件概率的乘法公式可知． （2）设事件“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件“学生甲评定为优秀”，CD表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀， 故，对立事件“甲乙两人都不优秀”； 由(1)可知甲不优秀的概率为， 乙优秀的概率为，乙不优秀的概率为， 由相互独立事件概率公式， 因此；． （3）X的可能取值为0，4，8，学生甲得分的概率为P（甲得0分）； P（甲得4分）；P（甲得8分）； 学生乙：得分的概率为：设事件“学生乙A任务合格”，事件“学生乙B任务合格”， P（乙得0分）；P（乙得4分）； P（乙得8分）． 由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为， ；；． 则X的分布列为 X 0 4 8 P 则． 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为，， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减；若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增，由题意，，且，即有，故可得，又因，函数在上单调递增，故，又因，故得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学考前猜题卷04（全国二卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则等于（   ） A．5 B． C． D．2 2．若集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 3．平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 6．某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A，B，C三个重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C，则不同的安排方法数为（    ） A．30 B．50 C．60 D．75 7．已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 8．已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．若事件，相互独立，则 C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为5 D．用相关指数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10．正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 11．已知函数则下列结论正确的有（   ） A．是的极大值点 B．是的极小值点 C．恰有两个零点 D．当，若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆与圆的公共弦长为__________． 13．在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是_________． 14．有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知 ，. (1)求的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，，求BC边上的高的最大值. 16．（15分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 17．（15分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，且满足． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，求证：. 18．（17分）某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A，B两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为不合格．已知学生甲完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为，且甲、乙两人完成任务的结果相互独立． (1)求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； (2)在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； (3)从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考数学考前猜题卷04（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=7- 3-i’ 则等于() A.5 B.√0 C.5 D.2 【答案】C 【分析】应用复数的乘法及除法运算化简，再应用模长公式计算求解 【1复数：882-号则 g-s 2.若集合A={x-1<2},B={xx2+3x-4>0},则AUB=() A.{xx<-4或x>-l B.{-1<x<3 C.{xx<-4或-1<x<3} D.{<x<3 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得A={x-1<x<3}和B=xx<-4或x>}, 结合集合并集的定义与运算，即可求解 【详解】由不等式x-1<2,可得-1<x<3,所以A={x-1<x<3}, 又由不等式x2+3x-4>0,即(x-1)x+4)>0,解得x<-4或x>1, 所以B={x|x<-4或x>1},所以AUB={xx<-4或x>-l1} 3.平面向量d,6满足问=2，a(0+列=3，且向量0,6的夹角为径，则月=（) A.1 B. C.√ D.2 2 【答案】A 【分析】利用数量积公式计算可得答案. 【详解】由a(a+)=aa+abd+ab=3,得a.b=-l, 又a-6=a6os25=2（》-,同=1 4.已知a是第一象限角，且sna=手则coy2a--() A.172 B.-31V2 _17V2 D. 31W2 50 50 50 50 【答案】A 【详解】因为a是第一象限角，且sina= 所以coa=1sna-专：则sn2a=2 2sin o 24 cos2a=1-2sin2a=- 7 25 251 所以cos2a- =cos2acos +sin2asim元-7x524217迈 4 4 4-252+25 250 5.己知数列{an}满足4=1，an4n+1=2an-2a1，则a,=() 1 A. B. 2 1 C. 1 D. 2 4 【答案】C 111 1n+1 【分析】先由已知变形得到 2,利用等差数列求通项公式得到 a 2，进而得 a=- ，即可得答案 +1 111 1 【详解】由aa=2a,-2a可变形为。42放{位 为公差为)的等差数列， a 111 、所以三+n-1)=2，所以。=2 n所以a,=4 6.某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A,B,C三个 重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C,则不同的 安排方法数为() A.30 B.50 C.60 D.75 【答案】A 【分析】组合问题，特殊位置优先安排，先安排路口C,再安排路口A,B即可求解 【详解】因为每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C, 所以路口C还缺1人，从剩下的5人中选一人到路口C,有C;=5种选法： 从剩下的4人中再安排两人到路口A,有C?=6种选法： 将剩下的2人安排到路口B,有C?=1种选法. 由分步乘法计数原理知不同的安排方法数为5×6×1=30种 7.已知双曲线C:父- a2 b2 =1(a>0,b>0),1为C的一条渐近线，若双曲线C的左焦点 F(-c,0)关于直线1的对称点在圆(x-c)}+y2=c2上，则双曲线C的离心率为() A.3 B.2 C.3 D.√2 【答案】B 【分析】先写出双曲线的渐近线方程，再求左焦点关于该直线的对称点坐标，最后利用“对 称点在圆上”建立方程，求出c与a的关系，进而得到离心率e=C d 【详解】双由线C养-的酒近线为少三士x且双曲我的焦半径参数清足c=G+:,一 不妨取渐近线1：y=二x.左焦点为F(-C,0).设点F(-c,0)关于直线I的对称点为P(x,%), a (1-m2)x+2my2mx-1-m2y 已知点(x,y)关于直线y=mx的对称点坐标公式 1+m2 1+m2 把F(e,0)代入，得=1-m-g-1。 2m(-c）2m 1+m21+m0%= 1+m2 1+m2C b2 -1b2-a2。-b-a2 2.6 再代入m=力，可得，= 2ab 2ab Q 1+ a2+620= 1+ a2+b2℃- a 所以P b2-a2 2ab 圆为点P在国-+y=c上所以-c(地- -C C c 由c2=a2+b2,上式化为 b3-a2-(a2+b)）2 4a2b2 =c1 C 即(2+=2整理得4如+4如c2所以42(2+)=4 c2 再由a2+b=c2,得42c2=c.因为c>0,故c2=4a2.于是双曲线的离心率e=C=2 8.己知函数f(x)=x2-(a+2)x+dnx,其中aeR.若存在x∈[1，+o),使f(x)<a成立， 则a的取值范围是() A. D.- 【答案】C 【分析】将条件不等式变形后分离参数，根据分离参数所得不等式构造函数，再利用导数 求解出所构造函数的最小值，则a的范围可知， 【详解】由题意可知x2-（a+2)x+anx<a,变形得x2-2x<a(x-lnx+), 令F()=x-lhx+1(x≥)，则F'()=1-1=-1≥0， 所以F(x)在[1，+o)上单调递增，所以F(x)≥F()=1-ln1+1=2>0, 所以存在x+o)使得>令g),≥）：赦只需要让a>g似 x-Inx+1 因为g'(x)=c-x-2mr+4 (x-lnx+1)2 ，令A()=x-2nx+4M)=1-2==2 当x∈[l,2)时，h(x)<0,则h(x)单调递减， 当x∈(2，+∞)时，h(x)>0,则h(x)单调递增，所以h(x)=h(2)=2-2n2+4=6-2n2>0, 又x-1≥0，因此g(x)≥0，所以g(x)在[1，+0)上单调递增， 故ge-s0-令放a号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是（) A.若随机变量X~N1,o2),则P(X≤0)=P(X≥2) B.若事件A,B相互独立，则P(AUB)=P(A+P(B) C.若样本数据x,x2,,xn的方差为2，则数据2x+1,2x2+1,…,2x。+1的方差 为5 D.用相关指数R2刻画回归效果，R越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 【答案】AD 【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A,根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概 率公式即可判断B:利用方差的性质即可判断C:根据相关指数与残差平方和之间的关系即 可判断D. 【详解】对于A:因随机变量X~N(1,o2),则u=1, 由正态曲线的对称性可得P(X≤0)=P(X≥2)，故A正确： 对于B:由事件A,B相互独立，可知P(A⌒B)=P(A)P(B),对于随机事件A,B, P(AUB)=P(4)+P(B)-P(A0B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B), 故仅当A,B互斥时，才有P(A⌒B)=O,故该结论不成立，即B错误； 对于C,由题意，=∑x,y-2k-x=2,对于数据2%+1,2%+1，…，2x,+1, 其均值为7-22+)2x交+n*人2x41, 其方差为s=2[(2+1)=22-]=4x2长-片4=4x2=8,故C n 错误；对于D,相关指数R越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小， 则该回归模型的拟合效果越好，故D正确 10.正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点E,F分别为棱AB,AA的中点，则有() A.EF与平面ACD,平行 B.EF⊥BD C.EF⊥平面AB,C 9 D.四边形EFD,C的面积为 2 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断ABC; 求出四边形面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),B(2,2,2),E(2,1,0),F(2,0,1), 对于AF=0,-1)=0,-2,2)C0,即F1可，而E直线cn, 因此EF/ICD,又EF文平面ACD,CDC平面ACD,则EF/I平面ACD,A正确： 对于B,DB=(2,2,2),EF.DB=0×2-1×2+1×2=0,因此EF⊥DB,B正确： 对于C,AC=(-2,2,0),EF.AC=0×(-2)-1×2+0×2=-2≠0， 因此EF,AC不垂直，直线EF与平面AB,C不垂直，C错误： 对于D, =V2,1=2W2,=1=5, 等要桥形DC的商5-=3 因此四边形EFDC的面积S-5+2x3-),D正确 22 B 11.已知函数f(x)= x(x-3),x20,。则下列结论正确的有(） x3+3x2+3x,x<0, A.x=-1是f(x)的极大值点 B.x=3是f(x)的极小值点 C.f(x)恰有两个零点 D.当1≤a≤4，若0≤x≤a,则0≤f(x)≤4 【答案】BCD 【分析】利用导数与函数单调性的关系，可求得函数的单调区间，根据函数极值点与最值的 相关概念，可得答案 【详解】当x>0时，f'(x)=(x-3)+x·2(x-3)=3(x-3)(x-1), 令f'(x)>0,解得0<x<1或x>3,则函数f(x)在(0,1)和(3，+∞)上单调递增： 令'(x)<0,解得1<x<3,则函数f(x)在(1,3)上单调递减. 当x<0时，f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)≥0，则函数f(x)在(-o,0)上单调递增. 综上易知：函数f(x)在(-∞，1)和(3，+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减. 由函数f(x)在（-o,1)上单调递增，则x=-1不是函数∫(x)的极值点，故A错误： 由函数f(x)在(1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，则x=3是函数f(x)的极小值点， 故B正确：当x≥0时，令f(x)=x(x-3)=0,解得x=0或3， 当x<0时，令f(x)=x3+3x2+3x=0,解得x=0(舍去)， 则函数f(x)恰有两个零点为x=0与x=3,故C正确： 因为函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 且f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4, 所以当1≤a≤4时，若0≤x≤a,则0≤f(x)≤4，故D正确.故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆1：2+2-4+4=12与圆C2:x2+y2-4=0的公共弦长为 【答案】2√2 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为x一y+2=0,结合点到直线的距 离公式和圆的弦长公式，即可求解 【详解】由圆1：2+2-4+4=12与圆C2:x2+y2-4=0, 两圆的方程相减，可得-4+4=8，即x-y+2=0, 即圆C与C,的公共弦所在的直线方程为x-y+2=0, 又由圆C2:x2+y2-4=0,可得圆心C2(0,0),半径为5=2， 10-0+2 则圆心C,(0,0)到直线x-y+2=0的距离为= 12+(-1)2 =V2, 所以两圆的公共弦长为2 2=2√4-2=2V2. 13.在△ 中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=√5，且b2+c2=√3bc+a2, 则△ 的面积最大值是 【答案】6+3V5 4 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得bC最大值，即可求解。 【详解】由题意得cos4=b+c2-a-5 2bc 2 因4e(0,因，故4-名由a=公+-56c,结合基本不等式：公+2≥2c 得v6c+3≥2c,所以c5256+35,当且仅当6=c时取等号. 所以Sc=)besin4≤6+35.版答案为：6+3日 4 4 14.有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3 个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球现随机选择一个盒子，从该盒子中不 放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概 率为 【答案) 【分析】用A(i=1,2,3)分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用B,（j=1,2)表示第j次取出 的球是红球，利用全概率公式计算P(B),P(BB2),再利用条件概率的计算公式即可。 【详解】用A(i=1,2,3)分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用B,(j=1,2)表示第j次取出 的球是红球， 则P(B)=P(AB,+A,B+AB) -P4P1+4)P叫a)4Pa1)时号时号号号 P(B B2)=P(AB B2 +4B B2 +AB B2) =P(A P(BB2 A)+P(A)P(BB2 A)+P(A)P(BB2 A) -050-则aa) P(BB2)155 =一× P(B)339' 故在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为三 9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知/树=5cos2x+2sin+0sin-身，xeR (I)求y=∫(x)的最小正周期和单调增区间； (2)已知锐角△ 的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且f()=-V3,a=2,求BC 边上的高的最大值。 【答案】()，【-12 元+k,- hlk (2)N5 【分析】(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数f(x),再利用余弦函数的性质求解。 (2)由(1)结合已知求出A,再利用余弦定理及基本不等式求出bC最大值，利用三角形 面积公式求解。 【详解】1）依题直，f)=6cos2x-2 coin=cos2r-sin2x=2cos2x+牙 由+2江s2x+名s2瓶eZ,得-7径a≤xs-+低长eZ, 所以函数付的最小正周期T-头-不，单调递区间为[-径+：，及+a. 2 12 2)由1)得f)=2cos2A+3=-5,即cos2A+马=-5 6 62 在锐角△ 中，Ae0,2A+元∈（径7乃，则24+-5红 6’6 ，解得A= 6 66 3, 由余弦定理得4=a2=b2+c2-2 bccosA≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时取等号， 设BC边上的高为h,则)ah=}besin A,因此h=5bcs5, 1 2 4 所以h的最大值为√. 16.(15分)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2, BC=4,E是PD的中点. B (I)求证：平面PCD⊥平面PAD: (2)求平面EAC与平面PCD夹角的余弦值： (3)求三棱锥E-ABC的体积. 【答案】(1)证明见解析 2)5 、 5 【分析】(1)通过建立空间直角坐标系，利用向量点积证明CD同时垂直于平面PAD内的两 条相交直线AD和AP,得出CD⊥平面PAD,再结合CD⊥平面PCD,证得平面PCD⊥平 面PAD; (2)先求出平面EAC和平面PCD的法向量，再利用向量夹角公式计算出法向量夹角的余弦 值，最后取其绝对值，得到两平面夹角的余弦值： (3)先计算底面△ABC的面积，再以点E到底面ABCD的距离（即E的竖坐标）为高，代 入三棱锥体积公式V计算出体积 【详解】(1)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2), 所以AB=(2,0,0),AD=(0,4,0),AP=(0,0,2),CD=(-2,0,0), 因为CD.AD=0,所以CD⊥AD,因为CDAP=0,所以CD⊥AP, 又AD∩AP=A,AD,APC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,因为CDC平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD: (2)设平面ACE的法向量n=(x,y,z), EA=0 -2y-z=0 则 n.EC=0 2x+2y-2=0令y=1,可得i=(-2,1-2), 又设平面PCD的法向量m=(x,y,z), mPC=0 「2x+4y-2z=0 即 mPD=0 4y-2z=0 ，令y=1,可得m=(0,12), 所以cos(i·)= 元m (-2)×0+1×1+(-2)×2 5 m V-2)2+12+(-2)2xV0+1P+22 5, 所以平面E4C与平面PCD夹角的余弦值为5 (3)'E-ABC= S.c×zE= 3×4x1=4 (zε是E的竖坐标). 7.5分记知指图C:三+长=1I>6>0过点P 十 设它的左、右焦点分别为F,F, 左顶点为A,上顶点为B,且满足A8= 6 FE (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点Q 一SO作不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，求证：AM上AN 【答案10号+y=1 (2)证明见解析 4 【分析】(1)利用椭圆过已知点、顶点距离与焦距的关系，结合椭圆中α，b,c的关系，即可 得椭圆方程； (2)方法一：设直线方程y=k 6 x+ 5 联立方程组后用韦达定理得到x+x2,xx2,通过向 量数量积为0证明垂直：方法二：直线方程设为x=少- 上。，联立方程组后用韦达定理得到 片+y2,yy2,通过向量数量积为0证明垂直：方法三：通过设过定点A的直线系方程，再结 合椭圆方程变形，将垂直问题转化为斜率乘积为-1的关系，即可证得 a2+4b2 =1 a=2 【详解】(1)由题意得 Va+b=V15 6 x2c,解得{b=1,所以椭圆C的方程为+y=1。 c=V3 a2=b2+c2 (2) BM N 方法一： 设直线的方程为：=+)k+0 6 y=kx+ 5 联立方程 ,化简得(+42)x2+8x+ 4662-25）0, +y2=1 25 显然点Q 号0在精圆C的内部，所以△>0， 48k2 436k2-25) 设M,y)N(,),则x+6=5+4西=250+4 又因为A(-2,0),所以AM=(x+2,y),AN=(x2+2,y2) 所以 .双-6+2≤+24w=6+2-2+气5*+ =(k++2+j+)+4+36 25 k2+) 436-22 -48队2 36k2 X- 251+4k2） 551+4k2) +4+25=( 所以AM⊥AN,即AM⊥AN 6 方法二：设直线的方程为：x=y- x=ty- 6 联立方程 5 化简得e+y-号0g0。 25 +y2=1 4 显然点Q(0)在椭圆C的内部，所以4>0： 12t 64 设M(x,y),N(x2y2),则y+= +4%=25+4 又因为A(-2,0),所以AM=(x+2,),A=(x2+2,y2). 所以 4N=+2+2+=号号2w =++号0+⅓)28-+小 64 4 12t 160， 25(2+455(t2+4)'25 所以AM⊥AN,即AM⊥AN. 方法三：设1wm(c+2)+w=1,则等+y户=1可化为[(c+2)-2]+4y2=4。 展开得(x+2)}2-4(x+2)+4y=0,即(x+2)2-4c+2)[m(x+2)片m]+4y2=0, 化商得4-a+240-x+2-0,同降以(+2或可有名-4=0 又1e过og0以代入n0m=m- 4kwk 1-4m=-1 4 18.(17分)某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A,B两类实 践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核， 两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为 不合格。已知学生甲完成A任务合格的概率为子，若A任务合格，完成B任务合格的概率 为子：学生乙完成A任务合格的减率为子，若4红务合格，完成B任务合格的模率为宁， 且甲、乙两人完成任务的结果相互独立. (1)求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率： (2)在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率： (3)从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良 好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X)· 【答案】)片 24 ③分布列见解析，E(X) 9 【分析】(1)由条件概率的乘法公式直接计算即可： (2)利用条件概率公式直接计算： (3)易知X的可能取值为0,4,8，分别计算出甲乙两人得到相应分数的概率，即可得出 分布列和期望 【详解】(1)设事件A=“学生甲A任务合格”，事件B,=“学生甲B任务合格”， 由题意可知，甲评定为优秀需均合格， 由条件概率的乘法公式可知(1)=()()=×号》 (2)设事件C=“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件D=“学生甲评定为优秀”， CD表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀， 故P(CD)=对立事件C=甲乙两人都不优秀 由(1)可知甲不优秀的概率为P(⊙)=1-}=， 22 211 12 乙优秀的概率为号×23乙不优秀的概率为1-。 3=3 由相互独立事件概率公式()=×号专 图此()=1-（)=1--号P(oc)以c0)多-3 P(C)24 (3)X的可能取值为0,4,8，学生甲得分的概率为P(甲得0分)=1-()= P(甲得4分)=P4)=P(4)PB1A)子P(甲得8分)=方 学生乙：得分的概率为：设事件A2=学生乙A任务合格”，事件B2=“学生乙B任务合格”， P(乙得0分)=1-(2)=3P(乙得4分)=（22)=(2)(2)= P(乙得8分)=(22)=(2)(2)= 由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为；， (=0)=×+x对品（=4)=×+x=8)=x+×品 7 11 17 则X的分布列为 X 0 4 8 7 7 p J 24 24 12 则()=0×7+4×+8×品=号 1 19.(17分)已知函数f(四=2r+x-lnx,aeR. (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线y=2x+1平行，求a的值； (2)讨论f(x)的单调性： (⊙)诺f()存在两个极值点，k(G<,且()一fc)》>}2,求a的取值范国。 【答案】(1)-2 2)当a=0时，函数f()在(0,1)上单调递减，在，+o)上单调递增：当a≥4时，函数f() 在0，+四)上单调递减：当0<a<时，函数/()在(4如，1+口)上单调递增，在 2a 2a (0,1--40和+-4和，+0)上单调递减：当a<0时，函数f(x)在 1-V1-4 ,+0 2a 2a _2a 单调递增，在(0，-1-40)上单调递减。 2a 2 3)0<a< 【分析】(1)根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得： (2)将函数求导后，根据参数a的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单 调性： 1 X1+x2= 1 3)由(2)的结论分析得0<a<4:易得 口，设克=4，则有5=+1 a X =1+1, X3= a 计算了长）)5)并化简得了)f)支名n>1.设0= 1,-1-lnt,t>1, 22t 1 求导分析其单调性可得t>2,再由二=t+二+2，利用函数单调性即可求得答案， 【详解】D由/()=ar2+-lr求导得=-a+1-上 1 依题意，f'(1)=-a+1-1=2,解得a=-2 (2)因函数f()=-)ar2+x-nx的定义域为(0，+o0)f)=-+1--ar-x+ 2 当a=0时，f(x)=,当0<<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 即此时函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增； 当a>0时，若a≥ar2-x+1≥0恒成立，则∫()≤0，即函数f(y在(0+四)上单调递 减：若0<a<子由am-41=0解得x-1上a， 2a 由f()>0可得1-14和<x<1+=4和，由f)<0可得0<x<1-和或 -<X< 2a 2a 2a x>1+-4a 2a 即函数∫()在-和，1+和)上单调递增，在0，-4)和+ ,+0)上 2a 2a 2a 2a 单调递减； 当a<0时，由f()>0可得x>1=-4a,由了(x)<0可得0<<1-=4和 2a 2a 即函数f(x)在 1-V1-4a 上单调递增，在(0， 2a 1--40上单调递减。 2a 综上，当a=0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增： 当a时，画数了()在@+o)上单调篷减 当0<a<时，函数/()在（和，1+和）上单调递增，在01上妈和 2a 2a 2a +1-4 ,+0)上单调递减： 2a 当a<0时，函数f(x)在 1-V1-4a +00 上单调递增，在0,1--4)上单调递减 2a 2a (3)由(2)分析可知，f(x)存在两个极值点，七(：<)，则0<a<4 1 x1+x2= 此时x,x2是方程ax2-x+1=0的两个实根，则 a 1 为2= a 由f）厂f)=(c+名-lc）-(a+x-m)=a(g-)+c-x)h点 1 =-a6+)+切-n---h 设点=1，则1>1，将x=在代入x+=,化简得5=中。 1，为=1+1， 则无-=1-》f)=名n>1, 设h(t)=。t- 22t nt.1>1,则h0=7+2-,2y2>0,故函数0在 上举调遥指，由题意，)f)>n2,且)=1n2=至加2，即有0>2， 故可得1>2，又因=x+:=1++2,函数y=1+在(2，+0)上单调递增，故 a 2+}2-}义0<a橙得0<a a2026年高考数学考前猜题卷04（全国二卷通用) (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 山已知复数：=二，则等于() A.5 B.√10 C.5 D.2 2.若集合A={xx-1<2},B={xx2+3x-4>0,则AUB=() A.{x<-4或x>-}B.-1<x<3}C.{x<-4或-1<x<3}D.{1<x<3 3.平面向量a,6满足问-2，a-@+)-3,且向量a,6的夹角为牙，则=（) A.1 C.5 D.2 4.已知a是第一象限角，且ma=则c2a-) A.175 B.-31V2 C.-172 D.3V2 50 50 50 50 5.己知数列{an}满足4=1，an01=2an-2a1，则a,=() A青 B C. D. 2 9 6.某历史文化街区春节期间客流量较大，特安排包括甲在内的6名志愿者在A,B,C三个 重要路口进行执勤，疏导客流，若每个路口安排两人，且甲只能被安排在路口C,则不同的 安排方法数为() A.30 B.50 C.60 D.75 1。L知双自线C:等若1(a>0,b>0.1伪C的一条新近线，若双浦载C的左点 F(-c,0)关于直线1的对称点在圆(x-c)+y2=c2上，则双曲线C的离心率为() A.3 B.2 C.5 D.√2 8.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+dnx,其中aeR.若存在x∈[1，+o),使f(x)<a成立， 则a的取值范围是() B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列说法正确的是() A.若随机变量X~N(1,o2),则P(X≤0)=P(X≥2) B.若事件A,B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B) C.若样本数据x,x2,…,xn的方差为2，则数据2x+1,2x2+1,…,2xn+1的方差 为5 D.用相关指数R2刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 I0.正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点E,F分别为棱AB,AA的中点，则有() D B A.EF与平面ACD,平行 B.EF⊥BD C.EF⊥平面AB,C D.四边形EFDC的面积为 2 x(x-3}2,x≥0， 11. 已知函数f(x)= 则下列结论正确的有() x3+3x2+3x,x<0, A.x=-1是f(x)的极大值点 B.x=3是f(x)的极小值点 C.f(x)恰有两个零点 D.当1≤a≤4，若0≤x≤a,则0≤f(x)≤4 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆1：2+2-4+4=12与圆C2:x2+y2-4=0的公共弦长为 13.在△中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=√3，且b2+c2=√3bc+a2, 则△的面积最大值是 14.有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3 个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球现随机选择一个盒子，从该盒子中不 放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知f()=V3cos2x+2sin 3π +x)sin-),x∈R. (1)求y=f(x)的最小正周期和单调增区间： (2)已知锐角△ 的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且f(A)=-V3,a=2,求BC 边上的高的最大值」 16.(15分)如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2, BC=4,E是PD的中点. D B (I)求证：平面PCD⊥平面PAD: (2)求平面EAC与平面PCD夹角的余弦值： (3)求三棱锥E-ABC的体积. 12.(15分尼知烯圆C:+若-a>办>0过点PL a2+b2 设它的左、右焦点分别为F,F,, 左顶点为4，上顶点为8，且满足=V店 E· (1)求椭圆C的标准方程： ②过点Q-,O作不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，求证：AM上AN 18.(17分)某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A,B两类实 践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核， 两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为 不合格。已知学生甲完成4任务合格的概率为子若A任务合格，完成B任务合格的概率 为行：学生乙完成A任务合格的板率为子，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；， 且甲、乙两人完成任务的结果相互独立， (1)求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； (2)在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； (3)从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良 好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X). 19.(17分)已知函数f()=2r+x-lr,a∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线y=2x+1平行，求a的值； (2)讨论f(x)的单调性： (⊙创诺f()存在两个极值点(G<.且/)一了(x)>}-n2,求a的取值范围.