第9章 平面向量单元试卷-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本卷全面覆盖平面向量核心知识，题型与高考接轨，梯度设计合理，适合高中数学平面向量单元复习，有效考查数学思维与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量概念、数量积等，如第1题辨析向量基本性质|基础概念辨析，结合逻辑推理| |多项选择|3/18|运算律、坐标运算，如第10题坐标向量的模与投影|多角度考查，体现数学眼光| |填空题|3/15|共线、合力计算，如第13题物理情境合力坐标|跨学科情境，培养应用意识| |解答题|5/77|共线证明、几何应用，如第19题三角形中向量表示与夹角计算|综合应用，提升数学思维|

第9章　平面向量 (考试时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.对于平面向量a,b,c,下列叙述正确的是(　　) A.若|a|=|b|,则a=±b B.若a与b是单位向量,则a·b≤1 C.若a∥b,则a·b=|a|·|b| D.若a∥b,b∥c,则a∥c 2.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为120°,则m·n=(　　) A.12 B.12 C.-12 D.-12 3.向量b=在向量a=上的投影向量为(　　) A.± B. C. D. 4.已知|a|=2,b=,<a,b>=,则“a·b=5”是“m=4”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(　　) A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 6.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 7.已知三点A,B,C共线,不共线,且A在线段BC上(不含BC端点),若=x+y,则的最小值为(　　) A. B.4 C. D. 8.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,则实数m的值为(　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.关于平面向量a,b,c,下列说法中正确的是(　　) A.(a+b)·c=a·c+b·c B.(a·b)c=a(b·c) C.若a·c=b·c,则a=b D.若a·b=|a||b|,则a与b同向 10.已知a=(2,0),b=(1,),则(　　) A.|b|=2 B.a·(a-b)=0 C.b与a+b的夹角的余弦值为 D.向量b在向量a方向上的投影向量坐标为(1,0) 11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　) A.若,则点M是边BC的中点 B.若=2,则点M在边BC的延长线上 C.若=-,则点M是△ABC的重心 D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 已知向量a=(x,1),b=(4,x),若a∥b,则x=　　　　.  13.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为　　　　　 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力,则合力的坐标为　　　　　.  14.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设a,b是不共线的两个非零向量. (1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求证:A,B,C三点共线; (2)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值,并指出4a+kb与ka+b反向共线时k的取值. 16.(15分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|b|=2,且a∥b,求b的坐标; (2)若|c|=,且2a+c与4a-3c垂直,求a与c的夹角θ. 17. (15分) 如图,在平行四边形ABCD中,点M为AB的中点,点N,P在线段BD上,满足,设=a,=b. (1)用向量a,b表示向量; (2)若||=,||=1,∠DAB=,求||. 18. (17分) 如图,已知△ABC中,∠ACB是直角,CA=CB,点D是CB的中点,点E为AB上一点. (1)设=a,=b,若,请用a,b来表示. (2)当=3时,判断AD是否垂直于CE.若成立,给出证明;若不成立,说明理由. 19.(17分)在△ABC中,P为AB的中点,O在边AC上,BO交CP于R,且||=2||,设AB=a,AC=b. (1)试用a,b表示; (2)若|a|=2,|b|=1,<a,b>=60°,求∠ARB的余弦值. 参考答案 1.B　对于A,若a=(1,0),b=(0,1),此时|a|=|b|=1,而a≠b且a≠-b,故A错误;对于B,因为a与b是单位向量,<a,b>∈[0,π],所以a·b=|a|·|b|cos<a,b>=cos<a,b>≤1,故B正确;对于C,当a∥b时,若<a,b>=π,则a·b=-|a||b|,故C错误;对于D,当b=0时,满足a∥b,b∥c,而不一定有a∥c,故D错误.故选B. 2.D　因为|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为120°,所以m·n=|m||n|cos<m,n>=|m||n|cos 120°=4×6×(-)=-12,故D正确.故选D. 3.D　根据题意可得,a·b=-1+2=1,,向量b=在向量a=上的投影向量为.故选D. 4.B　∵b=,∴,a·b=cos<a,b>=2×=5,解得m=±4, 则“a·b=5”是“m=4”的必要不充分条件. 故选B. 5.B　因为恒成立,所以选项A正确;当a与b方向相反时,不恒成立,所以选项B错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C正确;=a2-b2,所以选项D正确.故选B. 6.B　由(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0. ∵|a|=|b|, 设a与b的夹角为θ, ∴3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0, ∴|b|2-|b|2cos θ-2|b|2=0, ∴cos θ=, 又0≤θ≤π,∴θ=. 故选B. 7.C　设=λ,0<λ<1,则=(1-λ)+λ,又=x+y,于是x=1-λ>0,y=λ>0,x+y=1,则x+(y+1)=2,因此[x+(y+1)]=5+≥5+2=,当且仅当,即y+1=2x时取等号,所以x=,y=时,取得最小值.故选C. 8.D　由+2=m,得, 设,则, ∴A,B,D三点共线. 如图所示. ∵反向共线, ∴, ∴, 解得m=-4.故选D. 9.AD　对于A,由向量的运算律知,(a+b)·c=a·c+b·c,A正确;对于B,(a·b)c表示与向量c共线的向量,a(b·c)表示与向量a共线的向量,则(a·b)c与a(b·c)不一定相等,B错误;对于C,当c为0向量时,对任意向量a,b,均有a·c=b·c,因此a,b不一定相等,C错误;对于D,a·b=|a||b|cos θ=|a||b|,所以cos θ=1,可得θ=0,a与b同向,D正确.故选AD. 10.ACD　对于A,|b|==2,A正确;对于B,a·b=2,a·(a-b)=a2-a·b=22-2=2,B错误;对于C,a+b=(3,),|a+b|==2,b·(a+b)=6,则cos<b,a+b>=,C正确;对于D,向量b在向量a方向上的投影向量为a=(1,0),D正确.故选ACD. 11.ACD　A项,,即,则点M是边BC的中点,所以A正确; B项,=2,即,则点M在边CB的延长线上,所以B错误; C项,如图,设BC的中点为D, 则=-=2,所以C正确; D项,=x+y,且x+y=⇒2=2x+2y,2x+2y=1, 设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1, 可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确.故选ACD. 12.±2　若a∥b,则x2-4=0,∴x=±2.故答案为±2. 13.　(5,4)　F1=(2,3),F2=(3,1), 所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4), 所以合力的大小为(N). 14. 　如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E. 因为∠ACD=∠BCD=∠AED, 所以||=||. 因为△ADE∽△BDC, 所以, 故||=.故答案为. 15.解 (1)由=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,得=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b,=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b=-2(2a+4b)=-2, 则,且有公共点B, 所以A,B,C三点共线. (2)由4a+kb与ka+b共线,则存在实数λ,使得4a+kb=λ(ka+b), 即(4-λk)a+(k-λ)b=0, 又a,b是不共线的两个非零向量, 因此 解得 所以实数k的值是±4,当k=-4时,4a+kb与ka+b反向共线. 16.解 (1)设b=(x,y), 因为a∥b,所以y=2x, ① 又因为|b|=2,所以x2+y2=20, ② 由①②联立, 解得b=(2,4)或b=(-2,-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c), 得(2a+c)·(4a-3c)=8a2-3c2-2a·c=0, 由|a|=,|c|=, 解得a·c=5, 所以cos θ=,θ∈[0,π], 所以a与c的夹角θ=. 17.解 (1)因为点M为AB中点,点N,P在线段BD上,满足, 所以=-=-a,)=a-b, 故=-a+b+a-b=-a+b. (2)由|a|=,|b|=1,<a,b>=,得a·b=×1×cos=-a+b+a-b=a+b, 所以||2=(a+b)2=a2+a·b+b2=×3+×1=, 所以||=. 18.解 (1)由题意可得=2=2b-a. 因为, 所以), 故a+b. (2)AD与CE不垂直.证明如下: 由=3,可得=3(), 所以a+b, =b-a,=(b-a)·b2-a2. 又因为CA=CB, 所以|a|=2|b|, 则b2-a2=b2-b2=b2≠0, 所以AD与CE不垂直. 19.解 (1)由P,R,C共线,得=λ,λ∈R,则=λ(), 整理得=(1-λ)+λa+λb, 由B,R,O共线,得=μ,μ∈R,则=μ(), 整理得=(1-μ)+μ=(1-μ)a+b, 而a,b不共线, 由平面向量基本定理,得 解得 所以a+b. (2)由(1)得a+b=(a+2b),b-a=(-3a+2b), 由|a|=2,|b|=1,<a,b>=60°,得a·b=2×1×=1, 则(a+2b)·(-3a+2b)=(4b2-3a2-4a·b)=-, ||=, ||=,所以cos∠ARB=cos<>==-. 10 学科网（北京）股份有限公司 $