四川省射洪中学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

射洪中学高2024级高二下期半期考试 数学试题 命题人：王小勇张敬 审题人：龚旻 (考试时间：120分钟分值：150分)》 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.小明有3件不同的上衣，4条不同的裤子，2双不同的鞋子.他从中各选一件搭配，不同的穿 法共有() A.9种 B.12种 C.24种 D.36种 2.如图所示为y=f(x)的图象，则函数y=f(x)的单调递减区间是() A.(-00,-1) B.(-2,0) C.（-2,0),(2,+0) D.（-00,-1),(1,+0) 3.离散型随机变量X的分布列如下表格，则P(0≤X≤2)=（) X -1 0 1 2 m 2m 0.3 0.1 A.0.8 B.0.7 c.0.6 D.0.5 高二数学第1页共4页 4.已知函数f(x)=ax-2lnx在区间(1，+oo)上单调递增，则a的取值范围是（) A.(o,2] B.[号，+∞) C.(-00,2] D.[2,+o) 5.(W丘-2的展开式中的常数项为( A.60 B.15 C.-15 D.-60 6.函数f()=+lnx在[。，e]上的最小值为() A.1 B.名+1 C.e-1 D.号+ln2 7.某单位有5名员工（记为A,B,C,D,),需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部 门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（) A.72种 B.150种 C.243种 D.360种 8.已知x1是函数f(x)=xlnx-2026的零点，x2是函数g(x)=lnx+x-ln2026的零点，则 c1x2的值为（) A.2026 B.2026 C.√2026 D.2026 e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少两项 是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分。 9.设样本空间2={1,2,3,4}含有等可能的样本点，且A={1,2},B={1,3},C={1,4}, 则下列结论正确的是（) A.P(AB)=P(A)P(B) B.P(AC)=P(CA) C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(BC)=P(B)P(C) 10.已知f(x)=(2-x)8=a十a1x十a2x2+…+asx8,则下列描述正确的是() A.a=28 B.a0+a1+a2+…+as=1 C.a+a+a4+a6+as=3+1 2 D.a6=-112 山.已知函数f=,则(） A.x=e是函数f(x)的极小值点 B.对Hk≥3，方程f(x)-k=0恒有两个不同的实数解 C.πln2>2lnπ D.存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=f(x)相切 高二数学第2页共4页 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k= 13.2名男生，3名女生站成一排拍照，若左、右两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为 14.已知甲、乙参加驾照考试时，通过的概率分别为0.8,0.9，而且这2人之间的考试互不影响. 则在恰有1人通过考试的条件下，甲通过考试的概率为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答， 条件①：展开式中第3项的二项式系数是21： 条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等； 条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64. 【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】 间题：已知二项武(2z+在m∈N),若 ,求 (1)m的值； (2)展开式中二项式系数最大的项. 16.(本题满分15分) 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品： (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产 品是正品的概率. 高二数学第3页共4页 17.(本题满分15分) 己知函数f(x)=x3+3ax+b(a,b∈R)在x=1处取极值. (1)求f(x)的极大值和单调区间： (2)若函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围. 18.(本题满分17分) 一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一 个球，取出的球不放回， (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率： (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为X,求X的分布列和期望. 19.(本题满分17分) 已知函数f(x)=x2-alnx+b,a,b∈R. (1)若x=1是g(m)=f(a)-号a2x2的极大值点，求a的值； (2)当α=2时，若函数f(x)有两个不同的零点，求实数b的取值范围； (③)若对Vx∈0，十0)，不等式f(回)≥1+e恒成立，其中e为自然对数的底数，求。千2的 最小值 高二数学第4页共4页高2024级高二下半期考试 数学参考答案 1.【答案】C【详解】第一步选上衣有3种选法，第二步选裤子有4种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共 有3×4×2=24种选法. 2.【答案】C【解析】由图象，知-2<x<0或x>2时，f'(x)<0,∴f(x)的减区间是(-2,0)，(2，+∞) 3.【答案】B【解析】m+2m+0.3+0.1=1,得m=0.2, 因此P(0≤X≤2)=P(X=0)+P(c=1)=2m+0.3=0.7. 4.【答案】D【解析】：函数y=ax-2lnx在(1，+o)内单调递增， 当>1时，y=a-是≥0恒成立，即a≥是a≥2，即a的取值范围为2+∞）。 5.【答案】A【解折】通项公式T+1=C(V@(是厂=C(-2yz号， 由62-=0→r=2,代入得3=C8(-29=60. 6【答案】A【解析f()=-子+2，令f)=0,则x=1, 因为x在[后，1f(a)<0,在(1，ef')>0,所以f(m)在[后，1)单调递减，在(1，e]单调递增， 因为f)=1,f日)=e-1,fe)=。+1,所以最小值为1.故选：A. 7.【答案】B【解析】分组为(3,1,1)：先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同 部门.方案数Cg·A?=10×6=60种.分组为(2,2,1)：两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排 序，再分配到3个不同部门：方案数C:C金·4=10×3×6=90.将两类相加：60+90=150种」 A 2 8.【答案】D【解析】：x1是函数f(x)=xlnc-2026,∴.f(c)=clnx1-2026=0,∴.clnx=2026, :x2是函数g(x)=lnx+x-ln2026的零点，∴.g(c2)=lnx2+x2-ln2026=0, .ln2+x2=ln2026,.ln2+lne=ln2026,.ln(xe)=ln2026,∴.x2e=2026, h()=xe",h(Inc)=Inciet=xlnc=2026,h(x2)=zze=2026, h'(x=er+xe=(1+x)e,x>0,.h'(x)=e+xer=(1+x)e>0, .h(c)=xe在(0，+oo)上是单调递增函数， h(Inz)=h(x2),..Inz=2,.2=lnc=2026. 9.【答案】ABD【解析】对于A,由题意可得P(A)=子=号，PB)=子=，P(AB)=子， 所以P(AB)=P(A)P(B),故A正确； 对于B.PC=号=7，PaC=},PAC)=9=支，PCA=AC=号 PC) P(A)-2, 所以P(AC)=P(CA),故B正确； 对于C,因为P(ABC=,P(AP(B)P(C)=×号×号=8， 所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),故C错误： 对于D,因为P(BC)=子，所以P(BC)=P(B)P(C.故D正确故选ABD, 10.【答案】ABC【解析】.f(x)=(2-x)3=a+a1x+a2x2+…+asx, 令x=0得a=2,故A正确： .令x=1,可得f(1)=a0十a+a2十…十ag=1,故B正确. T+1=(-1).C哈·28-k·,则当k=6时，T=C9·22.x6,故a6=4C9=4C=112,故D错误； 数学答案第1页共4页 令x=-1,可得f(-1)=a-a+a2-ag+…+as=38,则f(1)+f(-1)=2(a0+a2+a4+a6+as)=38+1 所以a十十a4十a十as=31,故C正确.故选：ABC. 2 1.【答案】AB【解析】函数f()=品的定义域为(0，)U(1,+o0),且f()=a二品 (Inz)2 令f'(c)=0,解得x=e,当x∈(1，e)时，lnx<1,所以f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(e,+o)时，lnx>1,所以f'(x)>0,f(x)单调递增；则x=e是函数的极小值点，故A正确； 对于B,f(四的极小值为f(e)=c=e≈2.718， 当x→1时，lhnx→0，f)→+0，当x→+∞时，f(四)=→+0， 结合图像可知对Vk≥3，方程f(x)一k=0恒有两个不同解成立，故B正确： 对于C,由于当x∈e,+o)时，f)单调递增，所以f4)>f).则高>品 即品>r,所以2<2x,故C不正确： 对于D,设切点为（品），切线斜率为a)= (Inco)2' ToInco-1 fx) 切线方程为：y一品=n(- 因为过10，代入府：0品-1对 化简得：-Zolnco=(n-1)(1-0),整理得：ln+(Inc-1)(1-)=0,即x十ln0-1=0, 令h(c)=x+1nc-1,(0,1)U(1,+oo),则(x)=1+1>0,所以h(x)在(0,1)和(1，+oo)上单调递 增，所以当0<x<1时，h(x)<h(1)=0,当x>1时，h(x)>h(1)=0, 则当x∈(0,1)U(1,+o)时，h(x)=0无解， 即不存在k∈R,使得直线y=k(x-1)与曲线y=f(x)相切，故D不正确： 12.【答案】号【解析因为=士，设切点为()，则k==驰，所以=n=1, 解得云=e,所以k=。,故答案为：吕 13.【答案】72【详解】由2男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一女， 先排左、右两端，有CC%A号=12（种）排法，再排中间3个位置，有A=6(种)排法， 所以不同的排法种数为12×6=72种。 14.【答案】音【解析】设事件A:恰有1人通过考试，事件B:甲通过考试， 则P(A)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.26,P(AB)=0.8×(1-0.9)=0.08, 则P(BA)= 0-器=吉故答案为：音 P(A) 15.【解析】(1)选条件①， (2r+左广展开式中第3项的二项式系数是21，则C8=”2=21,面n≥2，所以n=7 2 选条件②.(2x+左广展开式中第2项与第7项的二项式系数相等，则C=C,所以n=7 选条件③，(2红+在》展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64，则21=64，所以n=7. (②)由()知，n=7,则(2x+元》展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项， 即g=C2a(G°=560x,g=C(2a(在'=2s0x, 所以展开式中二项式系数最大的项560x2,280x. 数学答案第2页共4页 16.【解析】（①）已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：C?=8×7=28种， 2 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：C=3种， .这2个产品中至少有1件是正品的取法为：28-3=25种. (@从甲中取2个正品，感率为月-答-只=青，此时乙箱中有6件正品3作次品， 抽到正品的概率为号=号： 从甲中取1个正品1个次品，概率为B=CC-票，此时乙箱巾有5件正品4件次品， C 抽到正品的概率为号： 丛甲中取2个次品，概率为P二冬=此时乙箱中有4件正品5件次品，抽到正品的薇幸为 9 P=×号+×号+×号=五 17.【解析】(1)记f(x)的导函数为f'(x),则f'(x)=3x2+3a, 因此由x=1是极值点知f'(1)=3+3a=0,可得a=-1, 此时f'(x)=3(x+1)(x-1),故列表如下： (-00,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+0) f'(x) 0 0 + f(x) 增 极大值b+2 减 极小值b-2 增 由表知f(c)的单调递增区间为(-0，-1)，(1，+∞)，单调递减区间为(-1,1)， 且f(x)在x=-1处取到极大值b+2. (2)同上可列表如下： 2 -3 (-3,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3 f'(c) + 0 0 + f(x) b-18 增 极大值b+2 减 极小值b-2 增 b+18 由表知f(x)在[-3,3]上只有一个零点当且仅当 f(-1)< f(1)>0 f(3)≥0 或f-3)≤0' 解得b∈[-18，-2)U(2,18]. 18.【解析】(1)第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球：第一次取出白球，第二次取出红球： 所以概率P=名×行+吉×号=写 (2)记第三次取球时发现取出的是红球为事件A,第三次取球后袋中无红球为事件B, 则P(AB)=名×号×星+告×号×=品 2 P风A)=×号×+×号×+告×号×量=，所以P(BA=P-= P(A) 1 5 3 (3)由题意，X的可能取值为0,1,2,3,4， 则PX=0)=×号=，P(X=)=×号×+告×号 1- 2 5 15’ PX=2)=名×××+×号××号+告×号××3= 5 X3= 5 PX==×号××号×+×号×号x号×号+告×号×导×号 5 x2 6 数学答案第3页共4页 P(X=4)=1-[PX=0)+P(X=1)+PX=2)+P(X=3]=1-号=3， 所以分布列为： X 0 1 2 3 P 4 1 15 15 5 3 所以EX)=0×G+1×号+2×号+3×香+4×写-； 19.【解析】1)g(@)=2z-是-a2,又g)=0得，a=-2或1， 当a=-2时，g@)=是-2红，此时=1是极大值点，当a=1时，g()=2-士，此时=1是极小值 点，∴.a=-2; 2fo)=x2-2nx+6,则f'a=2(z-1)c+山，r>0, 2 令f'(x)<0得0<x<1,即f(x)在(0,1)递减；令f'(x)>0得x>1,即f(x)在(1，+o)递增， 故f(x)最小值为f1)=1+b, ①当f(1)>0,即b>-1时，f(x)>0恒成立，故f(x)无零点，不满足题意： ②当f(1)=0,即b=-1时，当x∈(0,1)U(1,+o)时f(x)>0恒成立，故f(x)有1个零点，不满足； ③当f(1)<0,即b<-1时，0<eb<1,且f(e)=e2b-b>0,(或者x→0+时，f(x)→+∞)， 由零点的存在性定理可知f(x)在(0,1)上有1个零点， 又e()=1x-+1,则p'(a)=-1=,则（回）在(0,1上递增，(1，+w)上递减， 则p(x)≤(1)=0，即1nx≤x-1,则f(x)≥x2-2(x-1)+b,当且仅当x=1时取等， 则V-b+1>1,f(W-b+1)>(W-b+1-1)2+1+b=1>0,(或者x→+o时，f(x)→+∞)， 故由零点的存在性定理可知f(x)在(1，+∞)上有1个零点，即f(x)在(0，+∞)上有两个零点， 综上：f(x)有两个零点，则b∈(-o0,-1). (3)f(x)≥1+e,则b≥alnx-x2+1+e, 令g(a)=alnx-x2+1+e,x>0,则g()=g-2z=a-2, ①当a=0时，9)=-+1+e<1+e,b的最小值为1+ea年2的最小值为生： ②当a<0时，g(x)<0,则g(x)在(0，+∞)递减，且x→0+时，g(x)→+∞，故b≥g(x)不能恒成立； ®当a>0时，令g()>0可得0<<√号，即g)在(0√号)上递增， 令g)<0可得x>√号，即g)在（√号，+0）上递减， 故gx=9√受)=受1n号-号+1+e,则b≥g)ms=号1n号-号+1+e, 故 号n号-号+1+e a+2≥ a+2 令=号>0故a2≥如2e， 2(t+1) h()()(t+1)int-(ctltte)Inttt-e, 2(t+1) 2(t+1)2 2(t+1)2 令h'(t)<0可得0<t<e,即h(t)在(0，e)递减： 令h'()>0可得t>e,即n()在(e,+∞)递增则h()≥h(e)=, 则。年2的最小值为当且仅当a=2e,b=1+e时取得等号. 综上可知，。年2的最小值为号 数学答案第4页共4页