天津市和平区2025-2026学年第二学期高三年级考前质量调查数学学科试卷

和平区2025-2026学年度高三年级第三次质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选邦题(9×5分=45分) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) B A D A D C A 二、填空题(6x5分=30分) (10)√2 (11)2 (12)2 6 13)号 (14) +2CB4 -1 3 3 4 三、解答题（共75分） (16)(本小题满分14分) 解：（1)由正弦定理Q s、6 sin4"sin 有3b=2a,由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C, 求得a=3,b=2.- -4分 CT)由正弦定理sinc sin:m 2 3 sin B' 故si咖B=② -8分 2 (m)由b=2<a=3,故B<4,cosB=-sin2B=25>0, 7 n28=2an8cos8=49,co28=6s8-n8=号 sin(2B+C)=sin2Bcos+cos2Bsin5 -14分 314 (17)（本小题满分15分) 解：由菱形ABCD,有BD=2N5,AC=2,AC⊥BD,设AC∩BD=O,在平面PAC中过 点O作OH∥AP,所以OH⊥平面ABCD,因此以点O为原点，OC,OB,OH所在直线分 别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由AP⊥平面ABCD,易知， A(-l,0,0),B0N5,0),C1,0,0),D(0,-3,0),20V5,1),P(-l,0,2),M-l,0,1). （】)证明：设平面BC2的法向量为%=(x,y,z),BC=(1,-5,0),B0=(0,0,), 区c=x-5y=0令y=l,则万=W51.0,可知Dwa(-15.),则Dm可=0 则 4·B0=z=0, 所以DM⊥片，又因为DMc平面BC2,所以DM∥平面BC2. 5分 高三年级数学答案第1页（共4页) (II)己知平面PCA的法向量历=(01,0)， 设平面PCA与平面BC2的夹角为4，cos8-cos<元，西 1 网 则财平面PC1与平面BC2的夹角的余弦值为 -9分 (m)由已知不=可--2.0,2，故N点坐标为传0引所以m=(兮5-) 设直线ND与平面BCQ所成角为，sin8,=kos<而，斤 而.n_6 ō阿4 则直线D与平面8C2所成角的正弦值为5 -15分 H M B y (18)(本小题满分5分) 解：（I)依题意 日5.又=+，解得6=，改稀圆方程为号+苦=1-5分 c=1, (Ⅱ)由题意直线1斜率存在，设直线1的方程为y=k(x-2),点M(x1,),点N(x2y2), y=k(x-2), 点H(。),联立{ X2y2,整理得(32+2)x2-12k2x+12k2-6=0, -+ =1, 32 由a>0,解图<2，名+%553 12k2-6 3k2+2 -10分 由0M+0N=0丽，则（伍+片+y2)=《x%), 可得0=名+五=12k2 -8k 2=82+2；%=之2=+)-4桃]E 1(3k2+2)' 由点H在精圆上，有+公1，即22 )2 +3 -8k 3 2 (3k2+2) 13k2+2) 高三年级数学答案第2页（共4页) 整a理得162=32+2)0，M=+F内-=万++P-4<45 整理有(k2-1(432+42)>0,解得k2>1,所以1<k2<2,又因①式有 2216k-=67 3k2+2 ，所以， 一15分 3+ (19)(本小题满分15分) 解：（I)由题意可得，数列4a2am为1,2,3,4,5,6,7,8,9,3共10个数， 此时m=10,Sm=48.- --4分 （II)由aa2a,ak-1a(k<m,k∈N)是首项为2，公差为2的等差数列，故4k=2k: 而4amam-1,a10是公比为2的等比数列，故44=2m+2-t, 一-8分 因此2k=2m+2,所以k.2*=2m1,因此，要使m最大，则k最大，又k<m<2026,故 k的最大值为210，有2.2024=2m+1,即m=1033,m的最大值为1033.----10分 （l)由aa2a,ak-a%(k<m,k∈N')是公差为d的等差数列，可得： ak=a1+(k-)d,而qam0m-1,ak+1ak是公比为2的等比数列，所以ak=a·2mt. 故a+(k-1)d=a2m-t,即(k-1)d=a(2m-k-, -12分 又a+a2+…+ak-+4k=3(akl+…+am-l+am)，am=2a, 所以a*分-州=322片2，即a+号ag-]-响×g-0. 即k2+女=6x2--),即k:2+k=6x24-12,因此k6, 2 所以2m+女=k+12=-1+18,所以k<6:代入验证可得：当k=4时，上式等式成立， 6-k 此时m=6:综上，当且仅当m=6时，存在k=4满足等式.-- -15分 （20)（本小题满分16分) 解：（1)由已知/因=1+之-故0=-2，⑩=0，故切线方程为y=-2c- 所以曲线y=(x)在x=I处的切线方程为2x+y-2=0. 5分 （因为r国=1+宁兰二e0,故 当-2<a<2时，△<0，此时'(x)>0,函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a<-2时，此时"(x)>0,函数f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>2时.4>0，方程-x+1-0的两根为4-4,9+G-4 2 2 0<为<x2,故0<x<名或x>时，"(x)>0,<x<2时，f"(x)<0,此时f(x)在 区间 a-0-4a+Va2-4 和 2 2 上单调递增. 高三年级数学答案第3页（共4页) 综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增：当a>2时，函数f(x)在区间 a-va2-4 a+va2-4 上单调递减，在区间 和 a+-4,+ 上单 2 2 调递增. --11分 )+”≤，有a-an1+}1ne=l, 国we-哈a0阿2 令1=1+0,2，所以a古 11+-n2-2 令0六d则0=可*可0-n + 令0)=+a-290=1--2n1=北-十2n 由()可知a=2,)=x士2nx,在0，+四)上单调递增，又0=0， 10.2时.f0>0-0即1-2h1>0.所以p0=长--2n小>0 所以()在(1,2]单调递增，所以p()>p()=0,即h()>0, 故h0)在(1,2]上单调递增，h)aax=h2)=1- n2'a>1n2 即安数0的取值范国为[-品*片 一16分 高三年级数学答案第4页（共4页)第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟。 第I卷（选择题共45分） 监测注意事项： 1.答第I卷前，务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦净后，再选涂其他答案标号。 3,本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： 烟 ·球的体积公式=号R3,其中R表示球的半径 ·如果事件A、B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B). ·如果事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). ·任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A). 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) (1)已知全集U={xENx<7},集合A=(1,2,4),则CA中的元素个数为 (A)0 (B)3 (C)4 (D)5 邦 (2)若函数f=x~lnr- 则其图象大致为 x 的 (3)已知直线a,b与平面y,则下列条件中，可以推出a∥b的为 (A)a⊥y,b⊥Y (B)a∥Y,b∥Y (C)a,b与平面y所成角相等 (D)ally,bCy (4)已知a= 1 ，3”=2，则32h-0= logs 3 (A) 5 (B) (C) 4-5 (D) 高三年级数学试卷第1页（共4页) (5)以下说法不正确的是 (A)样本数据1,1,1,3,3,3的极差为2，标准差为1 (B)对具有线性相关关系的变量x,y,其经验回归方程为)=x+m,若样本数据 的中心点为(m,4),则实数m的值为2 (C)对一个容量为N的总体，抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽 样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，三种方法的总体中每个个体被抽中的概率均相等 (D)根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=4.881>3.841=xo05,则 依据α=0.05的独立性检验，可以认为“X与Y无关联” (6)为了得到函数y=tan 2x+3 的图象，纵坐标不变，只需将函数y=tanx的图象上 所有的点 (A)向左平移雪个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的分 （®）向左平移号个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 （C)向左平移恶个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 (D)向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 (7)已知n∈N°，数列{an}的前n项和为Sn,若a=2,an+1=2Sn,则a,= (A)4×36 (B)2×36 (C)4×35+2 (D)4×35 《8已知精圆G号+号-1与双面统G号若-。，6>0有公关的焦点月，C,的 一条淅近线方程为=√2x,点P在C2上，且P丽PE=0,则PPF= (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 (9)在矩形ABCD中，AB=22,BC=2,沿矩形对角线BD将△ABC折起得到四面体 ABCD,则四面体ABCD的外接球体积为 （A)45π (B)4π 号 (D)12元 第Ⅱ卷（非选择题共105分) 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共11小题，共105分。 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个 的给3分，全部答对的给5分) (10)i为虚数单位，复数：满是年=，则 (1)在(0-)2+ 的展开式中，常数项为 (用数字作答) 高三年级数学试卷第2页（共4页) (12)过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为工的直线被圆(x-3)+y2=3截得的弦长 为 (13)盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球， 现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出 的球的个数为随机变量X,则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率 为 ，X的数学期望为 (14)已知△ABC中，点D为边AB上一点，且AD=2DB,则CD= (用CA与CB表示)：若点G为△ABC内的一点，CB=3CA=3,满足 (GA+GB).(CA-CB)=0,CG.AB= (15)若aR,aE(1,3),使得关于x的方程x2-a-ax-=(a2+2)1有4个不同的 实根，则实数？的取值范围为 三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (16)(本小题满分14分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=T且3sinB=2sinA,c=√万. （I)求a的值： (Ⅱ)求sinB的值： (IⅢ)求sin(2B+C)的值. (17)（本小题满分15分) 在多面体ABCDP2中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AP⊥平面ABCD, AP∥B2,AP=AD=2B2=2,M是AP中点. (I)证明：DM∥平面BC2: (Ⅱ)求平面PCA与平面BC?的夹角的余弦值： (Ⅲ)点N为棱PC上靠近点C的三等分点，求直线ND与平面BCQ所成角的正弦值： B Q 高二年级数学试卷第3页（共4页) (18)(本小题满分15分) 已知椭圆等+片=1口>b>0)的焦距为2，精圆短轴的-个端点到右焦点的距离为y5. (I)求椭圆的方程： (Ⅱ)O为坐标原点，直线/过点(2,0)，与椭圆交于M,N两点，椭圆上点H满足 OM+ON=O丽aER),若M< 43 ,求2的取值范围 (19)(本小题满分15分) 已知m个正数a,a2,,am(m>4,m∈N)依次围成一个圆圈，其中 a1,a2,43,ak-1ak(化<m,kEN)是公差为d的等差数列，而41，am4-1,ak+1:ak是公 比为9的等比数列 (1）若a1=d=1,9=3,k=9,求数列a,a2,am的所有项的和Sm: (Ⅱ)若a1=d=g=2,m<2026,求m的最大值： (Ⅲ)当g=2时，是否存在正整数k,满足下式成立 41+a2+…+ak-1+ak=3(ak+1+…+am-1+am)?若存在，请求出k值：若不存在， 请说明理由 (20)（本小题满分16分) 已知函数fW=-1-xInx(a∈R). (I).若a=4,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性： ()若不等式(+ ≤e对任意nEN恒成立，求实数a的取值范围， 高三年级数学试卷第4页（共4页）