精品解析：陕西榆林市靖边中学2025-2026学年高二第一学期收心考试数学试卷

靖边中学2024级2025~2026学年度第一学期收心考试试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据5，9，1，3，7的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解． 【详解】先将样本数据按照从小到大排序1，3，5，7，9，中位数是第三个数5. 故选：C 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用两向量垂直等价于数量积为0，得出方程，即可求出的值. 【详解】由题意， ，，， ∴， 解得：. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】，故. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 5. 如图，在直三棱柱 中，△ABC为等腰直角三角形， 且 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，由异面直线夹角的向量法即可求解. 【详解】 由题意如图建立空间直角坐标系， 可得：， 则与， 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则， ，，， ，为内角， ，则，，, 故选：D. 7. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知总有28条线段，找出与平面平行的即可得到概率. 【详解】根据题意，任意两个顶点连线共有条， 平面平行的有共3条， 所以概率为. 故答案为：D. 8. 在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ） A. -2 B. -4 C. -8 D. -10 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算，先把向量用来表示，再用空间向量数量积运算即可求解 【详解】在正三棱锥中，，所以， 则，又，， 所以 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题为假命题的有（ ） A. 若，，则m，n相交或平行 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，，则直线m，n相交或平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则n与平行或相交或在平面内，故D错误. 10. 已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则角的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由是锐角三角形，可得，取正弦化简判断，对于B，由题意可得，化简变形后进行判断，对于C，由选项A可知，两边加上，化简进行判断，对于D，利用余弦定理结合基本不等式分析判断. 【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，同理可得， 所以，故A正确； 对于B，因为是锐角三角形，所以， 所以， 所以，又，， 所以，故B错误； 对于C，因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以， 又，所以，， 所以，故C正确； 对于D，因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，又，所以角的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的计算公式得到答案. 【详解】向量， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ．. 故答案为： 13. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出与，计算模长和夹角余弦值，进而求得夹角的正弦值，最后利用平行四边形面积公式，求面积即可. 【详解】因为，，，所以，， 则，， ， 所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故答案为： 14. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】 过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆， 且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形， 由题意的半径为， 所以的边长为6， 所以圆锥的底面半径为3， 所以圆锥的侧面积． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求得正确答案. （2）利用余弦定理求得，再由三角形的面积公式求得的面积. 【小问1详解】 依题意，，， 由正弦定理得. 【小问2详解】 若，则，由余弦定理得， ， 解得，所以. 16. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可； （2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得，； 这50名学生的物理成绩的平均数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人， 其中内有2人，设为，内有3人，设为， “从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为： ，而事件 “2人成绩都在内”=， 由古典概型概率公式可得，. 即这2人成绩都在内的概率为. 17. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且. （1）若点满足，求证：平面； （2）底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，，， 所以，. 设平面的一个法向量， 所以， 令，解得，， 所以平面的一个法向量. 若，则， 所以， 所以，， 又平面，所以平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，再计算，从而可证明； （2）假设底面内存在一点，使得平面，从而根据列式可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设底面内存在一点，使得平面， 设， 又，所以， 又平面的一个法向量，所以， 所以，解得，， 所以底面内存在一点，使得平面，此时. 18. 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． （1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； （2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率； （3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由事件的相互独立性的乘法公式和对立事件可求出答案。 （2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。 （3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，由事件的相互独立性的乘法公式代入即可得答案。 【小问1详解】 记“乙至少有1个回答正确”为事件， 所以， 即乙至少有1个回答正确的概率是． 【小问2详解】 记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件 所以 ， 即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是． 【小问3详解】 记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件， 所以 ， 即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是． 19. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 【答案】（1）证明:因为， 所以，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示坐标系，求出平面的一个法向量再代入空间线面角的公式求解即可； （3）设，求出平面和平面的一个法向量代入空间二面角公式求出即可； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，所以，则． 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即令，解得，故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则即令，解得， 故， 设平面的一个法向量为， 由得令，解得，故， 所以， 即，整理，得，解得或（舍去）． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2024级2025~2026学年度第一学期收心考试试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据5，9，1，3，7的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在直三棱柱 中，△ABC为等腰直角三角形， 且 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 7. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ） A. -2 B. -4 C. -8 D. -10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题为假命题的有（ ） A. 若，，则m，n相交或平行 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则角的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 13. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为__________. 14. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且，. （1）求的值； （2）若，求的面积. 16. 一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率. 17. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且. （1）若点满足，求证：平面； （2）底面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 18. 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响． （1）若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； （2）若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率； （3）假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率． 19. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当二面角的余弦值为时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $