精品解析：陕西咸阳市渭城区2026届高三下学期4月能力测试数学试题

6学科网列组卷网 2026届高三下学期4月能力测试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合M={dr-3r-4>0以，N=3,-l1,35,则MnN=() A.{-3,5} B.{1,} c1,3} D.{-11,3} 【答案】A 【解析】 【分析】先通过解一元二次不等式，求出集合M的取值范围，再根据集合N中的元素，筛选出同时满足 集合M条件的元素，得到两个集合的交集即可 【详解1由-3-4>0，解得x<-1或x>4, 所以M=x<-1或x>4号 又因为N={3,-113,5y 所yMnN={-3,5y 2.若复数z=4-i,则复数z在复平面内的对应点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 第1页/共22页 6学科网命组卷网 【解析】 ii i(4+i)1 4i 【详解】因z4-i171717, 14 则其对应的点的坐标为17'17，位于第二象限 C 2 42 =1 3.已知椭圆·4中3一 的右顶点为A,右焦点为B,则点A,B到直线y=x+1的距离之积为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【详解】由己知，右顶点为A,有焦点为B的坐标分别为A(2,0),B(L,0)】 点4B到直线 y=x+1 的距离分别为 4=2-0+13 √2 所以44-3 4设函数f()=og,(-+2）在区间(Q,1)上单调递减，则a的取值范围是() A.(2,3] B.L,3) c[2,3] D.(12] 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知函数y=x一心+2x-2+2-4在(0，])上单调递减，且y>0 1-a+2≥0 所以 ,所以 2≤a≤3 第2页/共22页 学科网命组卷网 5.若a∈(0，π)2+sin2a=2sin π 2a+ 2,则cosa=() 25 5 5 2V5 A. 5 B. 5 c.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】应用诱导公式及二倍角公式化简，再应用正弦值域得出cosa=-2sina,最后结合同角三角函数 关系计算求值。 【详解】由题意得2+2 sincoa=2cos2a=2(1-2sin'a）,所以sina:cosa=-2sin'a. 因为a∈(0，m）,所以sina>0,所以cosa=-2sina<0,且cos2a+sin2a=1, 所以cosa 5,可得cosa=-2 5 6已蜘喝数fa)-sin(2x+o)点{-受c0<到. 若函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=6对称， 且80) 6,则p=() A.12 B.6 C.4 D.3 【答案】B 【解析】 = 6,结合p的范围代入求解即可 【详解】由题意知 第3页/共22页 6学科网命组卷网 π 7π 2π 5π <0< π2π+ p< +0= 因为2 2,所以63 6,所以3 6,解得0产 6 7.已知直线x+y-6=0与圆C=(x-+(y-V3=9相交于4，B两点，O为坐标原点，若 OA=OB,则AB=() A.2V5 B.4 c.4v2 D.4V5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据1OA-OB得出圆心与线段AB中点的连线与直线AB垂直，进而求出圆心到直线的距离， 再结合圆的半径，即可得弦长 【详解】由lO4=O8,则0在4B的重直平分线上， 又圆的弦AB的垂直平分线过圆心CL,V5), 故OC为AB的垂直平分线，即OC⊥AB, ,0a=5 所以直线AB的方程为x+V3y-6=0 h+53-6_1+3-6=1 d= 则圆心CL,V5)到直线AB的距离、 12+(3)2 2 又圆的半径r=3,所以4B到=2V2-d2=2V32-P=4V2 8在四面体4BCD中，平面BDL平面4BC,∠1CB=90,∠ADB=30,若点4B,CD均在 球O的球面上，且AB=2,则球O的表面积为() 第4页/共22页 6学科网 组卷网 32π A.9π B.3 C.12π D.16π 【答案】D 【解析】 【分析】取AB的中点M,由条件可得点M为△ABC的外心，由平面ABD⊥平面ABC,可得四面体 ABCD O,△ABD 的外接球球心为 的外心，利用正弦定理即可求得其半径，进而求出答案. 【详解】如图，取4B的中点M因∠1CB=90,则点M为△1BC 的外心， 又因平面ABD⊥平面ABC,平面ABD⌒平面ABC=AB, 故四面体ABCD的外接球球心O必在平面ABD内，且是△ABD的外心， 易得OM⊥平面ABC,故有OA=OD=OB=OC, A=2 1 =2 AB 在△ABD中，∠ADB=30·AB=2'由正弦定理，sSin∠ADB =20A,则 2× 2 故四面体ABCD 的外接球O的表面积为4红×2=16r P 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 第5页/共22页 命学科网命组卷网 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.有一组样本数据，七，…，心，其平均数为4，方差为，中位数为m.在这组数中，去掉一个最大的 数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为，方差为°，极差为t,则() A.m=n B.t<4 c3s2<4s2 D.子≥1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系 进而得到结论 【详解】对于A,令x≤书≤…≤x,原中位 m=龙+x 2,将最大最小去掉后，x3≤…≤x，此时 n=七+& 中位 2，所以m=n.故A正确 对于B,1=龙≤x-x=6-2=4 ,故B错误 对于C,因为原数据的平均值为4，所以+5+…+5=32，去26，与+…+名=24 ，新的平均 1 （x3+…+x,)=4 值为6 ×-2g到-24+4--4126-1 32 所以 >4,因此32<4s,故C正确 对于D,由上述计算 32+121 4 ,故D正确 第6页/共22页 学科网命组卷网 10,已知直线：y=x+b与圆0：X2+y2=4和圆C:(x-4+y=1都相切，则() A(k,b)的值有4组 B.直线少= 与圆相切 C.直线 6与圆和圆C都没有公共点 D.与圆O和圆C都相切的圆中，半径最小的圆的面积为π 【答案】AC 【解析】 k,b 【分析】求出两圆心及半径，利用点到直线距离公式列式求出，进而求解判断ABC;确定两圆的位置， 再求出符合条件的最小圆半径即可 【详解1圆0：x+y=4的圆心0(0,0），半径1=2，圆C(x-4+y=1的圆心C(4,0),半径 5=1 4k+b-1 依题意， 《2+1，k+1,联立解得或6-、以 3 当6=8联时，2= 5,解得k-5 一ek=一15’b=S 15: 当bs、 w=9685 3时，2=9 尊 7,因此(k,b)有4组值，A 正确； 21 2=9 要直线y=c与圆C相切，必有15，而当7时，直线y=kc与圆C不相切，B错误： 由M>2,得直线y=b与圆0和圆C都没有公共点，C正确： 第7页/共22页 6学科网6组卷网 由圆0和圆C的圆心都在x轴上，且两圆外离，这两个圆上距离最小的点为(2,0)，(3,0) π 因此与两圆都相切的圆中，最小的半径为2，面积最小为4，D错误 11.甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则() 2 A.老师不排在两端的概率为3 1 B.学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为4 1 C.学生甲、乙、丙连排在一起的概率为5 2 D.老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用古典概型即可判断A；利用插空法结合古典概型即可判断B:利用捆绑法结合古典概型即可 判断C;利用排除法结合古典概型即可判断D, A4A;_2 【详解】对于A,老师不排在两端的概率为A3,故A正确： 对于B,先排甲、乙、丙之外的3人，有A=6 种，形成了4个空， 在这4个空中排甲、乙、丙，方法有A=24种。 所以甲、乙、丙互不相邻的排法有6×24=144种， 1441 所以所求概率为A:5，故B错误； 对于C,甲、乙、丙连排在一起有A=6 种， 第8页/共22页 学科网命组卷网 把甲、乙、丙看作一个整体，再和其他三人一起排，有A=24 种， 6×241 所以学生甲、乙、丙连排在一起的概率为A:5,故C正确： 对于D,从学生甲、乙、丙中任选出2人看作一个“整体，方法有代=6种， 先排教师和余下的两人，有A=6 种，形成了4个空， 将整体和另一个人插在4个空之间，有 A1=12 种， 所以满足条件的排法有6×6×12=432种， 若老师排在两端，与其他两人先排，有AA;=4 种，形成了3个空， 将整体和另一个人插在3个空中，有代=6种。 满足此条件的排法有6×4×6=144种， 所以满足条件的排法有432-144=288种， 2882 二 所以所求概率为A?5,故D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f四是定义在R上的偶函数，且f(x-2)=f(9,当1≤x≤2时，f)=V2-x,则 2025 八4 【答案】2拼0.5 【解析】 第9页/共22页 命学科网命组卷网 20251 =+253×2 【详解】44 ,由f(x-2)=f(x)知f(x)的周期为2，又f(x)是偶函数， )得)2小 当1≤x≤2时，f)=V2-x 13.若函数f)=1+1 sinx cosx在(a,b)上单调递增，则b-a的最大值为 π 【答案】2 【解析】 1+1 【详解】f)Fsn+co3x的定义域是 f(x)=-cosx sinx sin'x-cos'x (sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x) sin2x cos2x sin2xcos2x sin2xcos2x (sinx-cosx)1+sin 2x sinxcosx 因为1+2m221-分0，mos3x>0所以re>0台sm-cs0哈nx>c 2 π5π 考虑在单个周期[0,2π内， 因为x≠ke乙即x2,r≠元 在一个内的年区（任.（.红 第10页/供22页 学科网命组卷网 受分年- 元 因为244， 4,所以b-a的最大值是2 .x2y2 14已知双曲线C:日厅引的右顾点为4，右焦点为F,左焦点为。在C的海近线上取一点p, C 使PAHAF1.设C的左顶点为4，且满足PA:P=0,则C的离心率可能为一，（写出一个即 可) 【答案】2 【解析】 【分析】根据P1:PA=0,可判断点P在以M4为直径的圆上，联立圆的方程与浙近线方程，求出点P 坐标，再根据 PAAF ,建立等量关系，化简求出离心率. 【详解由题意知1(a,0),4(a,0),F(c,0),F(-c,0),则4F=c-a, 所以PAH AF=c-a,由PA:PA=0可得∠APA=90 所以点P在以44为直径的圆上，圆的方程为r+少= x2+y2=a2 又点在渐近线y=士x上，联立方程 b y=±x P a c,y=tab C, 第11页/共22页 命学科网命组卷网 a ab a2 ab 不妨取点。为。。或。， c, 由|PAP=(c-a2可得 。-g0--e-，e=1 a 整理得 -e-2=0,解得e=2,故C的离心率可能为2， 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤」 15.已知四面体ABCD中，AB=BC,∠ABD=∠CBD,M为AC中点，BD⊥MD.作MF⊥AD, 垂足为F. B M (1)证明：MF⊥AB: (2)若AB=2,∠ABC=60,四面体ABCD的体积大于4，求二面角M-BD-A的正切值的取值范 围 【答案】(1)见解析： 3v2-632+√6 (2) 3 ，3 【解析】 【分析】(I)通过线面垂直证明线线垂直；(2)求出二面角M一BD-A的正切值的表达式，再求解其取值 范围 【小问1详解】 因为AB=BC,M为AC中点，所以BM⊥AC, 第12页/共22页 6学科网命组卷网 在△ABD和△CBD中，AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD, 故△ABD≥△CBD(SAS),得AD=CD,又M为AC中点，所以DM⊥AC, 且BMODM=M,BM,DMC平面BDM,所以ACL平面BDM,因为BDc平面BDM, 所以AC LBD,又BDLMD,且4CnMD=M,AC,MDC平面ACM 所以BDL平面ACM,因为MFC平面ACM,所以BD⊥MF: 又MF LAD,且DnBD=D,MD,BDC平面ABD,枚MF⊥平面ABD, 又ABC平面ABD,所以MF⊥AB: 【小问2详解】 由B=2,1B=BC,∠ABC=60,得△4BC为等边三角形，故AC=2,BM=V5 由)知BDL平面1CM,所4DLBD,DM LBD】 ,所以∠MDA即为二面角A-BD-M的 平面角 设DM=L,在RtBDM中，可得BD=VBM2-DM=V3-P 则2四画体8CD的传积为'-写xD-2VA- 32 ×25-平>号6-35<<6+3532-61<32+6 <t< 根据题意有32 4,解得4 4，即4 4, tan∠ADM= AM_13W2-V63V2+V6 16已克商题2如(or+00>0风号)的园与西数8间-=5 tan2x的图象的一个交点为 第13页/供22页 命学科网命组卷网 且函数∫(x)的最小正周期是函数g(x)最小正周期的2倍. (山)求函数f()的单调递增区间： （2)若在等比数列a,}中，a4a=2元，数列a,f(0,}的前n项和为，求满足 7<5-1o0)z 4 的的最小值。 kn-- 【答案】(1)L6’ (2)7. 【解析】 【分析】(1)先求出8()的最小正周期，根据f()的最小正周期是8()的2倍且0>0，求出0的 位：再根提点石小)是两个两数的交点，分别代入了()和8()，丽结合小<受，求出0的位，迹而 元 确定(：)的解析式：利用正弦函数的单调递增区间的求解方法，结合()的解析式，列出关于x的不等 式，解不等式得到单调递增区间： (2)先根据等比数列的通项公式，由凸和04求出公比9，得到数列{a,的通项公式，从而得到 5-100)jπ {a,f(a)}的表达式，利用局部等比数列求和公式求出7，最后解不等式T< ,求出的最 小值 【小问1详解】 第14页/供22页 6学科网6组卷网 8) 个 tan2x,∴g(x)的最小正周期为2： 3 :“函数f()的最小正周期是函数8(x最小正周期的2倍，“f()的最小正周期为元： .0>00=2 π y= ~函数/()的图象与西数g()的图象的一个交点为6儿，· 3an=1 tan 3 3 f日-2n2802m后0小-1.nm目+.￥w0=2xe2 0=2kx+*(keZ) k2.0=8 6: f(x)=2sin 2引 2km-2 6 3 ,得 “f(x)的单调递增区间为 3 【小问2详解】 设等比数列10)的公比为9 0=-π a=4,a4=2元，.由 6a4=ag,得49=2π ,解得9=2： 第15页/供22页 6学科网列组卷网 ∴a=T2=23元 4 f-2m2.fa)=2m2x君}n2r8引 n1H4a)-当-2.4e)-5时 afa,)=2m（}-2 =242动+(2刘-243-+2++2 ,0k复2 4 g5-10.6+5-2江，（3-1 4 4 ,即2>106 .n>log6 :n∈N.n 的最小值为7. 17已知数列a,}前n项的积为了，=32 111 (1)判断1-a,1-an+11+an是否成等差数列，并给出证明： 11 2)令6。=1+4.1-a,求数列他}的前n项和5， 第16页/供22页 6学科网列组卷网 【答案】(1)是，证明见解析 (2),=12 132°-1 【解析】 【分析】(1)求出数列的通项公式，结合等差中项法判断等差数列证明即可： (2)结合裂项相消法求和即可 【小问1详解】 11 1 1-an1-an+11+a,成等差数列. 明：因为数列{a,}前n项的积T=3,所以当2时，。，了32 13232 时，4=7=3 当n-l ,符合上式， 所以0n-32 所以，1+122 2 a+21-g1- 111 因此1-an1-an+11+an成等差数列 【小问2详解】 +1 1 2 由(1)可得1-an1+an1-a+1, -*-名4.4周(aa】 第17页/供22页 命学科网命组卷网 得产 限到收简电义=1己 18已知抛物线C:广=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点L,0)的直线1与C的交点为4B,与'轴 的交点为P，,且点A在x轴上方 (1)若AF+BF=14 求1的方程： (2)若那+4PB=0,求过点 A,B,F 的圆的标准方程。 【答案】(1)x±y-1=0 ++0-2- 16 【解析】 【分析】(4)先求出抛物线的方程少=8x,设'的方程X=+1,代入广=8x,写出韦达定理，利用 抛物线的定义，结合题设条件求得t=±1，即得的方程： (2)先求出 将点A,P,B的坐标代入AP+4PB=0推得x=4x2,由(1)的结论求得 40,4.22 结合F(2,0),利用待定系数法即可求得圆的标准方程 【小问1详解】 卫-2 因为C:y=2x(p>0)的焦点为F(2,0),所以2=2，解得p=4, 故C的方程为”=8x 第18页/供22页 命学科网命组卷网 设'的方程为=+1，将其代入广=8x,消去整理得广-80-8=0， 设1(，乃)，B(,乃），则+=8，x+名=(+)+2=8+2， 因为MF+BF=x+2+为+2=14，所以x+x=10, 由80+2=10，得=±1 所以的方程为 x=±y+1mx±y-1=0 ,即 【小问2详解】 对于1：x=+1,令=0.得购P0-月】 丽4师(}小〔%+月-@0，数长=46 出4奥=3，所-店-1城=1， 1 因为5>0，所以5=2，从而=2，则=8x=16, 因为点4在首上方，所以头=4，酒可得424.82】 设过4B,F三点的圆的方程为x-a+0y-b=r(>0）,又F(2,0), 第19页/供22页 可学科网列组卷网 (2-a)2+(4-b)2=r2 3小(2-6r 2 则得 (2-a)2+(0-b}=r2 解得 4,b=2,2=425 s、 16, 防过且F=点调的方为+4+一2-答 +11)2 19.设函数厂(x)=x-2(n+a,)inr-4na x,n∈N,数列{a,}的各项都是正数. (1)讨论f()的单调性： (2)已知01是广()的极小值点. (①若0，>n,且4=2，求数列a,}的通项公式： (i)若数列a,}是等比数列，求a的取值范围。 【答案】(1)当0<a,<”时，f(的单调递增区间为(0,2a,)和(2m,+）,单调递减区间为 (2an,2n） 当4，=川时，人（女的单调递增区间为0，+o）,没有递减区间； 当0>n时， f(创的单词造增区间为020）和2，：+切）.年调证减区时为2a,2a） (2)(④a,=2”,(i（+o) 【解析】 【分析】(1)先求导并因式分解得到导数零点，再根据，与”的大小关系分类讨论，确定函数单调区间。 第20页/共22页 6学科网6组卷网 (2)①由0，> 确定极小值点，推出递推关系，结合首项求等比数列通项； ()按”范围分类验证，排除矛盾情况，结合等比数列性质得出”的取值范围。 【小问1详解】 f(x)=x-2(n+a,)Inx-4n x的定义域为(0，+∞)， f)=1-2a+a）4ne-r-26n+a)小x+4n0_x-2mj0x-2a) x2 f(2m）=f(2a,)=0,其中4>0， 当0<a.<m时，0<x<2a,或x>2m时，f()>0:2a,<x<2n时，()0 所f(~)的单调递增区间为0,2a,）和（2m,+w）,单调递减区间为2a,2m）: 当4，=”时，()20，所以()的单调递增区间为0，+o）,设有递减区间： 当4，>n时，0<x<2n或x>2a,时，f(>0,2n<x<2a时，f()0 所广(~的单调递增区间为0,20）和(2a,+o）,单调递减区间为2m,2a,） 【小问2详解】 (i)因为a,>n 2a 2n ,所以 所以白（山）知2a是无()的极小值点，所以01=2a, 因为4=2，所以{a,}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2” i当0<4<1时.2a<2. 第21页/供22页 6学科网列组卷网 由4)知2是（的极小值点，所以4=2，即20，=4， 由(4)知方()在(0，+0)上单调递增，方(~)没有极值点，与4是方()的极小值点矛盾； 当4=1时.24=2 由（山）知()在0，+）上单调递增，()没有极值点，与4是()的极小值点矛盾 当4>≥1时，2a>2,由1)知f(的极小值点4，=2a, 因为1a}是等比数别，所以公比9-名=2 a1,所以an=2”-a 今9，=2-n,则-c,=2"-n-1-2+n=21-1 当n>1时，2-1>0，C1>cn. 因为9=21-3=1>0 所以n≥3时，c。=2-n>0,2->n.2”>2n>0. 又9=9=0,4>1，所以2a-2>0.24,-4=4a-4>0, n23时.2a,=2°g>2na,>2n 故当4>1时，对任意n∈N均有a,>n,由)知01是（的极小值点，这与01=20，的递推关 系一致， 所以4的取值范围是（亿+∞）. 第22页/供22页 2026届高三下学期4月能力测试 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则复数在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知椭圆的右顶点为，右焦点为，则点到直线的距离之积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 8. 在四面体中，平面平面，，若点均在球的球面上，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与圆和圆都相切，则（ ） A. 的值有4组 B. 直线与圆相切 C. 直线与圆和圆都没有公共点 D. 与圆和圆都相切的圆中，半径最小的圆的面积为 11. 甲、乙、丙等五名学生和一位老师六人站成一排照相，则（ ） A. 老师不排在两端的概率为 B. 学生甲、乙、丙两两互不相邻的概率为 C. 学生甲、乙、丙连排在一起的概率为 D. 老师不排在两端，学生甲、乙、丙三人中有且仅有两人相邻的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则_____________． 13. 若函数在上单调递增，则的最大值为______． 14. 已知双曲线的右顶点为，右焦点为，左焦点为．在的渐近线上取一点，使．设的左顶点为，且满足，则的离心率可能为______．（写出一个即可） 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． （1）证明：； （2）若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 16. 已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍． （1）求函数的单调递增区间； （2）若在等比数列中，，数列的前项和为，求满足的的最小值． 17. 已知数列前项的积为. （1）判断是否成等差数列，并给出证明； （2）令，求数列的前项和， 18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与的交点为，与轴的交点为，且点在轴上方. （1）若，求的方程； （2）若，求过点的圆的标准方程. 19. 设函数，，数列的各项都是正数． （1）讨论的单调性； （2）已知是的极小值点． （i）若，且，求数列的通项公式； （ii）若数列是等比数列，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $