精品解析：河北唐山市迁安市2025-2026学年第二学期5月期中考试高二数学试卷

迁安市2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（1—42页，选择题）和第Ⅱ卷（3—4页，填空题和解答题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果函数在处的导数为1，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 2. 若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（ ） A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 3. 游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（ ） A. 336 B. 120 C. 56 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用插空法可得结果. 【详解】在空置的5个车位的4个间隔安排三辆不同的车， 故选：D. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出展开式的通项为，展开式中的项有和，系数相加即可求解. 【详解】展开式的通项为， 展开式中项为和， 所以的展开式中的系数为， 故选：C 6. 三个数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数并求导，利用导数分析函数的单调性和最大值，从而得出，再利用对数的运算性质计算求出的大小关系，从而判断的大小顺序． 【详解】已知，构造函数， 求导得， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减； 在处取得极大值，即为最大值， ，即， ，故， ． 7. 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 8. 已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，根据导数的运算公式可求出及，再根据求出，最后解不等式即可. 【详解】由题易知不满足不等式，当时，令， 则，，，（为常数）， 故，又，，解得，. 不等式，即，得，解得或. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B满足，，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】对A根据，则；对B，根据互斥事件的性质得，对C，根据独立事件的特点则可计算出，对D，根据条件概率公式计算出，再利用相互独立事件的定义即可判断. 【详解】对于A,因为,所以；故A错误, 对于B,因为与互斥,所以,B正确, 对于C,因为与相互独立,所以,故C错误; 对于D,因为,即,所以, 又因为,所以,所以与相互独立，故D正确. 故选：BD. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题核心方法是赋值法，通过代入不同的值得到对应等式，再对等式运算得到所求系数和。 【详解】选项A：令，代入原式得，故A错误； 选项B：令得①式：； 令得②式：， ①+②得，即，故B正确； 选项C：①②得，即，故C正确； 选项D：令，代入原式得，移项得，故D正确. 11. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ） A. 若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B. 若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C. 若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D. 若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择，则有种不同涂法，A正确； 对于B，若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则和同色，和同色，则共有种不同涂法，故B正确； 对于C，因4种不同颜色全部用上，，同色，相邻区域不同色，故可以先涂，区域，有种涂法， 因三个区域都与，相邻，故只需将余下的3种颜色在上全排，有种涂法，则共有种涂法，故C错误； 对于D，按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法， 因，不同色（只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能与同色，此时共有24种涂法，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上. 12. 已知函数在处取得极值，则实数a的取值为_____． 【答案】或1 【解析】 【分析】对函数求导，利用求参数值，再注意验证极值情况，即可得. 【详解】由题设，且， 所以，可得或， 当，则， ，或， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 此时处取极大值，满足题设， 当，则， 或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 此时处取极小值，满足题设， 综上，或. 13. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】从甲袋任取两个球分三类情况，再计算乙袋中取出的是2个红球的概率即可. 【详解】甲袋任取两个球的可能性有三种： 甲袋取出2个白球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出1个白球、1个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：； 甲袋取出2个红球后，再从乙袋中取出的是2个红球的概率为：， 故从乙袋中取出的是2个红球的概率为：. 故答案为： . 14. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相切构造方程①，利用导数的几何意义构造方程②，联立①②得出关系，一元化，求最小值． 【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值. 【小问1详解】 由题意知， 则 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为，由（1）知， 令，得或； 令，得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 易知的极大值为，极小值为． 16. 3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排． （1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？ （2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ （3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ （4）如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 【答案】（1）720 （2）720 （3）3600 （4）432 【解析】 【小问1详解】 因为甲必须排在中间，只有1种排法，其他6人全排列，排法有种， 故甲必须排在中间的排法有720种. 【小问2详解】 将3个女生看成一个整体，与4个男生全排列，此时相当于5个元素全排列，有种， 3个女生内部全排列有种， 故女生必须全排在一起有种. 【小问3详解】 7人全排列，排法有种， 将女生甲和男生乙看作一个整体，与其余5人全排列，此时相当于6个元素全排列，有种， 女生甲和男生乙内部交换位置有种，故女生甲和男生乙相邻的排法有种， 故女生甲和男生乙不能相邻的排法有种. 【小问4详解】 从3个女生中选出2个的选法有种，从4个男生中选出2个的选法有种， 选2个女生和2个男生的选法有种， 将选出的4人全排列有种， 故选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲有种. 17. 甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. （1）求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； （2）若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分别计算甲答对2道题、乙答对2道题的概率，相乘即可； （2）将问题分解为甲、乙分别答对的题目数，分别求概率再相乘即可列出分布列，进而利用期望和方差公式计算即可. 【小问1详解】 甲答对2道题的概率为，乙答对2道题的概率为， 故“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率为. 【小问2详解】 由题意知可取1，2，可取0，1，2，故可取1，2，3，4， ， ， ， ， 故的分布列为： 1 2 3 4 期望， 方差. 18. 飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求： （1）首先应该搜索哪个区域？ （2）若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？ 【答案】（1）丙区域 （2）飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为 【解析】 【分析】（1）由条件概率计算公式逐个计算概率即可求解； （2）设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”，由全概率公式及贝叶斯公式逐个计算即可. 【小问1详解】 应首先搜索丙区域. 理由如下：搜索甲区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索乙区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索丙区域，且被搜救部门发现的概率为； 搜索丁区域，且被搜救部门发现的概率为. 故首先搜索丙区域，因为当前可能性最大. 【小问2详解】 设事件A为“首次搜索未在丙区域发现飞机”，事件为“飞机坠落在甲区域”，事件为“飞机坠落在乙区域”，事件为“飞机坠落在丙区域”，事件为“飞机坠落在丁区域”， 则，，，， ，，，， 所以 ， 所以. 同理， ， . 所以搜索丙区域后，未发现飞机，此时飞机落入甲区域的概率为，落入乙区域的概率为，落入丙区域的概率为，落入丁区域的概率为. 19. 已知函数，其中， （1）求的最小值； （2）若，求的取值集合； （3）若，其中，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】(1)求导，判断单调性，求得最小值. (2) 恒成立，即令的最小值即可，再进行求解的最小值即可. (3)根据题意分离参数，求解最小值，通过换元，求导，求单调性来求解函数的最小值. 【小问1详解】 解：， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 【小问2详解】 恒成立，则恒成立即可 设 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，要使恒成立，即，则， 综上所述：的取值范围是． 【小问3详解】 （3）已知， 则恒成立， 即恒成立，等价于恒成立， 也就是恒成立． 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 在上单调递减，所以 即，所以，所以， 又因为，所以的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迁安市2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（1—42页，选择题）和第Ⅱ卷（3—4页，填空题和解答题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果函数在处的导数为1，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（ ） A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 3. 游乐场现有8个完全相同的泊车车位，现安排三辆完全不同的冰淇淋彩车停放，要求每辆车两侧均有空车位方便游客购买，问安排冰淇淋彩车的方法数是（ ） A. 336 B. 120 C. 56 D. 24 4. （ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 三个数的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 8. 已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B满足，，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则下列说法正确的是（ ） A. 若每块区域任意涂上一种颜色，则共有种不同涂法 B. 若只用3种不同颜色，且相邻区域不同色，则共有24种不同涂法 C. 若4种不同颜色全部用上，B，D同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 D. 若4种不同颜色全部用上，B，D不同色，且相邻区域不同色，则共有48种不同涂法 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上. 12. 已知函数在处取得极值，则实数a的取值为_____． 13. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为________． 14. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 16. 3个女生（含甲）和4个男生（含乙）排成一排． （1）其中甲必须排在中间的排法有多少种？ （2）如果女生必须全排在一起有多少种不同的排法？ （3）如果女生甲和男生乙不能相邻，有多少种不同的排法？ （4）如果选2个女生和2个男生去高一年级四个班作演讲，有多少种不同的安排方法？ 17. 甲、乙两同学进行答题比赛，比赛规则如下：每位选手从4道备选题中，随机选取2道题独立作答.已知甲同学这4道题中只会3道题，乙同学每题正确完成的概率都是.记随机变量和分别是甲、乙答对的题数. （1）求“甲恰好答对2道题且乙也恰好答对2道题”的概率； （2）若，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 18. 飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，且其概率分别为0.3，0.2，0.4，0.1.现搜救部门打算逐个搜索这四个区域.若飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域内，且被搜救部门发现的概率分别为0.8，0.7，0.75，0.9.求： （1）首先应该搜索哪个区域？ （2）若搜索该区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率又是多少？ 19. 已知函数，其中， （1）求的最小值； （2）若，求的取值集合； （3）若，其中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $