精品解析：浙江省宁波市镇海中学2026届高三模拟预测数学试题

数学模拟练习 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ， 故， 又，故 ， ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 2. 已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，当为一正方体共点的三条棱所在直线时，满足，而，A错误； 对于B，当，时，满足，而相交，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，当 ，既不在平面内，也不在平面内时，满足，而相交，错误. 3. 图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶部离水面1 m，水面宽2 m，水面下降1 m后，水面的宽约为（ ）（其中，精确到0.1 m） A. 1.4 m B. 2.8 m C. 4.2 m D. 5.7 m 【答案】B 【解析】 【分析】建立坐标系，求解抛物线方程，代入水深求解水面的宽即可. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系， 即抛物线过，知，故， 代入，水面宽． 4. 某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时， ，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可知轴截面内切圆的半径为，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】过圆锥的旋转轴作轴截面如图， 由题意知内切圆和外接圆同圆心， 即的内心与外心重合，则为正三角形， 由题意内切圆的半径为， 的边长为， 圆锥的底面半径为，高为3， 故圆锥体积， 故选： 6. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】将其转化为函数，结合图像即可求解 【详解】考虑为到的斜率， 因为， 因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示， 若，则，而 同号，由图及单调性可得； 若，则必定成立，故为充要条件． 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设结合双曲线的定义可得 ， ，再根据结合勾股定理及等面积法可得，，进而求得，进而求解离心率即可. 【详解】由于的中点记为，的中点记为， 则 ，即 ， 由于，则，即， 则，即①， 而，则 ，即②， 由①②，解得（因，另外一解舍去）， 则双曲线的离心率为. 8. 已知函数 ，在定义域上恒有，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差得 ，又，可得，作差得 ，再分，，结合参变分离求范围即可． 【详解】 ， 令 ， ，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ，即，则， ， 又时，， ，即，， 时， ，即， 令 ， ，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，则， 综上，． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 独立性检验方法不适用于普查数据 B. 数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8 C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则 D. 已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm 【答案】ACD 【解析】 【详解】A项：在普查中，已掌握了总体的全部信息，变量之间的关系是确定的， 无需进行假设检验，A正确； B项：10个数据 ，则取第8位的数字5就是上四分位数，B错； C项：此时线性关系完美，预测值与观测值完全一致，，C对； D项：残差观测值预测值，D对． 10. 已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【详解】条件即 ，故A正确； 由，故， 正三角形中， 轨迹为圆． 对B：即 ，故B正确； 对，即，由极化恒等式， ， 为中点，，故，故D正确． 故选择：ABD. 11. 已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（ ） A. 已知数列，则数列为“绝对数列” B. 若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C. 若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D. 存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据“绝对数列”的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据“绝对数列”的定义举例说明即可. 【详解】A选项，因为，可知是以为首项，公差为的等差数列， 则 ， 取 ，所以为“绝对数列”，故A选项正确； B选项：由A选项，取， 不妨取，此时的前项和 ， 取，则 ，可知是“绝对数列”. 但，其前项和 是单调递增的，故不是“绝对数列”，B选项错误. C选项：因为等比数列为“绝对数列”，取，此时， 即，解得， 此时也满足条件，故C选项错误. D选项：取，此时的前项和为， 取，此时 ,即均为“绝对数列”. ，其前项和 ， 取，此时 ，即为“绝对数列”. 则，其前项分别为， 设的前项和为，由 ，可知也为“绝对数列”，综上，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因 则. 13. 已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 14. 甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，根据全概率公式写出与的递推关系，然后利用构造法求出数列的通项公式，将代入通项公式即可求解. 【详解】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，则， 若次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中， 概率为（甲共3个球，拿白球不换出黑球的概率为）； 次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中， 概率为（乙共3个球，拿出黑球的概率为​）； 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 16. 如图，已知平行四边形，是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得． （1）若点在线段上，且，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在线段上取一点，使得，利用面面平行的判定定理证明所以面面，然后再由面面平行的性质即可证明； （2）首先证明面面，然后作，即可得面，利用体积转化法求出点到平面的距离，最后由线面角的定义求解. 【小问1详解】 由题意，在线段上取一点，使得，则 ， 又 ，于是四边形为平行四边形，所以， 面 面，所以面， ，故 面， 面，所以面， 又， 面，所以面面 ， 因为面，所以面． 【小问2详解】 ， 由余弦定理 ，即， 故，，由折叠知， 又因为 面， ，所以面， 面，故面面， 又为正三角形，作 ， 因为 面，面面 ，则面， ，即， 代入，， 解得， ， 设直线与平面所成的角为，则． 17. 设数列的前项和为，当时满足． （1）求； （2）令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对递推关系式变形，累加可得答案； （2）求出的通项公式，判断单调性，结合中项的符号可得答案. 【小问1详解】 ，叠加得， ． 【小问2详解】 ， 因为，且，所以与均为增函数，所以递增， 而 ， 故时， 时，，于是时，最小． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线上点处的切线与双曲线相交于不同的两点． （1）若为中点，求实数的值； （2）若，且在轴上存在点，使得为正三角形，求实数的值： （3）若，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导推得抛物线上点处的切线方程，与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用为中点列出方程求解即得； （2）根据（1）的结论，求出的中点，利用弦长公式求出的长，结合为正三角形得到，建立方程，求解即得； （3）结合图形，写出三角形的面积公式，将韦达定理代入并化简，换元后利用基本不等式即可求其最小值. 【小问1详解】 由求导得，即，则抛物线上点处的切线方程为， 即，将其与联立消去得， 则（*） 设，则，因点为中点，则， 解得或，当时，（*）不成立，舍去， 时，（*）成立， 故实数的值为； 【小问2详解】 如图，设，在（1）中 ， 的中点， 由，即 ， 化简得， 即 ， 解得，所以． 【小问3详解】 因， 在（2）中， 则，令 ， ，取其为， 则 ， 设，,则 ， 当且仅当时，即时取等， 故面积的最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，曲线与交于点． （1）当时，求曲线在的切线方程； （2）若直线与相切于点，求的值； （3）若直线与交于另一点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求解导数，利用几何意义可求切线方程； （2）根据切线的意义列出方程组，解方程即可； （3）求出长度，利用不等关系构造函数，求解导数，利用导数可求答案. 【小问1详解】 时，由求导得，则 ， 故曲线在的切线方程为，即. 【小问2详解】 设，由求导得，则 ， 则直线的方程为 ， 又因点为与的交点，则 由①②消元可得 ，则得 ，， 再由③ ，则得，故 . 【小问3详解】 设， 则， 由可得，故， 记的斜率为，则由 可得，即， 记，则， ，则， 设，求导得， 设 ，则， 故在上单调递减，则 ， 所以，即在上单调递减，故 当 无限趋近于时，趋近于零，所以，则 又，所以， 设，则 ，故在上单调递增，则， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学模拟练习 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶部离水面1 m，水面宽2 m，水面下降1 m后，水面的宽约为（ ）（其中，精确到0.1 m） A. 1.4 m B. 2.8 m C. 4.2 m D. 5.7 m 4. 某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 A. B. C. D. 6. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知函数 ，在定义域上恒有，求的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 独立性检验方法不适用于普查数据 B. 数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8 C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则 D. 已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm 10. 已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 的最大值为3 11. 已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（ ） A. 已知数列，则数列为“绝对数列” B. 若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列” C. 若等比数列为“绝对数列”，则公比为 D. 存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列和均为“绝对数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数，则_____． 13. 已知实数满足，且，则的最小值为_____． 14. 甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角三个内角的对边分别是，若． （1）求的大小； （2）若平分交于点，求的取值范围． 16. 如图，已知平行四边形，是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得． （1）若点在线段上，且，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 设数列的前项和为，当时满足． （1）求； （2）令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线上点处的切线与双曲线相交于不同的两点． （1）若为中点，求实数的值； （2）若，且在轴上存在点，使得为正三角形，求实数的值： （3）若，求面积的最小值． 19. 在平面直角坐标系中，曲线与交于点． （1）当时，求曲线在的切线方程； （2）若直线与相切于点，求的值； （3）若直线与交于另一点，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $