2.9 对数与对数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕对数与对数函数专题，系统整合对数概念、性质、运算公式、函数图像性质及反函数等核心考点，按“概念-性质-运算-应用”逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、分层练习和真题训练四个环节，帮助学生构建知识网络，突破运算化简、单调性应用等难点。 资料以数学思维和数学语言为核心，创新设计“考点-例题-变式”教学链，如在比较大小考点中，引导学生用函数单调性和中间值法分析，培养逻辑推理能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2.9 对数与对数函数 对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【注意】(1)对数函数的系数为1． (2)真数只能是一个x． (3)底数与指数函数的底数范围相同． 对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【注意】(1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 考点一　对数化简与运算 考点二　对数函数概念以及求解析式 考点三　对数型函数定点问题 考点四　利用对数型函数图像求参 考点五　对数函数单调性问题 考点六　对数函数比较大小问题 考点七　利用对数函数的单调性解不等式 考点八　对数函数的值域或最值问题 考点九　对数函数的应用 考点十　反函数　 考点一　对数化简与运算 1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则___________． 3．（25-26高三上·浙江·开学）求值：__________. 4．（25-26高三上·四川成都·月考）计算下列各式的值. (1) (2) 5．（24-25高三上·安徽淮北·开学）计算： (1) (2) 6．（25-26高三上·广东揭阳·开学考试）计算： (1)（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； (2) (3) (4). 考点二　对数函数概念以及求解析式 7．（25-26高三上·江西上饶·开学）已知函数是对数函数，则__________． 8．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 9．（25-26高二下·北京延庆·开学）函数的定义域为___________ 10．（25-26高三上·北京·月考）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 考点三　对数型函数定点问题 11．（25-26高三上·上海·开学）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 12．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 13．（25-26高三上·浙江·月考）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 14．（2026·河南南阳·一模）已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 考点四　利用对数型函数图像求参 15．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 16．（25-26高三上·山西朔州·开学）（多选）已知函数且的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·上海·开学）函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 18．（25-26高三上·天津河西·开学）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·江苏·阶段检测）（多选）已知函数方程有3个不相等的实数解，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（24-25高三上·河北·月考）已知定义在正实数集上的函数，设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点五　对数函数单调性问题 21．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 22．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 23．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2026·甘肃金昌·三模）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·湖北·开学）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 26．（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 考点六　对数函数比较大小问题 27．（2026·天津·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 28．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 29．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高三上·贵州毕节·开学）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·湖北荆州·开学）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考点七　利用对数函数的单调性解不等式 33．（25-26高三上·重庆·开学）已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 34．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 35．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 36．（25-26高三上·海南海口·开学）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 37．（2026·江西抚州·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 39．（25-26高三上·上海·开学）已知． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 考点八　对数函数的值域或最值问题 40．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高三上·上海·开学）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 42．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 43．（25-26高二下·浙江宁波·开学）设函数，. (1)若，求函数的零点； (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (3)设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 44．（25-26高三上·浙江杭州·开学）已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点九　对数函数的应用 46．（25-26高三下·北京·月考）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则______． 47．（25-26高三上·安徽宣城·开学）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 48．（24-25高三上·陕西汉中·开学）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 49．（24-25高三上·陕西咸阳·开学）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 考点十　反函数　 50．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 51．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 52．（25-26高三上·贵州毕节·月考）已知函数，，若，则___________. 53．（25-26高二下·湖北荆州·月考）已知，若与的图象有两个交点，则的取值范围是__________. 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·湖南长沙·开学）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖南·月考）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南·三模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江杭州·开学）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·云南楚雄·开学）（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 10．（2027高三·全国·专题练习）（多选）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．没有最小值 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 12．（25-26高三上·山东临沂·开学）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．函数的值域为 D．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 13．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 14．（25-26高三上·安徽淮北·开学）已知函数且恒过，则__________. 15．（25-26高三上·上海徐汇·开学）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 16．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 17．（25-26高三上·湖北荆州·开学）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 18．（25-26高三上·河北承德·开学）已知函数． (1)求的最小值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围． 19．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.9 对数与对数函数 对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【注意】(1)对数函数的系数为1． (2)真数只能是一个x． (3)底数与指数函数的底数范围相同． 对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【注意】(1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 考点一　对数化简与运算 考点二　对数函数概念以及求解析式 考点三　对数型函数定点问题 考点四　利用对数型函数图像求参 考点五　对数函数单调性问题 考点六　对数函数比较大小问题 考点七　利用对数函数的单调性解不等式 考点八　对数函数的值域或最值问题 考点九　对数函数的应用 考点十　反函数　 考点一　对数化简与运算 1．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由，得，而， 则. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则___________． 【答案】8 【详解】由，可得，由，可得，所以． 3．（25-26高三上·浙江·开学）求值：__________. 【答案】 【分析】利用对数的恒等式、换底公式以及对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 4．（25-26高三上·四川成都·月考）计算下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即可. （2）利用对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） 5．（24-25高三上·安徽淮北·开学）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求解即可； （2）根据题意结合对数运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 6．（25-26高三上·广东揭阳·开学考试）计算： (1)（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； (2) (3) (4). 【答案】(1)； (2)； (3)4； (4)． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式=． 考点二　对数函数概念以及求解析式 7．（25-26高三上·江西上饶·开学）已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 8．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】将点代入，求出a的值，得到的解析式，即可求出的值. 【详解】由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 故选：B. 9．（25-26高二下·北京延庆·开学）函数的定义域为___________ 【答案】 【详解】令，即，得， 故函数的定义域为 10．（25-26高三上·北京·月考）已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 考点三　对数型函数定点问题 11．（25-26高三上·上海·开学）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 12．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 13．（25-26高三上·浙江·月考）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. 14．（2026·河南南阳·一模）已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 【答案】/ 【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，代入点的坐标，可得. 【详解】对函数，令，则，得. 所以. 函数的定义域为，. ，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 考点四　利用对数型函数图像求参 15．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知函数（且）的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由函数图像知，在定义域内单调递减，所以， 根据图像可知函数的图像是把的图像向左平移小于1个单位得到的， 所以，解得. 16．（25-26高三上·山西朔州·开学）（多选）已知函数且的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题得，，求得，结合不等式性质求解可以判断 A；由，可以判断B；根据指数函数的性质可知，，判断C；根据“作差法”判断，判断D. 【详解】因为为单调递减函数，所以， 由得，所以，又，所以，A错误； 又，所以，B正确； 根据指数函数的性质可知，，所以，C正确； ，所以，D错误， 故选：BC． 17．（25-26高三上·上海·开学）函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】求出函数的图象与轴交点坐标，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由可得，解得， 即函数的图象与轴的交点为，作出该函数的图象如下图所示： 要使得函数的图象不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（25-26高三上·天津河西·开学）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 19．（25-26高三上·江苏·阶段检测）（多选）已知函数方程有3个不相等的实数解，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的图象与性质，画出函数的图象，把方程有3个不相等的实数解，转化为与的图象有三个不同的交点，结合图象，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】若，可得， 当，单调递增；当，单调递减， 所以，且，当时，； 若，可得， 令，可得，即，即，解得， 令，可得函数在上单调递增， 当时，，且时，； 当时，，因为，所以， 所以当时，函数单调递减，且，当时，， 当时，函数单调递增，当，且， 作出函数的图象，如图所示， 要使得方程有3个不相等的实数解， 即函数与的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得或，所以选项B、C、D符合题意. 故选：BCD. 20．（24-25高三上·河北·月考）已知定义在正实数集上的函数，设、、是互不相同的实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出分段函数的图象，然后确定的位置和范围，进而求得结果. 【详解】根据分段函数的解析式，可画出该函数的图象为： 不妨令，则，即， 化简得. 当时，单调递减，且与轴交于点， 则. 所以的取值范围为. 故选：B. 考点五　对数函数单调性问题 21．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用复合函数的单调性判断结论求解. 【详解】由得， 所以函数的定义域为， 因为函数在上单调递增，为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 22．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先得出定义域，再应用偶函数定义判断偶函数，再结合对数复合函数单调性即可求解. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即为偶函数， 当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增， 所以在上单调递增. 23．（2026·吉林·三模）若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数函数的单调性将不等式转化为，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值，进而求解的范围. 【详解】由已知得，所以问题转化为恒成立， 设，则，代入上式，所以问题转化为时恒成立，则只需即可， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，所以，解得. 24．（2026·甘肃金昌·三模）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，且， 所以，所以. 25．（25-26高三上·湖北·开学）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 26．（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 考点六　对数函数比较大小问题 27．（2026·天津·模拟预测）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算法则以及对数函数性质、正弦函数单调性分析即可. 【详解】由，， 又函数在上单调递增，， 所以，所以. 28．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，可得a的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c的范围，比较即可得答案. 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 29．（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较两者大小， 再比较三者大小关系可得答案. 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 30．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、的符号，进而得到，作商比较的大小即可得解． 【详解】， ， 又，所以，即， 综上，． 31．（25-26高三上·贵州毕节·开学）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. 32．（25-26高三上·湖北荆州·开学）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在上单调递增， 所以，， ，所以. 故. 考点七　利用对数函数的单调性解不等式 33．（25-26高三上·重庆·开学）已知对于任意的，都有成立，且在上单调递减，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以关于对称， 又在上单调递减，所以在上单调递增， 由可得即， 转化得，可得. 34．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026学年高三上学期5月春季联赛数学试题）已知函数，且，， (1)当时，求关于x的不等式的解集； (2)当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2)当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是 【分析】（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得； （2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得. 【详解】（1）当时，， 下面解不等式，即， 因为，所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）当时，不等式可变形为， 即，， 所以问题转化为在区间上恒成立， 令，则，则，故， 令，， 当时，函数在上单调递增， ，则； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减，故，则； 综上所述，当时，m的取值范围是； 当时，m的取值范围是． 35．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 36．（25-26高三上·海南海口·开学）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）的单调递减区间为 (2) 【分析】（1）（i）换元令将原函数化为二次函数，代入计算函数值，通过二次函数配方求最小值. （ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间. （2）换元转化为区间上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8解出的范围. 【详解】（1）（i）将代入得. 令，则. . 因为，，当且仅当即时取等号，所以. （ii）在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递增. 由得. 所以由复合函数“同增异减”可知的单调递减区间为. （2）对任意，恒成立，求的取值范围. 令，，，即，. 题意等价于在上恒成立. 函数图像开口向上，对称轴为. ①当时，在上单调递增，，，，与矛盾，舍去. ②当时，，. 若，，. 若，，. ③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去. 综上，的取值范围是. 37．（2026·江西抚州·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 38．（25-26高三上·湖南·月考）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数的性质求定点； （2）根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性求解不等式，注意对数函数的定义域. 【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 39．（25-26高三上·上海·开学）已知． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的方程的解集恰有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据具体函数的定义域求解即可； (2)根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式； (3)将问题转化为恰有一个实数解，转化为方程的根的问题； 【详解】（1）当时该函数才有意义，即，所以， 解得，故函数的定义域是． （2）此时，即，解得，故定义域为． 由得，即，解得． 综上，所求解集为． （3）由得，即． 则，即． 当时，经检验确为原方程的解，成立； 当时，经检验确为原方程的解，成立； 当且时，考虑和. 由得总为原方程的解， 故此时一定不满足原方程，从而，即． 综上所述：的取值范围是 考点八　对数函数的值域或最值问题 40．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递增，则， 当时，，要使函数的值域为， 则需在时的值域包含，故需满足， 解得. 41．（25-26高三上·上海·开学）已知函数在上没有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得和时，没有零点的的取值范围，即可求解. 【详解】当时，则，所以， 由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得； 当时，可得，由在上无零点，即在无解， 即在无解，可得或， 所以要使函数在上没有零点，则实数的取值范围为. 42．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 43．（25-26高二下·浙江宁波·开学）设函数，. (1)若，求函数的零点； (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (3)设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）令，即可根据指数与对数的运算性质求解， （2）根据对勾函数以及指数函数的单调性即可求解值域得解， （3）将问题先转化为，根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）时， ，则， 故 ，进而 ， 则或. 故的零点为或. （2）令 ，则， 进而可得， 由于，则，且函数在上单调递增， 对勾函数在单调递减，在单调递增， 故当时，， 因此，故， 则； （3）当时，单调递减，故， 对任意的，存在，使得不等式 成立， 则， 因此，即存在使得， 由于， 令 则， 令 ， 故存在使得，即， 因此， 由于函数均为上的单调递增函数， 故 故即. 44．（25-26高三上·浙江杭州·开学）已知函数，. (1)当实数时，判断函数的单调性；（不需要证明） (2)若函数在为增函数，求实数t的取值范围； (3)若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）根据增函数+增函数为增函数判断； （2）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得，即，参变分离可得对恒成立，再根据指数函数的性质计算可得； （3）由函数为偶函数，得到，即可求出的值，从而得到的解析式，再利用基本不等式得到，依题意，可得对任意恒成立，即对任意恒成立，①由有意义，求得；②由，得，即可得到对任意恒成立，从而求出，从而求出参数的取值范围； 【详解】（1）当实数时， 因为都是上的增函数， 所以函数为上的增函数； （2）设，且， 则 ∵函数在上为增函数， ∴恒成立 又∵，∴， ∴恒成立，即对恒成立 当时，的取值范围为， 故，即实数取值范围为. （3）∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ∵上式对任意都成立， ∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为0， ∴由题意，可得对任意恒成立， ∴对任意恒成立 ①由有意义，得在恒成立， 得在恒成立， 又在上的值域为，故. 又有意义，有， 所以. ②由，得，得， 得，得，得， ∴对任意恒成立， 又∵在的最大值为， ∴， 由①②得，实数的取值范围为. 45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 考点九　对数函数的应用 46．（25-26高三下·北京·月考）在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则______． 【答案】 【详解】由于当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒， 所以，解得； 当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒， 则，即，解得. 47．（25-26高三上·安徽宣城·开学）甲型流感的爆发高峰通常在冬春季节，奥司他韦是一种常用于治疗甲型流感的药物、患者口服该药物治疗后，血药浓度（单位：ng/mL）随时间（单位：h）的变化过程通常分为吸收期（浓度上升）和消除期（浓度下降）．当血药浓度达到峰值后，进入消除期，其浓度随时间t的变化可以用指数衰减模型近似描述：（为峰值浓度，k为消除速率常数）．根据临床数据，某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，服用10小时后血药浓度降至峰值的50%，则k的值大约为（    ）（参考数据：，） A．0.087 B．0.076 C．0.0693 D．0.092 【答案】A 【分析】依题意得，，即可求解． 【详解】某患者服用奥司他韦2小时后血药浓度达到峰值，即进入消除期， 则， 得， 得， 故选：A 48．（24-25高三上·陕西汉中·开学）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 49．（24-25高三上·陕西咸阳·开学）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 考点十　反函数　 50．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 51．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 52．（25-26高三上·贵州毕节·月考）已知函数，，若，则___________. 【答案】 【分析】利用函数零点的意义，结合互为反函数的两个函数图象关系及反比例函数图象的对称性求解. 【详解】依题意，， 由，得是函数与的图象交点的横坐标，令交点坐标为， 是函数与的图象交点的横坐标，令交点坐标为， 而函数与互为反函数，则函数与的图象关于直线对称， 又函数的图象也关于直线对称，因此点与点关于直线对称， 则，所以. 53．（25-26高二下·湖北荆州·月考）已知，若与的图象有两个交点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用互为反函数的性质，把问题转化为函数的图象与直线有两个交点求解，再构造函数并利用导数求出范围. 【详解】由，得与互为反函数，其图象关于直线对称， 函数与的图象有两个交点，等价于函数的图象与直线有两个交点， 因此方程有两个正实根，即有两个正实根，令函数， 则直线与函数的图象有两个交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 而，当趋近于正无穷大时，趋近于0， 则当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 2．（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 则， 所以. 3．（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 4．（25-26高二下·湖南长沙·开学）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 5．（25-26高三上·湖南·月考）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 6．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简等式得到，作出函数图象，结合图象可比大小. 【详解】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 7．（2026·湖南·三模）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因函数是定义域为的偶函数，且， 所以由或， 所以原不等式的解集为． 8．（25-26高三上·浙江杭州·开学）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为对恒成立，再利用判断式法即可得到的范围，最后利用符复合函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得对恒成立， 则，解得. 则， 根据复合函数单调性知在上单调递减，则. 故选：C. 9．（25-26高三上·云南楚雄·开学）（多选）已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【分析】先将函数表达式改写为一次函数形式，再根据的符号分两类讨论单调性，最后结合区间端点的函数值求解a的值即可. 【详解】根据已知条件，函数， 当时，， 在上单调递减， 则，解得，满足条件； 当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件. 故选：BD. 10．（2027高三·全国·专题练习）（多选）对于函数，下列说法正确的是（     ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．没有最小值 【答案】AC 【分析】先化简判断奇偶性，再分析内层函数单调性结合对数函数单调性判断的单调区间与最值． 【详解】为偶函数，A正确，B错误； 作出的图象如图所示，可知在上单调递减，在上单调递增； 由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误． 故选：AC． 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 12．（25-26高三上·山东临沂·开学）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象所过定点的坐标为 B．函数的单调递增区间是 C．函数的值域为 D．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，恒有，因此所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在上单调递减， 因此函数的单调递增区间是，B正确； 对于C，令，则，， 所以，函数在上单调递减， 则时，函数取到最大值2，所以函数值域为，故C正确； 对于D，由题意得，解得，D正确． 13．（25-26高三上·湖南邵阳·月考）已知函数，方程有四个不同解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可. 【详解】如图所示： 由方程即有四个不同解， 即的图象与有四个不同的交点，由图可知， 不妨假设，由图可知， 又由图可知， 故，解得：， 又，结合图象可知，所以， 所以， 设， 任取，且， 则 ， 因为且， 所以且， 所以， 所以在上单调递减， 所以即，即， 所以. 14．（25-26高三上·安徽淮北·开学）已知函数且恒过，则__________. 【答案】/ 【详解】由题可得，则，所以. 15．（25-26高三上·上海徐汇·开学）已知和它的反函数的图像都经过，则______． 【答案】 【分析】根据反函数的性质可得，列方程求即可. 【详解】因为函数的反函数的图像经过， 所以函数的图像经过， 又的图像经过， 所以. 故答案为： 16．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； （2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 17．（25-26高三上·湖北荆州·开学）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或或. 【详解】（1）当时，，由，得，即，即，即，所以，解得或， 所以不等式的解集是； （2）因为在定义域上单调递减且， 所以在区间上的最大值是，最小值是， 依题意得，即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 当，;当，， 所以，故，所以的取值范围是； （3）因为只有一个零点， 所以方程只有一个根， 所以只有一个根， 整理得，， 即，即， ①若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ②若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ③若使得真数大于0，使得真数小于等于0，即时符合题意，此时； ④若使得真数小于等于0，使得真数大于0，即时符合题意，此时无解． 综上所述，的取值范围为. 18．（25-26高三上·河北承德·开学）已知函数． (1)求的最小值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）化简函数为，结合基本不等式，即可求解； （2）化简函数为，转化为方程有解，设，根据在上单调递减函数，求得的取值范围，即可求解； （3）根据题意，转化为只有一个解，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 又因为是增函数，所以的最小值为． （2）解：由题可知， 当时，存在零点等价于关于的方程有解， 设， 可得在上单调递减函数， 因为，所以， 又因为当时，， 所以的取值范围是，所以实数的取值范围是． （3）解：由与的图象只有一个公共点等价于只有一个解， 即只有一个解， 整理得． 令，则，即（*）． 原问题等价于关于的方程（*）只有一个正根． ①当，即时，方程（*）的解为，不满足，舍去； ②当，即时，，由根与系数的关系知， 故方程（*）有一正一负两根，又因为，故舍去负根，满足题意； ③当，即时，由根与系数的关系知， 因为方程（*）只有一个正根， 所以且对称轴，解得． 综上，实数的取值范围为． 19．（25-26高三上·山东菏泽·月考）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的最大值及对应的值； (3)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)时最大值为 (3) 【分析】（1）利用对数函数的定义列式求出定义域. （2）求出在上的最大值，再结合对数函数单调性求出最大值. （3）由函数的性质，结合直线与函数的图象有两个交点求出范围. 【详解】（1）函数中，，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，而函数是增函数， 所以当时，函数取得最大值. （3）由（2）知，当时，，单调递增，取值集合为， 当时，，单调递减，取值集合为， 因此当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个不同的实数解， 所以实数的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $