福建莆田第四中学2025-2026学年高一下学期数学期中考试题

莆田四中2025-2026学年高一下学期数学期中考试题 考试时间：120分钟 命题、审核者：高一数学备课组 时间：2026.04.29 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点是中点，记，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 48 4. 如图，是利用斜二测画法画出的（为直角）的直观图，的面积为，图中，过点作轴于点，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,( ) A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（ ） A. 14斤 B. 24斤 C. 38斤 D. 56斤 8. 已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（ ） A. 8 B. 13 C. 16 D. 32 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在中，角所对的边分别为，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，则． C. 若，则为钝角 D. 若，则为直角三角形 10. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若是关于的方程的一个根，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 已知是方程在复数域的一个根，则 11. 已知圆锥的侧面积为，母线为，底面圆的半径为，点满足，则（ ） A. 当时，圆锥的体积为 B. 当时，顶点S和两条母线构成的截面三角形的最大面积为 C. 当时，从点绕圆锥一周到达点的最短长度为 D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为______. 13. 如图，湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间的点处，丙船在最后面的点处，且，一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，，则此时无人机到甲、丙两船的距离之比为__________.（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计） 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知、、是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，与垂直，求； （2）若，且，求的坐标． 16. 如图，在正方体中，分别为中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 17. 在中，内角的对边分别是，满足． （1）证明； （2）若，点为边上一点，为的平分线，求的值． 18. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰洪淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设. （1）将用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 19. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形． （1）图1中直角三角形的两锐角分别为，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求的值： （2）图2中的面积为的面积为， （i）若，求的值； （ii）若，设，求的值． 莆田四中2025-2026学年高一下学期数学期中考试题 考试时间：120分钟 命题、审核者：高一数学备课组 时间：2026.04.29 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1）； （2） 连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 【17题答案】 【答案】（1） 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 而为三角形内角，所以或， 所以或（舍去） 所以. （2）. 【18题答案】 【答案】（1）. （2）时，的值最大. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（i）; （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $