2026年中考数学二轮复习：尺规作图

**基本信息** 以尺规作图操作流程为核心，融合几何性质推理，构建"作图步骤-性质应用-综合证明"的三阶训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础作图|选择1-2、填空11-12|三角板/圆规操作规范，垂直平分线/角平分线作图步骤|从基本作图到线段垂直平分线性质的直接应用| |性质综合|选择3-7、填空13-15|作图痕迹转化为几何条件（如OA=OB），结合全等/相似/三角函数求解|几何图形性质（菱形、等腰三角形）与作图结论的融合推导| |证明应用|解答16-20|切线判定、菱形证明等综合问题的作图辅助策略|从作图过程抽象数学模型，运用"两点确定一条直线"等原理进行逻辑证明|

2026年中考数学二轮复习：尺规作图 一．选择题（共10小题） 1．下列选项利用三角板过点P画直线AB的垂线CD，方法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与AC，BC交于O，D两点，AC＝4OD，CD＝5，则AB的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，AC＝5，∠CAB＝90°，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC＝2：3，则BE的长为（　　） A． B． C． D．4 4．如图，在△ABC中，BC＞AC＞AB，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F．若BD＝6，DF＝4，△ADE的周长是15，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．29 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB＝7，OH＝2，则S△ABH＝（　　） A．7 B．14 C．10 D．4 6．如图，∠MON＝40°，点P在射线OM上，以点P为圆心，PO长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　） A．5 B．6 C．4.8 D．9.6 8．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为（a﹣8，b），那么a与b的数量关系为（　　） A．a﹣b＝8 B．a+b＝8 C．a﹣b＝﹣8 D．a+b＝﹣8 9．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝30°，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论正确的是（　　） A．BF＝CF B．BD＝2DE C．∠DGF＝25° D．CA＝CF 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．PC＝PQ B．AC＝AQ C．AP＝BP D．∠BPQ＝∠BAC 二．填空题（共5小题） 11．按如下步骤作四边形ABCD： ①画∠EAF； ②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D； ③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C； ④连接BC、DC、BD． 若∠A＝36°，则∠BDC的度数是　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝4，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线MN，交AB于点E．则△ADE的周长为　 　 ． 13．如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，3为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接OC，则OC的长为 　 　 ． 14．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交线段AB，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P（P在平行四边形内），连接BP交AD于E，若AB＝3，ED＝2，则平行四边形ABCD的周长为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝50°．按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN，分别交BC，AC于点D，E；③连接BE．若，则AE的长为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． （1）尺规作图：作⊙O，使圆心O在BC上，⊙O经过A，B两点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：AC是（1）题所作⊙O的切线． 17．如图，四边形ABCD是矩形． （1）用无刻度的直尺和圆规，在AD的上方确定一点E，使得∠AEC＝90°，且AE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接AC，AE，CE，线段CE交AD于点M，判断△ACM的形状，并说明理由． 18．如图，在▱ABCD中，AB＜AD． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，连接BE，求证：AE＝AB． 19．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E． （1）过点A作AF⊥BC，垂足为点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AE＝AF，求证：四边形ABCD是菱形． 20．如图，下面是小明设计的“作已知线段的垂直平分线”的尺规作图过程． 已知：线段AB． 求作：直线CD，使得CD是线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D两点； ②作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线． 根据小明设计的尺规作图过程，在图中画出线段AB的垂直平分线并解答下列问题： 证明：CA＝CB，DA＝DB，C，D两点在线段AB的垂直平分线上（　 　 ）（填理由）． 直线CD是线段AB的垂直平分线（　 　 ）（填理由）． 2026年中考数学二轮复习：尺规作图 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列选项利用三角板过点P画直线AB的垂线CD，方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】作图—复杂作图；垂线． 【专题】作图题；几何直观． 【答案】B 【分析】结合垂线的定义可得答案． 【解答】解：结合各选项可知，方法正确的是B选项． 故选：B． 【点评】本题考查作图—复杂作图、垂线，熟练掌握垂线的定义是解答本题的关键． 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与AC，BC交于O，D两点，AC＝4OD，CD＝5，则AB的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】作图—复杂作图． 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】C 【分析】由作图过程可知，直线OD为线段AC的垂直平分线，可得∠COD＝90°，AC＝2OC，则OC＝2OD，，可得OD，AC.证明△ABC∽△DOC，可得，代入可得AB的长． 【解答】解：由作图过程可知，直线OD为线段AC的垂直平分线， ∴∠COD＝90°，AC＝2OC． ∵AC＝4OD， ∴OC＝2OD． ∵CD＝5， ∴， ∴OD， ∴AC． ∵∠OCD＝∠BCA，∠COD＝∠CBA， ∴△ABC∽△DOC， ∴， 即， ∴AB＝4． 故选：C． 【点评】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，AC＝5，∠CAB＝90°，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC＝2：3，则BE的长为（　　） A． B． C． D．4 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理． 【专题】作图题；三角形． 【答案】C 【分析】根据作图过程可得PQ是AF的垂直平分线，从而得到AB＝BF，AE＝EF，利用勾股定理求出FC的长，设AB＝x，在Rt△ABC中利用勾股定理构建方程求出AB，最后在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE即可． 【解答】解：由作图过程可知：直线PQ是线段AF的垂直平分线， ∵点B，E在直线PQ上， ∴AB＝BF，AE＝EF． ∵AC＝5，AE：EC＝2：3， ∴AE＝2，EC＝3， ∴EF＝2． ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°． 在Rt△EFC中，． 设AB＝BF＝x， 则． ∵∠CAB＝90°， ∴在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2， ∴ 解得， ∴． 在Rt△ABE中，， 故选：C． 【点评】本题主要考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，BC＞AC＞AB，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F．若BD＝6，DF＝4，△ADE的周长是15，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．23 C．25 D．29 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】D 【分析】由作图过程可知，AB＝AD，直线MN为线段CD的垂直平分线，可得DE＝CE，CD＝2DF＝8，则BC＝BD+CD＝6+8＝14．结合题意得AD+DE+AE＝AB+CE+AE＝AB+AC＝15，进而可得△ABC的周长为AB+AC+BC＝15+14＝29． 【解答】解：由作图过程可知，AB＝AD，直线MN为线段CD的垂直平分线， ∴DE＝CE，CD＝2DF＝8， ∴BC＝BD+CD＝6+8＝14． ∵△ADE的周长是15， ∴AD+DE+AE＝AB+CE+AE＝AB+AC＝15， ∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝15+14＝29． 故选：D． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点G；作射线AG，交BD于点H．若AB＝7，OH＝2，则S△ABH＝（　　） A．7 B．14 C．10 D．4 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；菱形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观． 【答案】A 【分析】过点H作HE⊥AB于点E，由作图过程可知，射线AG为∠BAC的平分线，根据菱形的性质得到OH⊥AO，根据角平分线的性质得到EH＝OH＝2，再根据三角形面积的公式求解即可． 【解答】解：过点H作HE⊥AB于点E， 由作图过程可知，射线AG为∠BAC的平分线， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， 即OH⊥AC， ∴EH＝OH＝2， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、菱形的性质，熟练掌握角平分线的性质、菱形的性质是解答本题的关键． 6．如图，∠MON＝40°，点P在射线OM上，以点P为圆心，PO长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B，连接AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【考点】作图—基本作图． 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】C 【分析】连接BP，BC，由作图过程可知，PA＝PB＝OP，AC＝BC＝AB，可得∠OBP＝∠MON＝40°，∠BAP＝∠ABP，∠BAC＝60°，则∠APB＝∠OBP+∠MON＝80°，可得∠BAP＝50°，进而可得∠OAC＝∠BAP+∠BAC＝110°． 【解答】解：如图，连接BP，BC， 由作图过程可知，PA＝PB＝OP，AC＝BC＝AB， ∴∠OBP＝∠MON＝40°，∠BAP＝∠ABP，△ABC为等边三角形， ∴∠APB＝∠OBP+∠MON＝80°，∠BAC＝60°， ∴∠BAP＝50°， ∴∠OAC＝∠BAP+∠BAC＝110°． 故选：C． 【点评】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　） A．5 B．6 C．4.8 D．9.6 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】由作法得AD平分∠BAC则根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD＝3，在利用勾股定理计算出AD＝4，连接CM，如图，利用AD垂直平分BC得到BM＝CM，所以BM+MN＝CM+MN，根据两点之间线段最短和垂线段最短得到当C、M、N共线且CN⊥AB时，BM+MN的值最小，最小值为CN的值，然后利用面积法求出CN即可． 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC＝3， 即AD垂直平分BC， 在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝4， ∴AD4， 连接CM，如图， ∵AD垂直平分BC， ∴BM＝CM， ∴BM+MN＝CM+MN， 当C、M、N共线且CN⊥AB时，BM+MN的值最小，最小值为CN的值， ∵CN•ABAD•BC， ∴CN4.8， 即BM+MN的最小值为4.8． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和等腰三角形的性质． 8．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为（a﹣8，b），那么a与b的数量关系为（　　） A．a﹣b＝8 B．a+b＝8 C．a﹣b＝﹣8 D．a+b＝﹣8 【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质． 【专题】作图题；平面直角坐标系；推理能力． 【答案】B 【分析】根据基本作图，得射线OP平分∠AOB，又点P在第二象限，点P的横坐标，纵坐标互为相反数，求解即可． 【解答】解：根据基本作图，得射线OP平分∠AOB， 又点P在第二象限， 故a﹣8+b＝0，即a+b＝8； 故选：B． 【点评】本题考查了基本作图、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝30°，根据图中尺规作图的痕迹推断，下列结论正确的是（　　） A．BF＝CF B．BD＝2DE C．∠DGF＝25° D．CA＝CF 【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理． 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】选项A正确，理由等角对等边证明即可． 【解答】解：选项D正确． 理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，CF平分∠ACB， ∴∠FCA∠ACB＝40°， ∴∠CFA＝180°﹣∠A﹣∠ACF＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∴∠A＝∠CFA， ∴CA＝CF． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．PC＝PQ B．AC＝AQ C．AP＝BP D．∠BPQ＝∠BAC 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】作图题． 【答案】C 【分析】根据作图得出PQ⊥AB，AP平分∠BAC，根据角平分线性质得出PC＝PQ，证明Rt△APQ≌Rt△APC（HL），得出AC＝AQ，根据补角性质得出∠BPQ＝∠BAC，根据题干信息无法证明AP＝BP，即可得出答案． 【解答】解：根据作图可知：PQ⊥AB，AP平分∠BAC， ∵∠ACB＝90°， ∴PC＝PQ，故A一定正确，不符合题意； ∵AP＝AP， ∴Rt△APQ≌Rt△APC（HL）， ∴AC＝AQ，故B一定正确，不符合题意； ∵PQ⊥AB， ∴∠AQP＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠CPQ＝360°﹣∠AQP﹣∠ACB＝180°， ∵∠BPQ+∠CPQ＝180°， ∴∠BPQ＝∠BAC，故D一定正确，不符合题意； ∵PQ垂直AB，但不一定平分AB， ∴AP＝BP不一定正确，故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了尺规作垂线，作角平分线，角平分线性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和，补角性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 二．填空题（共5小题） 11．按如下步骤作四边形ABCD： ①画∠EAF； ②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D； ③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C； ④连接BC、DC、BD． 若∠A＝36°，则∠BDC的度数是　72°　 ． 【考点】作图—复杂作图；多边形内角与外角． 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】72°． 【分析】由作图过程可知，AB＝AD＝BC＝CD，可得四边形ABCD为菱形，则∠A+∠ADC＝180°，BD平分∠ADC，则可得∠ADC＝144°，∠BDC72°． 【解答】解：由作图过程可知，AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD为菱形， ∴∠A+∠ADC＝180°，BD平分∠ADC， ∴∠ADC＝144°， ∴∠BDC72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查作图—复杂作图、多边形内角与外角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝4，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，作直线MN，交AB于点E．则△ADE的周长为　11　 ． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【专题】尺规作图；几何直观；推理能力． 【答案】11． 【分析】由作图可得AD＝AC＝4，MN垂直平分BD，得到EB＝ED，然后等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：在△ABC中，AB＝7，AC＝4， 由作图可得AD＝AC＝4，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为：AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝7+4＝11， 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 13．如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，3为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接OC，则OC的长为 　4　 ． 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质． 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】4． 【分析】过B点作BH⊥OC于H点，如图，利用基本作图得到OC平分∠MON，OA＝OB＝3，BC，则∠COB＝30°，再根据含30度角的直角三角形三边的关系得到BH，所以OHBH，接着利用勾股定理计算出CH，然后计算OH+CH即可． 【解答】解：过B点作BH⊥OC于H点，如图， 根据作法得OC平分∠MON，OA＝OB＝3，BC， ∴∠COB∠MON60°＝30°， 在Rt△OBH中，∵∠BOH＝30°， ∴BHOB， ∴OHBH， 在Rt△BCH中，∵BH，BC， ∴CH， ∴OC＝OH+CH4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 14．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交线段AB，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P（P在平行四边形内），连接BP交AD于E，若AB＝3，ED＝2，则平行四边形ABCD的周长为　16　 ． 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质． 【专题】作图题；推理能力． 【答案】16． 【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出AD的长可推出结果． 【解答】解：由作图可知，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝∠ABE， ∴AE＝AB＝3， ∴AD＝3+2＝5， ∴平行四边形ABCD的周长为2×（5+3）＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，熟记角平分线的定义，平行四边形的性质是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝50°．按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN，分别交BC，AC于点D，E；③连接BE．若，则AE的长为　　 ． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】． 【分析】过点E作EF⊥AB于点F，证明BE是∠ABC的角平分线，再根据含30°角的直角三角形的性质求解． 【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F， 由作图可知，MN垂直平分BC， ∴BE＝CE，DE⊥BC， ∴∠EBC＝∠C＝50°， 又∵∠A＝30°，∠C＝50°， ∴∠ABE＝∠CBE＝50°， ∴BE是∠ABC的角平分线， ∴EF＝DE， ∴AE＝2EF， 故答案为：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线利用角平分线的性质求解是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． （1）尺规作图：作⊙O，使圆心O在BC上，⊙O经过A，B两点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：AC是（1）题所作⊙O的切线． 【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；切线的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；尺规作图；几何直观；推理能力． 【答案】（1）圆心O在BC上，经过A，B两点的⊙O，如图1即为所求； （2）如图2，连接AO， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠B＝30°， ∴∠OAC＝90°， ∴半径OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆； （2）连接AO，利用三角形内角和求出∠2＝90°，即可证明切线． 【解答】（1）解：圆心O在BC上，经过A，B两点的⊙O，如图1即为所求； （2）证明：如图2，连接AO， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠B＝30°， ∴∠OAC＝90°， ∴半径OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． 【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定方法． 17．如图，四边形ABCD是矩形． （1）用无刻度的直尺和圆规，在AD的上方确定一点E，使得∠AEC＝90°，且AE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接AC，AE，CE，线段CE交AD于点M，判断△ACM的形状，并说明理由． 【考点】作图—复杂作图；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观． 【答案】（1） （2）△ACM是等腰三角形． 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠MAC＝∠ACB． 在Rt△ABC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL）， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴∠MAC＝∠ACE， ∴AM＝CM， ∴△ACM是等腰三角形． 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，最后以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交⊙O于点E，结合圆周角定理可知，∠AEC＝90°，则点E即为所求． （2）由矩形的性质得∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠MAC＝∠ACB．证明Rt△ABC≌Rt△AEC，可得∠ACB＝∠ACE，则可得∠MAC＝∠ACE，即可知△ACM是等腰三角形． 【解答】解：（1）如图，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，以点O为圆心，OA的长为半径画圆，最后以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交⊙O于点E， 则点E即为所求． （2）△ACM是等腰三角形． 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠MAC＝∠ACB． 在Rt△ABC和Rt△AEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL）， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴∠MAC＝∠ACE， ∴AM＝CM， ∴△ACM是等腰三角形． 【点评】本题考查作图—复杂作图、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．如图，在▱ABCD中，AB＜AD． （1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，连接BE，求证：AE＝AB． 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质． 【专题】作图题；推理能力． 【答案】（1）作图见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CBE＝∠AEB，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，根据等腰三角形 的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）解：如图所示，AE即为所求： （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题关键． 19．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，垂足为点E． （1）过点A作AF⊥BC，垂足为点F；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AE＝AF，求证：四边形ABCD是菱形． 【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定． 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】（1） ； （2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S四边形ABCD＝AE•CD＝AF•BC， ∵AE＝AF， ∴CD＝BC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形． 【分析】（1）利用基本作图过A点作BC的垂线即可； （2）先根据平行四边形的面积公式得到S四边形ABCD＝AE•CD＝AF•BC，则利用AE＝AF得到CD＝BC，然后根据菱形的判断方法得到结论． 【解答】（1）解：如图，AF为所作； （2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S四边形ABCD＝AE•CD＝AF•BC， ∵AE＝AF， ∴CD＝BC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为菱形． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定． 20．如图，下面是小明设计的“作已知线段的垂直平分线”的尺规作图过程． 已知：线段AB． 求作：直线CD，使得CD是线段AB的垂直平分线． 作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D两点； ②作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线． 根据小明设计的尺规作图过程，在图中画出线段AB的垂直平分线并解答下列问题： 证明：CA＝CB，DA＝DB，C，D两点在线段AB的垂直平分线上（　到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上　 ）（填理由）． 直线CD是线段AB的垂直平分线（　两点确定一条直线　 ）（填理由）． 【考点】作图—基本作图；垂线段最短；线段垂直平分线的性质． 【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】作图如下： 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 【分析】根据作图方法以及线段的垂直平分线的判定方法，以及直线的性质，进行作答即可． 【解答】解：由题意，作图如下： 证明：CA＝CB，DA＝DB， C，D两点在线段AB的垂直平分线上， （到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， 直线CD是线段AB的垂直平分线， （两点确定一条直线）． 故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 【点评】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $