精品解析：福建莆田第五中学九华分校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

莆田第五中学九华分校2025-2026学年下学期期中考 高一（年级）数学 （科目）试卷 命题人：方爱平 审题人：刘伟杰 一、单选题 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数,进而得到其共轭复数在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】， 因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，利用复数的除法法则将复数化为一般形式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据向量平行得到关系式，解得答案. 【详解】已知向量，，若，所以， 则实数. 故选：A. 3. 在中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：A 4. 在中，D为的中点，E为上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解. 【详解】由已知，D为的中点，所以， 所以. 故选：D. 5. 如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（    ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积. 【详解】在直观图中，， 在三角形中，过点作⊥于点，则，， 故， 还原直观图得原图如下， ， 由得， 所以的面积为. 故选：D 6. 下列命题中，正确的是（   ） A. 若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B. 若两直线a，b都与平面平行，则 C. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 D. 若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 对于D，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 7. 如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（ ） A. 30海里 B. 40海里 C. 50海里 D. 60海里 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． 则B、C两点间的距离为海里. 8. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则一定为等腰三角形 ②若，则一定为锐角三角形 ③若，，则面积的最大值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正弦定理及二倍角公式化解可得或，进而判断即可；②结合平面向量的定义可得，即可得到为锐角，进而判断即可；③根据余弦定理及基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】①由，根据正弦定理得， 则，所以或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故①错误； ②由，则，所以为锐角， 此时不一定为锐角三角形，故②错误； ③由余弦定理得， 则，当且仅当时等号成立， 则，故③正确. 故选：B. 二、多选题 9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ） A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共轭，复数的几何意义判断A、B、C、D的结论． 【详解】解：复数满足，整理得． 对于A：由于，故，故A错误； 对于B：由于，故，故B错误； 对于C：复数的虚部为，故C错误； 对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确； 故选：ABC． 10. 下列关于空间几何体的论述，不正确的是（   ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D. 圆台的轴截面不可能为直角梯形 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件， 但该几何体不是棱柱，故A错误；         对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形， 但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得， 轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 三、填空题 12. 已知，为相互垂直的单位向量，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，为相互垂直的单位向量， 所以， 所以. 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，底面圆半径长，根据圆面积解得，进而求得圆锥的高，即可求解体积. 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径长， 因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为， 所以，即，因为表面积是侧面积与底面积的和， 所以，所以，则圆锥的高， 所以. 故答案为： 14. 如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理可得，进而，然后根据长方体的性质及球的表面积公式即得. 【详解】连接BD交CE于O，连接OF，则， 因为平面，平面，平面平面， 所以，． ∵F是的中点，， 所以， ∴三棱锥外接球直径为， 所以所求表面积为． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知复数是实数，是虚数单位． （1）求复数； （2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解； （2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 又因为是实数，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 16. 已知向量，. （1）当时，求的值； （2）当，，求向量与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量平行的坐标关系可求，进而根据向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 向量，，则， 由，可得， 即，即，解得或. 【小问2详解】 由，，则， 由，可得，解得， 所以，，， 又，所以. 17. 如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． （1）求这种“浮球”的体积； （2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可； （2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求出几何体的表面积，即可估计费用. 【小问1详解】 因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径， 圆柱筒的高，所以两个半球的体积之和为， 圆柱的体积， ∴该“浮球”的体积是； 【小问2详解】 根据题意，上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒的侧面积为， ∴“浮球”的表面积； 所以共需花费（元）. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 19. 如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． （1）判断直线PM与的位置关系（直接写答案，不用证明） （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）异面 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中两直线的位置关系判断即可； （2）连接，证明出四边形为平行四边形，则，进而利用线面平行的判定定理即可证明； （3）由，根据三棱锥的体积公式即可计算求解． 【小问1详解】 直线PM与异面，理由如下： 由图可知，平面，平面，且， 所以直线与异面. 【小问2详解】 连接，在直三棱柱中，因为为的中点， 所以，且， 因为，分别，的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 故平面. 【小问3详解】 在直三棱柱中，平面平面， 因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，则点到底面的距离即为长， 又因为N，P分别为AC，BC的中点，且， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第五中学九华分校2025-2026学年下学期期中考 高一（年级）数学 （科目）试卷 命题人：方爱平 审题人：刘伟杰 一、单选题 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 在中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4. 在中，D为的中点，E为上一点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（    ） A. B. C. 2 D. 6. 下列命题中，正确的是（   ） A. 若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B. 若两直线a，b都与平面平行，则 C. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 D. 若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 7. 如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（ ） A. 30海里 B. 40海里 C. 50海里 D. 60海里 8. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（ ） ①若，则一定为等腰三角形 ②若，则一定为锐角三角形 ③若，，则面积的最大值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题 9. 已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ） A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 10. 下列关于空间几何体的论述，不正确的是（   ） A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D. 圆台的轴截面不可能为直角梯形 11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 三、填空题 12. 已知，为相互垂直的单位向量，则__________. 13. 已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 14. 如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为________． 四、解答题 15. 已知复数是实数，是虚数单位． （1）求复数； （2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 已知向量，. （1）当时，求的值； （2）当，，求向量与的夹角. 17. 如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． （1）求这种“浮球”的体积； （2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 19. 如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． （1）判断直线PM与的位置关系（直接写答案，不用证明） （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $