精品解析：天津市武清区杨村第一中学2025-2026学年度第二学期期中学业质量检测高二数学试题

杨村一中2025~2026学年度第二学期第二次学业质量检测 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法的种数为（ ） A. 70 B. 140 C. 420 D. 840 3. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 4. 已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（ ） A. 20 B. 70 C. 84 D. 864 7. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种 9. 已知函数有两个不同的极值点和，且存在满足条件的、使得成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 若随机变量且，则________. 11. 设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为________． 12. 已知函数在处取得极大值0，则________. 13. DeepSeek是由中国公司深度求索开发的一款高性能AI大模型.它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习.某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，则一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为________，若将DeepSeek单词中的字母重新排列，则仅有2个字母e相邻而另外2个字母e不相邻的概率为________. 14. 如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 15. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是________． 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 已知的展开式中，二项式系数和为256. （1）求n的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项. 17. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）求在区间的最大值与最小值． 18. 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：. 20. 已知函数，，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设，若存在，使得对任意成立，求实数a的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村一中2025~2026学年度第二学期第二次学业质量检测 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的计算公式逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 2. 从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派方法的种数为（ ） A. 70 B. 140 C. 420 D. 840 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，可知有两种情况：1男2女，2男1女， 第一种情况的选派方法种数为， 第二种情况的选派方法种数为， 所以不同的选派方法种数为：. 3. 已知随机变量的分布列如下： 2 3 6 则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解. 【详解】根据分布列可知，解得， ， ， 所以. 故选：B. 4. 已知下列四个命题：①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高；②甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好；③回归直线恒过点，且至少过一个样本点；④在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】对于①，残差图中，残差点所在水平带状区域越窄，说明残差波动越小， 即回归方程的预报精确度越高，残差点所在水平带状区域越宽，说明残差波动越大， 即回归方程的预报精确度越低，错误； 对于②，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，故模型甲的拟合效果更好，错误； 对于③，回归直线过样本数据，，，的中心点， 并不一定过样本数据中的某一个点，错误； 对于④，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确. 5. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，然后根据条件概率公式计算. 【详解】甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则， ，， 所以. 6. 已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则的展开式中的常数项是（ ） A. 20 B. 70 C. 84 D. 864 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，对变形后，由展开式通项公式进行求解 【详解】的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故展开式共5项，所以， 变形为， 展开式为， 令得，所以常数项为. 7. 已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据是定义在上的偶函数，易得在上也是偶函数，再根据时，，得到在上单调递减，在上单调递增，然后结合，利用其单调性求解. 【详解】令， 因为是定义在上的偶函数， 则， 所以在上也是偶函数. 又因当时， 有， 则对成立， 所以在上单调递减； 由偶函数性质得在上单调递增， 且. 当时，由，得， 即， 解得； 当时，由，得， 即， 解得. 综上所述，不等式的解集是 故选：B 8. 某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 9. 已知函数有两个不同的极值点和，且存在满足条件的、使得成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用极值点的导数值为零，再结合韦达定理，求解参数的范围，然后利用韦达定理来化简不等式，最后可通过有解问题得到参数. 【详解】函数定义域为， 求导得： ， 由有两个不同极值点，则二次方程有两个不同正根， 则有，解得， 因为，则不等式可化为 ， 则， 设函数，，求导得 ， 所以在上单调递增，则 ， 所以 ， 由存在满足条件的、使得成立， 即满足 成立，则. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 若随机变量且，则________. 【答案】0.6## 【解析】 【分析】利用正态分布对称性求解. 【详解】因为随机变量且， 所以， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 11. 设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别将和代入(2－x)5，得到两个等式，再将两个等式联立，求得和的值，即可得出答案. 【详解】 (2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令可得，， 令可得，， 两式相加可得，，则， 两式相减可得，，则， . 故答案为. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通过赋值法求展开式系数的方法. 若二项式展开式为，可得： （1）； （2）； （3）奇数项系数之和； （4）偶数项系数之和. 12. 已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 13. DeepSeek是由中国公司深度求索开发的一款高性能AI大模型.它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习.某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，则一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为________，若将DeepSeek单词中的字母重新排列，则仅有2个字母e相邻而另外2个字母e不相邻的概率为________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】第一空，运用全概率公式即可计算.第二空，是排列组合中元素相邻和不相邻问题，首先求解满足条件的全体排列，然后利用插空法计算符合条件的情形. 【详解】第一空：记事件A为“输入的问题存在语法错误”，事件B为“DeepSeek回答正确”， 由题意得，， ， 根据全概率公式： 第二空： DeepSeek共包含8个字母，其中有4个相同的字母e，其余4个字母互不相同. 计算总排列数：由于4个e完全相同，总排列数为： 计算符合条件的排列数：要求仅有2个e相邻，剩余2个e互不相邻，采用插空法求解： 第一步：先排列4个非e的不同字母，排列数为，4个字母排列后共形成4+1=5个空隙（包含两端位置）. 第二步：将4个e分为1个含2个e的组、2个各含1个e的组，为保证各组e互不相邻，需将3个组放入不同空隙：先从5个空隙中选取3个，有种选法； 再从选中的3个空隙中选1个放入含2个e的组，剩余2个空隙各放1个e，有种选法. 因此符合条件的排列数为： 所以 14. 如图，是由七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】我们按区域顺序分步计算涂色方案，根据相邻区域不同色的要求，每一步的选择数如下： 涂区域A：共4种颜色可选，有种方案。 涂区域B：B与A相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域C：C与A、B都相邻，颜色都不同，有种方案。 涂区域D：D与B、C都相邻，颜色都不同，B、C异色，因此有种方案。 涂区域E：E仅与D相邻，颜色不同，有种方案。 涂区域F：F与D、E都相邻，D、E异色，因此有种方案。 涂区域G：G仅与E、F都相邻，E、F异色，因此有种方案。 根据分步乘法计数原理，总方案数为： . 15. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式变形可得在上恒成立，构造函数并利用导数判断可得在上单调递增，即等价于，因此可得对恒成立，构造函数并求得其最小值即可得，可得结果. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得； 令，则； 所以当时，，即在上单调递减； 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得， 即可得，即对恒成立，因此即可； 令，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即， 因此正实数的最大值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形成，根据同构函数可令，利用导数求得其单调性可转化为对恒成立，求出函数在上的最小值即可得出结论. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 已知的展开式中，二项式系数和为256. （1）求n的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项. 【答案】（1） 8 （2） 1792 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，即二项式系数和为，可求出的值； （2）先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，求出对应的值，进而得到常数项； （3）根据有理项的定义，即的指数为整数，结合通项公式确定的取值，从而得到所有的有理项． 【小问1详解】 由二项式系数和为，得． 【小问2详解】 展开式的通项为， 令，得，故常数项为． 【小问3详解】 要使为整数，需为的倍数，又，故． 当时，； 当时，； 当时，． 故有理项为． 17. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）求在区间的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）先求导，再求得，最后代入解析式即可得答案； （2）求导研究函数在上的单调性，再结合极值与区间端点值的大小即可求得最值. 【小问1详解】 解：因为， 所以，，解得 【小问2详解】 解：由（1）可知， 令得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又 即最大值为1，最小值为． 18. 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）. （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差. 【答案】（1）分布列见解析， （2）技术攻坚成功的概率为， 【解析】 【分析】判断随机变量X服从超几何分布，计算各取值对应概率得到分布列，再求解数学期望； 判断随机变量Y服从二项分布，计算的概率得到攻坚成功概率，再代入二项分布方差公式求解。 【小问1详解】 由题意可知，X的可能取值为，X服从参数为的超几何分布， 概率公式为：  计算各概率的值 ， ， 所以分布列为 X 0 1 2 3 【小问2详解】 由题意，每个零件合格的概率为，且各零件是否合格相互独立，因此. 技术攻坚成功要求合格零件数超过半数，即， 分别计算对应概率：     因此技术攻坚成功的概率： 由二项分布的方差公式可得：   19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【小问1详解】 ， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． 【小问2详解】 不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以 ，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； 【小问3详解】 要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 20. 已知函数，，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）设，若存在，使得对任意成立，求实数a的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先代入，求与，再算切点与斜率，最后用点斜式写出切线方程. （2）先求导得出在递增、递减，得其最大值为，再将题意转化为恒成立，构造函数求导并按与1的大小分类讨论，判断函数单调性与最值，进而得出的取值范围. （3）先由极值点条件换元转化方程，得到满足的关系式，再将 整理为同一函数形式，证明该函数单调且满足奇函数对称性，利用极值点偏移证得，最终得到. 【小问1详解】 当时，. 因为，所以，. 函数在点处的切线方程. 即. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得最大值，最大值为 . 因为存在，使得对任意成立， 所以，即 恒成立， 等价于 ， 即对任意，恒成立. 设，则 令，则 . ①当时，因为，则显然有， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即对任意恒成立， 所以 满足题意; ②当时，令，解得：， 当时， ，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当 时， ，即不恒成立， 可知不合题意. 综上所述， . 【小问3详解】 ，所以 ，因为， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 若有两个极值点，，且，需满足，且. 因为有两个极值点，，且，， 所以等价于方程的两根为，且， 即方程的两根为， 令，则等价于方程的两根为， 所以，即， 因为 ， 令，即证， 因为，所以在上单调递增， 下证： ，所以可得 即，即证， 因为，即，即证， 令， 则， 因此在上单调递增，，所以得证. 因为，所以， 又发现且在上单调递增， 因此， 即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $